Положительные и отрицательные числа изучают в 6 классе, а дальше они встречаются почти в каждой теме. Главная трудность не в вычислениях, а в интуиции: непонятно, почему $-7$ меньше, чем $-2$, хотя семёрка больше двойки. Разберём, как устроена координатная прямая, что такое противоположные числа и по какому правилу сравнивают значения с разными знаками.
Положительные и отрицательные числа
Натуральные числа — те, которыми считают предметы: $1$, $2$, $3$ и дальше. Все они положительные и целые.
Нуль не относится ни к тем, ни к другим. Он стоит между двумя группами и служит границей: всё, что больше нуля, — положительное, всё, что меньше, — отрицательное.
Противоположные числа
Для числа $2$ противоположным будет $-2$, для $-3$ — число $3$. В общем виде: если взять число $a$, противоположным ему будет $-a$.
Особый случай — нуль. Он противоположен сам себе, потому что $-0 = 0$: от нуля до нуля никакого расстояния нет.
Множество целых чисел
Получается три группы:
- целые положительные: $1$, $2$, $3$ и так далее;
- нуль: $0$;
- целые отрицательные: $-1$, $-2$, $-3$ и так далее.
Дробей и десятичных записей среди целых чисел нет: $\frac{1}{2}$ и $0{,}7$ в это множество не входят.
Координатная прямая
Чтобы увидеть, где стоит число, чертят координатную прямую. У неё три обязательные части: начало отсчёта, единичный отрезок и направление.
Начало отсчёта обозначают точкой $O$, её координата равна нулю. Направление показывают стрелкой вправо — в эту сторону числа растут. Единичный отрезок задаёт шаг между соседними целыми числами, и на всём чертеже он должен быть одинаковым.
Всё, что правее нуля, — положительные числа, всё, что левее, — отрицательные. Например, точка $-4$ стоит на четыре единичных отрезка левее начала отсчёта.
Каждому числу соответствует ровно одна точка прямой. Поэтому по чертежу легко проверить себя: достаточно посчитать, в какую сторону и на сколько отрезков ты отошёл от нуля.
Как сравнивать положительные и отрицательные числа
Все правила сравнения сводятся к одному: из двух чисел больше то, которое стоит правее на координатной прямой.
Отсюда сразу следует несколько выводов.
Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного: $5 > 0$ и $5 > -8$.
Любое отрицательное число меньше нуля: $-3 < 0$.
Сложнее всего сравнить два отрицательных числа — оба стоят слева от нуля. Здесь работает такое правило:
Сравним $-10$ и $-1$. Единица отстоит от нуля всего на один отрезок, а десятка — на десять. Значит, $-1$ стоит правее и оно больше: $-1 > -10$.
Именно здесь и прячется главная ловушка темы. У положительных чисел $10 > 1$, а у отрицательных всё переворачивается.
Алгоритм работы с числами на координатной прямой
Если нужно отметить числа или проверить готовый чертёж, действуй по шагам.
- Начерти прямую и поставь стрелку вправо — это положительное направление.
- Отметь начало отсчёта — точку $O$ с координатой $0$.
- Выбери единичный отрезок, например одну клетку тетради, и дальше не меняй его.
- Посмотри на знак числа: плюс — идём от нуля вправо, минус — влево.
- Отсчитай столько единичных отрезков, сколько показывает число без знака.
- Проверь себя: расстояние от нуля до точки должно совпадать с числом без знака.
Примеры решения задач
Закрепим правила на трёх типовых заданиях.
Задача на координатную прямую
Условие
Отметь на координатной прямой точки $-3$, $4$, $-4$, $2$. Найди среди них противоположные числа.
Шаг 1. Чертим прямую, ставим стрелку вправо и отмечаем начало отсчёта — точку $O$ с координатой $0$. За единичный отрезок берём одну клетку.
Шаг 2. Отмечаем положительные числа. Для $4$ отсчитываем вправо от нуля четыре клетки, для $2$ — две клетки.
Шаг 3. Отмечаем отрицательные числа. Знак минус означает движение влево: для $-3$ отсчитываем три клетки влево, для $-4$ — четыре клетки.
Рисунок к заданию 1
Шаг 4. Ищем противоположные числа. Они должны отличаться только знаком и стоять на равном расстоянии от нуля по разные стороны прямой.
Шаг 5. Проверяем пары. Числа $4$ и $-4$ отстоят от нуля на четыре клетки каждое — одно вправо, другое влево. Это и есть противоположные числа. Для $-3$ и $2$ пары среди отмеченных точек нет.
Ответ: противоположные числа — $4$ и $-4$.
