Положительные и отрицательные числа изучают в 6 классе, а дальше они встречаются почти в каждой теме. Главная трудность не в вычислениях, а в интуиции: непонятно, почему $- 7$ меньше, чем $- 2$ , хотя семёрка больше двойки. Разберём, как устроена координатная прямая, что такое противоположные числа и по какому правилу сравнивают значения с разными знаками.

Положительные и отрицательные числа

Натуральные числа — те, которыми считают предметы: $1$, $2$, $3$ и дальше. Все они положительные и целые.

Нуль не относится ни к тем, ни к другим. Он стоит между двумя группами и служит границей: всё, что больше нуля, — положительное, всё, что меньше, — отрицательное.

Противоположные числа

Для числа $2$ противоположным будет $- 2$ , для $- 3$ — число $3$. В общем виде: если взять число $a$ , противоположным ему будет $- a$ .

Особый случай — нуль. Он противоположен сам себе, потому что $- 0 = 0$ : от нуля до нуля никакого расстояния нет.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Множество целых чисел

Получается три группы:

целые положительные: $1$, $2$, $3$ и так далее;
нуль: $0$;
целые отрицательные: $- 1$ , $- 2$ , $- 3$ и так далее.

Дробей и десятичных записей среди целых чисел нет: $\frac{1}{2}$ и $0, 7$ в это множество не входят.

Координатная прямая

Чтобы увидеть, где стоит число, чертят координатную прямую. У неё три обязательные части: начало отсчёта, единичный отрезок и направление.

Начало отсчёта обозначают точкой $O$ , её координата равна нулю. Направление показывают стрелкой вправо — в эту сторону числа растут. Единичный отрезок задаёт шаг между соседними целыми числами, и на всём чертеже он должен быть одинаковым.

Всё, что правее нуля, — положительные числа, всё, что левее, — отрицательные. Например, точка $- 4$ стоит на четыре единичных отрезка левее начала отсчёта.

Каждому числу соответствует ровно одна точка прямой. Поэтому по чертежу легко проверить себя: достаточно посчитать, в какую сторону и на сколько отрезков ты отошёл от нуля.

Как сравнивать положительные и отрицательные числа

Все правила сравнения сводятся к одному: из двух чисел больше то, которое стоит правее на координатной прямой.

Отсюда сразу следует несколько выводов.

Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного: $5 > 0$ и $5 > - 8$ .

Любое отрицательное число меньше нуля: $- 3 < 0$ .

Сложнее всего сравнить два отрицательных числа — оба стоят слева от нуля. Здесь работает такое правило:

Сравнение отрицательных чисел на координатной прямой показывает, какое число ближе к нулю.

Сравним $- 10$ и $- 1$ . Единица отстоит от нуля всего на один отрезок, а десятка — на десять. Значит, $- 1$ стоит правее и оно больше: $- 1 > - 10$ .

Именно здесь и прячется главная ловушка темы. У положительных чисел $10 > 1$ , а у отрицательных всё переворачивается.

Алгоритм работы с числами на координатной прямой

Если нужно отметить числа или проверить готовый чертёж, действуй по шагам.

Начерти прямую и поставь стрелку вправо — это положительное направление.
Отметь начало отсчёта — точку $O$ с координатой $0$.
Выбери единичный отрезок, например одну клетку тетради, и дальше не меняй его.
Посмотри на знак числа: плюс — идём от нуля вправо, минус — влево.
Отсчитай столько единичных отрезков, сколько показывает число без знака.
Проверь себя: расстояние от нуля до точки должно совпадать с числом без знака.

Примеры решения задач

Закрепим правила на трёх типовых заданиях.

Задача на координатную прямую

Условие

Отметь на координатной прямой точки $- 3$ , $4$, $- 4$ , $2$. Найди среди них противоположные числа.

Шаг 1. Чертим прямую, ставим стрелку вправо и отмечаем начало отсчёта — точку $O$ с координатой $0$. За единичный отрезок берём одну клетку.

Шаг 2. Отмечаем положительные числа. Для $4$ отсчитываем вправо от нуля четыре клетки, для $2$ — две клетки.

Шаг 3. Отмечаем отрицательные числа. Знак минус означает движение влево: для $- 3$ отсчитываем три клетки влево, для $- 4$ — четыре клетки.

Точки -3, 4, -4 и 2 отмечены на координатной прямой для поиска противоположных чисел. — Рисунок к заданию 1

Шаг 4. Ищем противоположные числа. Они должны отличаться только знаком и стоять на равном расстоянии от нуля по разные стороны прямой.

Шаг 5. Проверяем пары. Числа $4$ и $- 4$ отстоят от нуля на четыре клетки каждое — одно вправо, другое влево. Это и есть противоположные числа. Для $- 3$ и $2$ пары среди отмеченных точек нет.

Ответ: противоположные числа — $4$ и $- 4$ .

Задача про изменение температуры

Условие

Термометр за окном показывал $- 5$ градусов. Потом температура изменилась на $7$ градусов. Какой она стала?

