Пока в уравнении одна переменная, ответом бывает число. Стоит появиться второй — и решением становится уже пара чисел, а всех решений оказывается бесконечно много. Записать их списком невозможно, поэтому их рисуют: каждая пара превращается в точку на координатной плоскости, а все точки вместе складываются в линию. Разберём, как устроены такие уравнения, как строить их графики и где чаще всего теряют знаки.
Основные понятия
Линейное уравнение с двумя переменными
Проверим на примере. Пара $(1; 2)$ — решение уравнения $x + y = 3$, потому что при подстановке получается верное равенство: $1 + 2 = 3$.
Решений у одного уравнения обычно бесконечно много. Для $x + y = 3$ подходят и $(0; 3)$, и $(3; 0)$, и $(5;-2)$ — можно взять любое значение $x$ и подобрать под него $y$.
Что такое график уравнения
Если хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, графиком линейного уравнения будет прямая. Отсюда и практическое следствие: чтобы построить график, достаточно найти всего две точки, ведь через две точки проходит ровно одна прямая.
Отдельно стоит разобрать случаи, когда один из коэффициентов обращается в нуль.
- $a = 0$, уравнение превращается в $by = c$, откуда $y = \frac{c}{b}$. Переменная $x$ ни на что не влияет, поэтому график — горизонтальная прямая.
- $b = 0$, уравнение превращается в $ax = c$, откуда $x = \frac{c}{a}$. Теперь ни на что не влияет $y$, и график — вертикальная прямая.
Если же оба коэффициента равны нулю, уравнение перестаёт быть линейным. При $c \ne 0$ запись вида $0x + 0y = 3$ решений не имеет: слева при любых $x$ и $y$ получается нуль. А при $c = 0$ запись $0x + 0y = 0$ верна для всех пар чисел, и графиком будет вся плоскость.
Нелинейные уравнения
Переменные могут стоять и в квадрате, и перемножаться между собой. Тогда график перестаёт быть прямой.
Степень уравнения определяют по слагаемым: в каждом складывают показатели степеней переменных и берут наибольшую из полученных сумм. В уравнении $x^2 + y^2 = 9$ степень равна двум, в уравнении $xy = 6$ — тоже двум, потому что $x$ и $y$ в произведении дают в сумме показатель $2$.
Алгоритм построения прямой
Чтобы построить график линейного уравнения, действуй по шагам.
- Вырази $y$ через $x$. Оставь $y$ в одной части уравнения, а всё остальное перенеси в другую, меняя знаки.
- Выбери два значения $x$. Бери такие, при которых вычисления получатся простыми, и не слишком близкие друг к другу.
- Вычисли соответствующие значения $y$. Подставь каждое значение $x$ в полученную формулу.
- Отметь точки на координатной плоскости. Каждая пара чисел даёт одну точку.
- Проведи через них прямую по линейке.
- Проверь себя. Возьми третье значение $x$, найди $y$ и убедись, что новая точка легла на ту же прямую. Если не легла — ошибка в вычислениях.
Примеры решения задач
Линейное уравнение
Условие
Построй график уравнения $2x + y = 4$.
Шаг 1. Выразим $y$. Переносим $2x$ в правую часть, меняя знак на противоположный: $y = 4-2x$.
Шаг 2. Выберем значения $x$. Возьмём $x = 0$ и $x = 2$ — с ними вычисления будут устными.
Шаг 3. Найдём $y$ для первого значения: при $x = 0$ получаем $y = 4-2 \cdot 0 = 4$. Первая точка — $(0; 4)$.
Шаг 4. Найдём $y$ для второго значения: при $x = 2$ получаем $y = 4-2 \cdot 2 = 0$. Вторая точка — $(2; 0)$.
Шаг 5. Отмечаем обе точки на плоскости и проводим через них прямую.
Проверка. Возьмём третье значение, $x = 1$: тогда $y = 4-2 = 2$. Точка $(1; 2)$ должна лежать ровно посередине между двумя первыми — так и получается на чертеже.
Рисунок к заданию 1
Ответ: график — прямая, проходящая через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$.
Уравнение с отрицательным коэффициентом при y
Условие
Построй график уравнения $3x-2y = 6$.
Шаг 1. Оставим слагаемое с $y$ слева, а $3x$ перенесём вправо со сменой знака: $-2y =-3x + 6$.
Шаг 2. Разделим обе части на $-2$. Делим каждое слагаемое, и знаки при этом меняются: $y = 1{,}5x-3$.
Шаг 3. Коэффициент дробный, поэтому подберём значения $x$, при которых дробь исчезнет. Чётные числа подойдут: возьмём $x = 0$ и $x = 4$.
Шаг 4. При $x = 0$ получаем $y = 1{,}5 \cdot 0-3 =-3$. Первая точка — $(0;-3)$.
Шаг 5. При $x = 4$ получаем $y = 1{,}5 \cdot 4-3 = 6-3 = 3$. Вторая точка — $(4; 3)$.
Шаг 6. Отмечаем точки и проводим прямую.
Проверка. Подставим координаты второй точки в исходное уравнение: $3 \cdot 4-2 \cdot 3 = 12-6 = 6$. Равенство верное, точка найдена правильно.