Задача про изменение температуры
Условие
Термометр за окном показывал $-5$ градусов. Потом температура изменилась на $7$ градусов. Какой она стала?
Шаг 1. Читаем условие внимательно. Сказано, что температура изменилась, но не сказано, потеплело или похолодало. Значит, ответов будет два.
Рисунок к заданию 2
Шаг 2. Разбираем потепление. Двигаемся по шкале вверх на $7$ делений: $-5 + 7 = 2$. Термометр покажет $2$ градуса тепла.
Шаг 3. Разбираем похолодание. Двигаемся вниз на $7$ делений: $-5-7 = -12$. Термометр покажет $12$ градусов мороза.
Шаг 4. Проверяем по смыслу. При потеплении температура выросла с $-5$ до $2$, при похолодании упала с $-5$ до $-12$. Оба результата согласуются с условием.
Ответ: $2$ градуса при потеплении и $-12$ градусов при похолодании.
Задача на сравнение отрицательных чисел
Условие
Сравни числа $-14$ и $-8$.
Шаг 1. Оба числа отрицательные, значит, оба стоят левее нуля. Сравнивать их как обычные числа нельзя.
Шаг 2. Смотрим, какое из них ближе к нулю. Число $-8$ отстоит от нуля на восемь отрезков, а $-14$ — на четырнадцать.
Рисунок к заданию 3
Шаг 3. Ближе к нулю оказалось $-8$, значит, на прямой оно правее.
Шаг 4. Правее — значит больше: $-8 > -14$.
Проверка. Представим это как долг: задолжать $8$ рублей лучше, чем $14$. Во втором случае денег у тебя меньше.
Ответ: $-8 > -14$.
Типичные ошибки
Нуль считают положительным числом
Как ошибаются: относят нуль к положительным числам и записывают его в ответ на вопрос о натуральных или положительных значениях.
Как правильно: нуль не положительный и не отрицательный. Это граница между двумя группами, и в ответы про положительные или отрицательные числа он не входит.
Отрицательные числа сравнивают по величине цифр
Как ошибаются: видят $-20$ и $-5$, замечают, что $20$ больше $5$, и ставят знак $-20 > -5$.
Как правильно: у отрицательных чисел всё наоборот. Число $-20$ дальше от нуля, значит, левее и меньше: $-20 < -5$.
Единичный отрезок берут разной длины
Как ошибаются: ставят точки на прямой на глаз, из-за чего расстояния между соседними числами получаются разными.
Как правильно: единичный отрезок выбирают один раз и выдерживают на всём чертеже. Иначе точка окажется не там, где должна, и сравнение по прямой перестанет работать.
Забывают про два случая в задачах со словом «изменилась»
Как ошибаются: видят фразу «температура изменилась на $7$ градусов» и считают только потепление.
Как правильно: если в условии не сказано, что величина выросла или уменьшилась, нужно разобрать оба варианта и записать два ответа.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Какое число противоположно числу $17$?
Задание 2. Сравни числа $-1$ и $-100$. Какое из них больше?
Задание 3. Температура на улице была $-2$ градуса, а затем потеплело на $6$ градусов. Что покажет термометр?
Задание 4. Выпиши все целые отрицательные числа, которые больше, чем $-4$.
Решение к заданию 1. Противоположные числа отличаются только знаком, поэтому у положительного $17$ противоположным будет отрицательное с тем же расстоянием до нуля.
Ответ: $-17$.
Решение к заданию 2. Оба числа отрицательные. Число $-1$ отстоит от нуля на один отрезок, а $-100$ — на сто. Ближе к нулю и правее оказалось $-1$.
Ответ: $-1 > -100$.
Решение к заданию 3. Потеплело — значит, движемся по шкале вверх: $-2 + 6 = 4$.
Ответ: $4$ градуса.
Решение к заданию 4. Нужны числа левее нуля, но правее $-4$. Отсчитываем от $-4$ в сторону нуля: $-3$, $-2$, $-1$. Дальше идёт сам нуль, но он не отрицательный, поэтому в ответ не входит.
Ответ: $-3$, $-2$, $-1$.
Заключение
Теперь ты умеешь отмечать положительные и отрицательные числа на координатной прямой, находить противоположные числа и сравнивать значения с разными знаками. Главное правило одно: число, которое стоит правее, больше. Из него следует и всё остальное — и то, что положительные больше нуля, и то, что из двух отрицательных больше ближнее к нулю.
Целые числа складываются из трёх групп: натуральных, им противоположных и нуля. Сам нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным — он служит границей между ними.
Если сомневаешься в ответе, начерти координатную прямую и посмотри, какая точка правее. Это самый надёжный способ не ошибиться со знаком. Навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для действий с рациональными числами.
