Сравнивать числа кажется простым делом, пока не появляются минусы. С положительными всё привычно: $10$ больше $3$. А вот $-10$ уже меньше $-3$, хотя выглядит «крупнее». Такая же ловушка ждёт в дробях: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$ на глаз не отличить, пока не приведёшь их к общему виду. Разберём правило координатной прямой, работу с модулями и алгоритм, который позволяет ставить знак осознанно, а не наугад.
Координатная прямая
Самый надёжный способ сравнить числа — представить, где каждое из них стоит на координатной прямой. Это прямая, вдоль которой числа выстроены по порядку слева направо.
Точка отсчёта — нуль. Справа от него идут положительные числа: $1$, $2$, $100$. Слева — отрицательные: $-1$, $-5$, $-100$. Чем дальше вправо, тем число больше.
Одно это правило заменяет собой три отдельных:
- Любое положительное число больше нуля — оно правее.
- Любое отрицательное число меньше нуля — оно левее.
- Любое положительное число больше любого отрицательного, ведь между ними лежит нуль.
Проверим на крайнем случае. Что больше: $5$ или $-1000$? Считать ничего не нужно. Пятёрка стоит правее нуля, а $-1000$ — далеко левее. Значит, $5 > -1000$, и огромная тысяча делу не помогает.
Сравнение отрицательных чисел
Два отрицательных числа сравнить сложнее: оба слева от нуля, и нужно понять, какое из них левее. Здесь помогает модуль.
Проще говоря, модуль — это число без знака. Для отрицательных чисел он показывает, насколько далеко влево от нуля они ушли. А чем дальше влево, тем число меньше — отсюда и правило, которое сначала кажется перевёрнутым.
Сравним $-15$ и $-9$. Модули равны $15$ и $9$. Пятнадцать больше девяти, значит, число $-15$ отстоит от нуля дальше и лежит левее. Вывод: $-15 < -9$.
Обрати внимание на разницу с положительными числами. Там $15 > 9$, а здесь тот же больший модуль даёт меньшее число. Именно поэтому сравнивать отрицательные «по величине цифр» нельзя.
Дроби и десятичные значения
Дроби напрямую не сравнить, если они записаны по-разному. Сначала оба числа приводят к одному виду — и только потом ставят знак.
Способов три, выбирают удобный:
- перевести десятичную дробь в обыкновенную;
- перевести обыкновенную дробь в десятичную;
- привести обе обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Когда у дробей разные знаменатели, доли получаются разного размера, и числители сравнивать бессмысленно. Нужно найти общий знаменатель — тогда доли станут одинаковыми, и всё решит числитель.
Возьмём $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$. Общий знаменатель для $3$ и $5$ — число $15$: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}, \frac{3}{5} = \frac{9}{15}.$
Теперь обе дроби измеряются пятнадцатыми долями. Сравниваем числители: $10 > 9$, значит, $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.
Универсальный алгоритм сравнения чисел
Чтобы не гадать, действуй по шагам.
- Сравни знаки. Если одно число положительное, а другое отрицательное, считать нечего: положительное больше. Если оба нуля касаются — нуль больше любого отрицательного и меньше любого положительного.
- Приведи числа к одному виду. Обыкновенную дробь и десятичную нужно записать одинаково, а дроби с разными знаменателями — привести к общему знаменателю.
- Сравни числа без знака, то есть их модули.
- Поставь знак с учётом минуса. Если оба числа положительные, больше то, у которого модуль больше. Если оба отрицательные — наоборот: больше то, у которого модуль меньше.
Примеры с решением
Разберём три примера по этому алгоритму.
Пример с целыми отрицательными числами
Условие
Поставь правильный знак между $-15$ и $-9$.
Шаг 1. Смотрим на знаки: оба числа отрицательные. Значит, работает перевёрнутое правило, и сравнивать их как обычные нельзя.
Шаг 2. Находим модули: $|-15| = 15$, $|-9| = 9$.
Шаг 3. Сравниваем модули: $15 > 9$.
Шаг 4. У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Модуль больше у $-15$, поэтому оно и меньше.
Проверка. На координатной прямой $-15$ стоит левее $-9$, а левее — значит меньше. Сходится.
Ответ: $-15 < -9$.
Пример с отрицательными обыкновенными дробями
Условие
Поставь правильный знак между $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{5}{6}$.
Шаг 1. Обе дроби отрицательные, но знаменатели у них разные — сначала приведём дроби к общему виду.
