Целые числа — это натуральные числа, им противоположные и нуль. Складывать и умножать их не сложнее, чем обычные, но добавляется знак, и один потерянный минус переворачивает весь ответ. Разберём четыре правила — для сложения, вычитания, умножения и деления, — а потом применим их в примерах со скобками и несколькими действиями.
Базовые правила
Все правила опираются на одно понятие, поэтому начнём с него.
Проще говоря, модуль — это число без знака. Именно с модулями выполняют вычисления, а знак определяют отдельно.
Сложение чисел с одинаковыми знаками
Когда у слагаемых знаки совпадают, ответ получает тот же знак, а модули складываются.
Два положительных числа дают положительный результат: $7 + 12 = 19$.
Два отрицательных дают отрицательный: $-7 + (-12) = -19$.
Понять это легко на примере долга. Если ты должен $7$ рублей и занял ещё $12$, долг вырос до $19$ рублей — знак остался прежним, сумма увеличилась.
Сложение чисел с разными знаками
Здесь модули не складывают, а вычитают: из большего модуля отнимают меньший. Знак ответа берут у того числа, чей модуль больше.
Например, $-15 + 9 = -6$. Модули равны $15$ и $9$, разность равна $6$. Больший модуль у отрицательного числа, поэтому и ответ отрицательный.
Особый случай — противоположные числа. Их модули равны, разность равна нулю: $10 + (-10) = 0$.
Вычитание
Отдельного правила для вычитания запоминать не нужно. Любое вычитание заменяется сложением: к первому числу прибавляют второе с противоположным знаком.
Формула: $a-b = a + (-b)$.
Например:
$18-(-7) = 18 + 7 = 25$,
$6-14 = 6 + (-14) = -8$.
После такой замены работают обычные правила сложения — те, что разобраны выше.
Умножение и деление
У этих двух действий правило знаков общее и совсем короткое: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
- $(+) \cdot (+) = (+)$ и $(-) \cdot (-) = (+)$;
- $(+) \cdot (-) = (-)$ и $(-) \cdot (+) = (-)$.
Для деления всё точно так же: $(-20) : (-5) = 4$, а $(-20) : 5 = -4$.
Модули при этом просто умножают или делят, как обычные числа. Знак определяют отдельно и приписывают к результату.
Два случая стоит запомнить особо: умножение на нуль всегда даёт нуль, а делить на нуль нельзя.
Алгоритм решения выражений
Чтобы не сбиться в длинном примере, действуй по шагам.
- Определи порядок действий: сначала скобки, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание.
- Возьми первое действие и посмотри на знаки чисел в нём.
- Если это вычитание, замени его сложением с противоположным числом.
- Определи знак будущего результата по правилу для этого действия.
- Посчитай модули и запиши ответ с найденным знаком.
- Переходи к следующему действию и повторяй, пока не останется одно число.
Примеры с подробным объяснением
Разберём три примера: от простой цепочки сложений до выражения со скобками и четырьмя действиями.
Задача на сложение и вычитание
Условие
Найди значение выражения $-24 + 16-(-45)$.
Шаг 1. Скобок и умножения нет, поэтому считаем по порядку слева направо. Первое действие: $-24 + 16$.
Шаг 2. Знаки у слагаемых разные, значит, вычитаем модули: $24-16 = 8$. Больший модуль у числа $-24$, поэтому ответ отрицательный: $-24 + 16 = -8$.
Шаг 3. Второе действие: $-8-(-45)$. Заменяем вычитание сложением с противоположным числом. Противоположное к $-45$ — это $45$: $-8-(-45) = -8 + 45$.
Шаг 4. Снова разные знаки, снова вычитаем модули: $45-8 = 37$. Теперь больший модуль у положительного числа, поэтому ответ положительный.
Ответ: $37$.
Задача на умножение и деление
Условие
Вычисли значение выражения $-15 \cdot (-4) : 10$.
Шаг 1. Умножение и деление равны по старшинству, поэтому выполняем их слева направо. Первым идёт умножение: $-15 \cdot (-4)$.
Шаг 2. Знаки у множителей одинаковые — оба минуса, значит, результат положительный. Перемножаем модули: $15 \cdot 4 = 60$.
Получаем: $-15 \cdot (-4) = 60$.
Шаг 3. Теперь деление: $60 : 10$. Оба числа положительные, поэтому и ответ положительный: $60 : 10 = 6$.
Ответ: $6$.
Комплексный пример
Условие
Вычисли значение выражения $(-34 + 14) : (-5) + (-2) \cdot 4$.
