Сравнение чисел: теория, правила и пошаговый алгоритм для 6 класса

Самый надёжный способ сравнить числа — представить, где каждое из них стоит на координатной прямой. Это прямая, вдоль которой числа выстроены по порядку слева направо.

Точка отсчёта — нуль. Справа от него идут положительные числа: $1$, $2$, $100$. Слева — отрицательные: $-1$, $-5$, $-100$. Чем дальше вправо, тем число больше.

Одно это правило заменяет собой три отдельных:

1. Любое положительное число больше нуля — оно правее.
2. Любое отрицательное число меньше нуля — оно левее.
3. Любое положительное число больше любого отрицательного, ведь между ними лежит нуль.

Проверим на крайнем случае. Что больше: $5$ или $-1000$? Считать ничего не нужно. Пятёрка стоит правее нуля, а $-1000$ — далеко левее. Значит, $5>-1000$, и огромная тысяча делу не помогает.

Два отрицательных числа сравнить сложнее: оба слева от нуля, и нужно понять, какое из них левее. Здесь помогает модуль.

Проще говоря, модуль — это число без знака. Для отрицательных чисел он показывает, насколько далеко влево от нуля они ушли. А чем дальше влево, тем число меньше — отсюда и правило, которое сначала кажется перевёрнутым.

Сравним $-15$ и $-9$. Модули равны $15$ и $9$. Пятнадцать больше девяти, значит, число $-15$ отстоит от нуля дальше и лежит левее. Вывод: $-15<-9$.

Обрати внимание на разницу с положительными числами. Там $15>9$, а здесь тот же больший модуль даёт меньшее число. Именно поэтому сравнивать отрицательные «по величине цифр» нельзя.

Дроби напрямую не сравнить, если они записаны по-разному. Сначала оба числа приводят к одному виду — и только потом ставят знак.

Способов три, выбирают удобный:

• перевести десятичную дробь в обыкновенную;
• перевести обыкновенную дробь в десятичную;
• привести обе обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Когда у дробей разные знаменатели, доли получаются разного размера, и числители сравнивать бессмысленно. Нужно найти общий знаменатель — тогда доли станут одинаковыми, и всё решит числитель.

Возьмём $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$. Общий знаменатель для $3$ и $5$ — число $15$: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15},\frac{3}{5}=\frac{9}{15}.$

Теперь обе дроби измеряются пятнадцатыми долями. Сравниваем числители: $10>9$, значит, $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$.

Чтобы не гадать, действуй по шагам.

1. Сравни знаки. Если одно число положительное, а другое отрицательное, считать нечего: положительное больше. Если оба нуля касаются — нуль больше любого отрицательного и меньше любого положительного.
2. Приведи числа к одному виду. Обыкновенную дробь и десятичную нужно записать одинаково, а дроби с разными знаменателями — привести к общему знаменателю.
3. Сравни числа без знака, то есть их модули.
4. Поставь знак с учётом минуса. Если оба числа положительные, больше то, у которого модуль больше. Если оба отрицательные — наоборот: больше то, у которого модуль меньше.

Разберём три примера по этому алгоритму.

Пример с целыми отрицательными числами

Условие

Поставь правильный знак между $-15$ и $-9$.

Пример с отрицательными обыкновенными дробями

Условие

Поставь правильный знак между $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{5}{6}$.

Пример с десятичной и обыкновенной дробью

Условие

Сравни $-0,5$ и $-\frac{1}{3}$.

Числовая иллюзия

Как ошибаются: смотрят на $-20$ и $-5$, видят, что $20$ больше $5$, и записывают $-20>-5$.

Как правильно: у отрицательных чисел всё наоборот. Число $-20$ дальше от нуля, а значит, левее и меньше: $-20<-5$.

Проще всего проверить себя долгами: долг в $20$ рублей хуже долга в $5$ рублей, то есть денег у тебя меньше.

Сравнение дробей без общего знаменателя

Как ошибаются: сравнивают $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$ по числителям и решают, что вторая больше.

Как правильно: пока знаменатели разные, доли разного размера, и числители несопоставимы. Приводим к общему знаменателю: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15},\frac{3}{5}=\frac{9}{15}.$

Теперь видно: $10>9$, значит, $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$.

Ошибка с нулём

Как ошибаются: считают нуль самым маленьким числом и записывают $0<-4$.

Как правильно: нуль — граница между отрицательными и положительными числами, а не край прямой. Слева от него есть числа, и все они меньше: $0>-4$.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Поставь знак между $-7$ и $-12$.

Задание 2. Поставь знак между $-0,2$ и $-\frac{1}{5}$.

Задание 3. Поставь знак между $0$ и $-100$.

Задание 4. Определи, что больше: $-\frac{7}{8}$ или $-0,8$.

Теперь ты умеешь сравнивать любые числа: целые и дробные, положительные и отрицательные, записанные обыкновенной дробью и десятичной. Всё держится на одном правиле: число, которое стоит правее на координатной прямой, больше.

С отрицательными числами это правило разворачивается: чем больше модуль, тем дальше число влево и тем оно меньше. Если сомневаешься, мысленно поставь оба числа на прямую — так ошибиться почти невозможно.

С дробями порядок другой: сначала приведи их к одному виду — общему знаменателю или десятичной записи, — и только потом сравнивай. Пока доли разного размера, числители ни о чём не говорят. Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для работы с неравенствами и координатной плоскостью.