Шаг 2. Наименьшее общее кратное чисел $4$ и $6$ равно $12$. Приводим обе дроби к знаменателю $12$: $-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}, -\frac{5}{6} = -\frac{10}{12}.$
Шаг 3. Сравниваем модули: $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, потому что доли теперь одинаковые и всё решает числитель.
Шаг 4. Меньший модуль у первой дроби, а у отрицательных чисел это признак большего числа.
Проверка. Обе дроби лежат между $-1$ и $0$, но $-\frac{9}{12}$ ближе к нулю, то есть правее. Значит, она больше.
Рисунок к заданию
Ответ: $-\frac{3}{4} > -\frac{5}{6}$.
Пример с десятичной и обыкновенной дробью
Условие
Сравни $-0{,}5$ и $-\frac{1}{3}$.
Шаг 1. Числа записаны по-разному: одно десятичной дробью, другое обыкновенной. Приведём их к одному виду.
Шаг 2. Удобнее перевести обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Дробь бесконечная, но для сравнения хватит первых знаков.
Шаг 3. Сравниваем модули: $0{,}5 > 0{,}333\ldots$ — уже в разряде десятых пятёрка больше тройки.
Шаг 4. Оба числа отрицательные, поэтому больший модуль означает меньшее число.
Проверка. Половина дальше от нуля, чем треть, значит, $-0{,}5$ лежит левее.
Ответ: $-0{,}5 < -\frac{1}{3}$.
Типичные ошибки
Числовая иллюзия
Как ошибаются: смотрят на $-20$ и $-5$, видят, что $20$ больше $5$, и записывают $-20 > -5$.
Как правильно: у отрицательных чисел всё наоборот. Число $-20$ дальше от нуля, а значит, левее и меньше: $-20 < -5$.
Проще всего проверить себя долгами: долг в $20$ рублей хуже долга в $5$ рублей, то есть денег у тебя меньше.
Сравнение дробей без общего знаменателя
Как ошибаются: сравнивают $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$ по числителям и решают, что вторая больше.
Как правильно: пока знаменатели разные, доли разного размера, и числители несопоставимы. Приводим к общему знаменателю: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}, \frac{3}{5} = \frac{9}{15}.$
Теперь видно: $10 > 9$, значит, $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.
Ошибка с нулём
Как ошибаются: считают нуль самым маленьким числом и записывают $0 < -4$.
Как правильно: нуль — граница между отрицательными и положительными числами, а не край прямой. Слева от него есть числа, и все они меньше: $0 > -4$.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Поставь знак между $-7$ и $-12$.
Задание 2. Поставь знак между $-0{,}2$ и $-\frac{1}{5}$.
Задание 3. Поставь знак между $0$ и $-100$.
Задание 4. Определи, что больше: $-\frac{7}{8}$ или $-0{,}8$.
Решение к заданию 1. Оба числа отрицательные. Модули равны $7$ и $12$, меньший модуль у семёрки, а у отрицательных чисел меньший модуль означает большее число.
Ответ: $-7 > -12$.
Решение к заданию 2. Приведём числа к одному виду: $\frac{1}{5} = 0{,}2$, значит, $-\frac{1}{5} = -0{,}2$. Модули совпали, знаки тоже — перед нами одно и то же число в двух записях.
Ответ: $-0{,}2 = -\frac{1}{5}$.
Решение к заданию 3. Число $-100$ отрицательное, то есть стоит левее нуля. Нуль больше любого отрицательного числа.
Ответ: $0 > -100$.
Решение к заданию 4. Переведём десятичную дробь в обыкновенную и сократим: $0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Приводим $\frac{7}{8}$ и $\frac{4}{5}$ к общему знаменателю $40$: $\frac{7}{8} = \frac{35}{40}, \, \frac{4}{5} = \frac{32}{40}.$
Сравниваем модули: $\frac{35}{40} > \frac{32}{40}$. Оба исходных числа отрицательные, поэтому больший модуль даёт меньшее число.
Ответ: $-\frac{7}{8} < -0{,}8$.
Заключение
Теперь ты умеешь сравнивать любые числа: целые и дробные, положительные и отрицательные, записанные обыкновенной дробью и десятичной. Всё держится на одном правиле: число, которое стоит правее на координатной прямой, больше.
С отрицательными числами это правило разворачивается: чем больше модуль, тем дальше число влево и тем оно меньше. Если сомневаешься, мысленно поставь оба числа на прямую — так ошибиться почти невозможно.
С дробями порядок другой: сначала приведи их к одному виду — общему знаменателю или десятичной записи, — и только потом сравнивай. Пока доли разного размера, числители ни о чём не говорят. Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для работы с неравенствами и координатной плоскостью.