Шаг 1. Первым делом разбираемся со скобкой: $-34 + 14$.
Знаки разные, вычитаем модули: $34-14 = 20$. Больший модуль у отрицательного числа, поэтому результат отрицательный: $-34 + 14 = -20$.
Выражение приняло вид: $-20 : (-5) + (-2) \cdot 4$.
Шаг 2. Дальше идут умножение и деление — они выполняются раньше сложения. Сначала деление: $-20 : (-5)$.
Знаки одинаковые, значит, ответ положительный: $20 : 5 = 4$, то есть $-20 : (-5) = 4$.
Шаг 3. Теперь умножение: $(-2) \cdot 4$.
Знаки разные, ответ отрицательный: $2 \cdot 4 = 8$, то есть $(-2) \cdot 4 = -8$.
Выражение свелось к сложению: $4 + (-8)$.
Шаг 4. Складываем числа с разными знаками. Вычитаем модули: $8-4 = 4$. Больший модуль у отрицательного числа, поэтому ответ со знаком минус: $4 + (-8) = -4$.
Ответ: $-4$.
Типичные ошибки
Двойной минус
Неверно: увидеть запись $15-(-5)$ и начать вычитать модули.
Как нужно: сначала избавиться от двойного минуса. Два минуса подряд дают плюс: $15-(-5) = 15 + 5 = 20$.
Проверить себя просто по смыслу: мы отнимаем отрицательное число, то есть убираем долг, — значит, результат должен вырасти, а не уменьшиться.
Путаница правил сложения и умножения
Неверно: посчитать $-2 + (-3)$ по правилу «минус на минус даёт плюс» и получить $5$.
Как нужно: это правило работает только при умножении и делении. При сложении двух отрицательных чисел модули складываются, а знак минус сохраняется: $-2 + (-3) = -5$.
Сравни два действия с одними и теми же числами: $-2 + (-3) = -5$, но $-2 \cdot (-3) = 6$. Ответы отличаются и по знаку, и по значению.
Потеря знака результата
Неверно: в примере $-50 + 10$ верно вычесть модули и записать $40$.
Как нужно: знак ответа определяют до вычислений. Больший модуль у числа $-50$, значит, ответ будет отрицательным: $-50 + 10 = -40$.
Возьми за привычку сначала называть знак, а потом считать модули — тогда терять минус станет негде.
Самопроверка
Реши выражения самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. $-12 + (-18)$
Задание 2. $45 : (-9)$
Задание 3. $-7-(-15)$
Задание 4. $-3 \cdot (-8) + 20 : (-4)$
Решение к заданию 1. Знаки у слагаемых одинаковые, поэтому складываем модули и оставляем минус: $12 + 18 = 30$.
Ответ: $-30$.
Решение к заданию 2. Знаки разные, значит, результат отрицательный. Делим модули: $45 : 9 = 5$.
Ответ: $-5$.
Решение к заданию 3. Заменяем вычитание сложением с противоположным числом: $-7-(-15) = -7 + 15$.
Знаки разные, вычитаем модули: $15-7 = 8$. Больший модуль у положительного числа, поэтому ответ положительный.
Ответ: $8$.
Решение к заданию 4. Сначала выполняем умножение и деление.
Умножение: знаки одинаковые, ответ положительный, $3 \cdot 8 = 24$, то есть $-3 \cdot (-8) = 24$.
Деление: знаки разные, ответ отрицательный, $20 : 4 = 5$, то есть $20 : (-4) = -5$.
Осталось сложение: $24 + (-5)$. Знаки разные, вычитаем модули: $24-5 = 19$. Больший модуль у положительного числа, поэтому ответ положительный.
Ответ: $19$.
Заключение
Теперь ты умеешь складывать, вычитать, умножать и делить целые числа с любыми знаками и считать выражения, где эти действия идут вперемешку со скобками. Общий подход везде один: сначала определить знак результата, потом посчитать модули.
Правила для разных действий не совпадают, и путать их нельзя. При сложении всё решает сравнение модулей: одинаковые знаки — модули складываем и знак оставляем, разные — вычитаем меньший модуль из большего и берём знак того числа, чей модуль крупнее. При умножении и делении проще: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Вычитание же отдельного правила не требует, его всегда можно заменить сложением с противоположным числом.
Отдельно следи за двойным минусом: запись вида $a-(-b)$ превращается в сложение и увеличивает результат. Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для решения уравнений и действий с рациональными числами.