Рисунок к заданию 2
Ответ: график — прямая, проходящая через точки $(0;-3)$ и $(4; 3)$.
Уравнение окружности
Условие
Определи, что является графиком уравнения $(x-2)^2 + y^2 = 9$, и опиши его.
Шаг 1. Определим тип графика. Обе переменные стоят в квадрате и складываются — перед нами уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
Шаг 2. Найдём первую координату центра. Сравниваем $(x-2)^2$ с образцом $(x-a)^2$: получается $a = 2$.
Шаг 3. Найдём вторую координату. В уравнении записано просто $y^2$, но это то же самое, что $(y-0)^2$, поэтому $b = 0$. Центр окружности — точка $(2; 0)$.
Шаг 4. Найдём радиус. Справа стоит $R^2 = 9$, значит, $R = 3$. Отрицательное значение не рассматриваем: радиус — это расстояние.
Шаг 5. Строим. Отмечаем центр $(2; 0)$, откладываем от него по три единицы вверх, вниз, влево и вправо и проводим через полученные точки окружность.
Проверка. Возьмём крайнюю правую точку окружности — $(5; 0)$ — и подставим в уравнение: $(5-2)^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9$. Верно.
Рисунок к заданию 3
Ответ: график — окружность с центром в точке $(2; 0)$ и радиусом $3$.
Типичные ошибки
Путают оси координат
Как ошибаются: откладывают первое число пары по вертикали, а второе по горизонтали.
Как правильно: в паре $(x; y)$ первое число всегда откладывают по горизонтальной оси $x$, второе — по вертикальной оси $y$. Точки $(3; 1)$ и $(1; 3)$ — разные точки плоскости.
Берут слишком близкие точки
Как ошибаются: для построения прямой выбирают $x = 0$ и $x = 1$.
Как правильно: брать значения подальше друг от друга — на три-пять делений. Через близкие точки прямую легко провести с небольшим перекосом, и чем дальше от них, тем сильнее уходит график.
Теряют знак при переносе
Как ошибаются: из уравнения $2x + y = 4$ получают $y = 4 + 2x$.
Как правильно: при переносе через знак равенства слагаемое меняет знак: $y = 4-2x$. Ошибка в одном знаке разворачивает прямую в другую сторону, поэтому график получается совсем не тот.
Считают, что $y = 5$ — это точка
Как ошибаются: отмечают на оси $y$ единственную точку с координатой $5$.
Как правильно: это горизонтальная прямая. Уравнению подходит любая пара, у которой вторая координата равна пяти: и $(0; 5)$, и $(2; 5)$, и $(-3; 5)$. Значение $x$ ничем не ограничено.
Путают знак в координатах центра окружности
Как ошибаются: в уравнении $(x + 4)^2 + y^2 = 25$ определяют центр как $(4; 0)$.
Как правильно: в формуле стоит минус: $(x-a)^2$. Значит, запись $(x + 4)^2$ нужно понимать как $(x-(-4))^2$, и первая координата центра равна $-4$. Центр находится в точке $(-4; 0)$.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Какие из пар чисел являются решениями уравнения $x + 3y = 7$: $(1; 2)$ или $(4; 1)$?
Задание 2. Как выглядит график уравнения $x + 0y =-3$?
Задание 3. Вырази $y$ из уравнения $5x-5y = 20$.
Задание 4. Найди центр и радиус окружности $(x + 1)^2 + (y-3)^2 = 16$.
Решение к заданию 1. Проверяем каждую пару подстановкой, помня, что первое число — это $x$, второе — $y$.
Первая пара: $1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$. Равенство верное.
Вторая пара: $4 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7$. Тоже верное.
Ответ: обе пары являются решениями.
Решение к заданию 2. Слагаемое $0y$ равно нулю при любом $y$, поэтому уравнение сводится к $x =-3$. Значение $y$ ничем не ограничено, а $x$ всегда равен $-3$.
Ответ: вертикальная прямая, проходящая через точку $-3$ на оси $x$.
Решение к заданию 3. Переносим $5x$ вправо со сменой знака: $-5y =-5x + 20$.
Делим обе части на $-5$: $y = x-4$.
Ответ: $y = x-4$.
Решение к заданию 4. Сравниваем с формулой $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
Запись $(x + 1)^2$ означает $(x-(-1))^2$, поэтому $a =-1$. Запись $(y-3)^2$ даёт $b = 3$.
Радиус находим из равенства $R^2 = 16$, откуда $R = 4$.
Ответ: центр $(-1; 3)$, радиус $4$.
Заключение
Теперь ты умеешь проверять пары чисел на то, являются ли они решениями, выражать $y$ через $x$, строить графики линейных уравнений и распознавать уравнение окружности. Главное отличие темы от уравнений с одной переменной: решением служит пара чисел, а решений обычно бесконечно много — все они и складываются в график.
Для построения прямой хватает двух точек, но брать их стоит подальше друг от друга и обязательно проверять третьей. Следи за знаками при переносе слагаемых: одна потерянная минус-единица разворачивает прямую в другую сторону.
И запомни ловушку с окружностью: в формуле стоит минус, поэтому $(x + 4)^2$ означает координату центра $-4$, а не $4$. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре и станут основой для решения систем уравнений графическим способом.