Шаг 1. Читаем условие внимательно. Сказано, что температура изменилась, но не сказано, потеплело или похолодало. Значит, ответов будет два.

Термометр показывает изменение температуры от -5 на 7 градусов вверх или вниз по шкале. — Рисунок к заданию 2

Шаг 2. Разбираем потепление. Двигаемся по шкале вверх на $7$ делений: $- 5 + 7 = 2$ . Термометр покажет $2$ градуса тепла.

Шаг 3. Разбираем похолодание. Двигаемся вниз на $7$ делений: $- 5 - 7 = - 12$ . Термометр покажет $12$ градусов мороза.

Шаг 4. Проверяем по смыслу. При потеплении температура выросла с $- 5$ до $2$, при похолодании упала с $- 5$ до $- 12$ . Оба результата согласуются с условием.

Ответ: $2$ градуса при потеплении и $- 12$ градусов при похолодании.

Задача на сравнение отрицательных чисел

Условие

Сравни числа $- 14$ и $- 8$ .

Шаг 1. Оба числа отрицательные, значит, оба стоят левее нуля. Сравнивать их как обычные числа нельзя.

Шаг 2. Смотрим, какое из них ближе к нулю. Число $- 8$ отстоит от нуля на восемь отрезков, а $- 14$ — на четырнадцать.

Числа -14 и -8 на координатной прямой помогают сравнить отрицательные числа по расстоянию до нуля. — Рисунок к заданию 3

Шаг 3. Ближе к нулю оказалось $- 8$ , значит, на прямой оно правее.

Шаг 4. Правее — значит больше: $- 8 > - 14$ .

Проверка. Представим это как долг: задолжать $8$ рублей лучше, чем $14$. Во втором случае денег у тебя меньше.

Ответ: $- 8 > - 14$ .

Типичные ошибки

Нуль считают положительным числом

Как ошибаются: относят нуль к положительным числам и записывают его в ответ на вопрос о натуральных или положительных значениях.

Как правильно: нуль не положительный и не отрицательный. Это граница между двумя группами, и в ответы про положительные или отрицательные числа он не входит.

Отрицательные числа сравнивают по величине цифр

Как ошибаются: видят $- 20$ и $- 5$ , замечают, что $20$ больше $5$, и ставят знак $- 20 > - 5$ .

Как правильно: у отрицательных чисел всё наоборот. Число $- 20$ дальше от нуля, значит, левее и меньше: $- 20 < - 5$ .

Единичный отрезок берут разной длины

Как ошибаются: ставят точки на прямой на глаз, из-за чего расстояния между соседними числами получаются разными.

Как правильно: единичный отрезок выбирают один раз и выдерживают на всём чертеже. Иначе точка окажется не там, где должна, и сравнение по прямой перестанет работать.

Забывают про два случая в задачах со словом «изменилась»

Как ошибаются: видят фразу «температура изменилась на $7$ градусов» и считают только потепление.

Как правильно: если в условии не сказано, что величина выросла или уменьшилась, нужно разобрать оба варианта и записать два ответа.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Какое число противоположно числу $17$?

Задание 2. Сравни числа $- 1$ и $- 100$ . Какое из них больше?

Задание 3. Температура на улице была $- 2$ градуса, а затем потеплело на $6$ градусов. Что покажет термометр?

Задание 4. Выпиши все целые отрицательные числа, которые больше, чем $- 4$ .

Решение к заданию 1. Противоположные числа отличаются только знаком, поэтому у положительного $17$ противоположным будет отрицательное с тем же расстоянием до нуля.

Ответ: $- 17$ .

Решение к заданию 2. Оба числа отрицательные. Число $- 1$ отстоит от нуля на один отрезок, а $- 100$ — на сто. Ближе к нулю и правее оказалось $- 1$ .

Ответ: $- 1 > - 100$ .

Решение к заданию 3. Потеплело — значит, движемся по шкале вверх: $- 2 + 6 = 4$ .

Ответ: $4$ градуса.

Решение к заданию 4. Нужны числа левее нуля, но правее $- 4$ . Отсчитываем от $- 4$ в сторону нуля: $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ . Дальше идёт сам нуль, но он не отрицательный, поэтому в ответ не входит.

Ответ: $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ .

Заключение

Теперь ты умеешь отмечать положительные и отрицательные числа на координатной прямой, находить противоположные числа и сравнивать значения с разными знаками. Главное правило одно: число, которое стоит правее, больше. Из него следует и всё остальное — и то, что положительные больше нуля, и то, что из двух отрицательных больше ближнее к нулю.

Целые числа складываются из трёх групп: натуральных, им противоположных и нуля. Сам нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным — он служит границей между ними.

Если сомневаешься в ответе, начерти координатную прямую и посмотри, какая точка правее. Это самый надёжный способ не ошибиться со знаком. Навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для действий с рациональными числами.

Положительные, отрицательные и целые числа: теория и задачи для 6 класса

Положительные и отрицательные числа

Противоположные числа

Множество целых чисел

Координатная прямая

Как сравнивать положительные и отрицательные числа

Алгоритм работы с числами на координатной прямой