Уравнение с двумя переменными и его график

Линейное уравнение с двумя переменными

Проверим на примере. Пара $(1; 2)$ — решение уравнения $x+y=3$, потому что при подстановке получается верное равенство: $1+2=3$.

Решений у одного уравнения обычно бесконечно много. Для $x+y=3$ подходят и $(0; 3)$, и $(3; 0)$, и $(5;-2)$ — можно взять любое значение $x$ и подобрать под него $y$.

Что такое график уравнения

Если хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, графиком линейного уравнения будет прямая. Отсюда и практическое следствие: чтобы построить график, достаточно найти всего две точки, ведь через две точки проходит ровно одна прямая.

Отдельно стоит разобрать случаи, когда один из коэффициентов обращается в нуль.

• $a=0$, уравнение превращается в $by=c$, откуда $y=\frac{c}{b}$. Переменная $x$ ни на что не влияет, поэтому график — горизонтальная прямая.

• $b=0$, уравнение превращается в $ax=c$, откуда $x=\frac{c}{a}$. Теперь ни на что не влияет $y$, и график — вертикальная прямая.

Если же оба коэффициента равны нулю, уравнение перестаёт быть линейным. При $c\ne 0$ запись вида $0x+0y=3$ решений не имеет: слева при любых $x$ и $y$ получается нуль. А при $c=0$ запись $0x+0y=0$ верна для всех пар чисел, и графиком будет вся плоскость.

Нелинейные уравнения

Переменные могут стоять и в квадрате, и перемножаться между собой. Тогда график перестаёт быть прямой.

Степень уравнения определяют по слагаемым: в каждом складывают показатели степеней переменных и берут наибольшую из полученных сумм. В уравнении $x^2+y^2=9$ степень равна двум, в уравнении $xy=6$ — тоже двум, потому что $x$ и $y$ в произведении дают в сумме показатель $2$.

Чтобы построить график линейного уравнения, действуй по шагам.

1. Вырази $y$ через $x$. Оставь $y$ в одной части уравнения, а всё остальное перенеси в другую, меняя знаки.
2. Выбери два значения $x$. Бери такие, при которых вычисления получатся простыми, и не слишком близкие друг к другу.
3. Вычисли соответствующие значения $y$. Подставь каждое значение $x$ в полученную формулу.
4. Отметь точки на координатной плоскости. Каждая пара чисел даёт одну точку.
5. Проведи через них прямую по линейке.
6. Проверь себя. Возьми третье значение $x$, найди $y$ и убедись, что новая точка легла на ту же прямую. Если не легла — ошибка в вычислениях.

Линейное уравнение

Условие
Построй график уравнения $2x+y=4$.

Уравнение с отрицательным коэффициентом при y

Условие
Построй график уравнения $3x-2y=6$.

Уравнение окружности

Условие
Определи, что является графиком уравнения $(x-2{)}^2+y^2=9$, и опиши его.

Путают оси координат

Как ошибаются: откладывают первое число пары по вертикали, а второе по горизонтали.

Как правильно: в паре $(x; y)$ первое число всегда откладывают по горизонтальной оси $x$, второе — по вертикальной оси $y$. Точки $(3; 1)$ и $(1; 3)$ — разные точки плоскости.

Берут слишком близкие точки

Как ошибаются: для построения прямой выбирают $x=0$ и $x=1$.

Как правильно: брать значения подальше друг от друга — на три-пять делений. Через близкие точки прямую легко провести с небольшим перекосом, и чем дальше от них, тем сильнее уходит график.

Теряют знак при переносе

Как ошибаются: из уравнения $2x+y=4$ получают $y=4+2x$.

Как правильно: при переносе через знак равенства слагаемое меняет знак: $y=4-2x$. Ошибка в одном знаке разворачивает прямую в другую сторону, поэтому график получается совсем не тот.

Считают, что $y=5$ — это точка

Как ошибаются: отмечают на оси $y$ единственную точку с координатой $5$.

Как правильно: это горизонтальная прямая. Уравнению подходит любая пара, у которой вторая координата равна пяти: и $(0; 5)$, и $(2; 5)$, и $(-3; 5)$. Значение $x$ ничем не ограничено.

Путают знак в координатах центра окружности

Как ошибаются: в уравнении $(x+4{)}^2+y^2=25$ определяют центр как $(4; 0)$.

Как правильно: в формуле стоит минус: $(x-a{)}^2$. Значит, запись $(x+4{)}^2$ нужно понимать как $(x-(-4){)}^2$, и первая координата центра равна $-4$. Центр находится в точке $(-4; 0)$.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Какие из пар чисел являются решениями уравнения $x+3y=7$: $(1; 2)$ или $(4; 1)$?

Задание 2. Как выглядит график уравнения $x+0y=-3$?

Задание 3. Вырази $y$ из уравнения $5x-5y=20$.

Задание 4. Найди центр и радиус окружности $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=16$.

Теперь ты умеешь проверять пары чисел на то, являются ли они решениями, выражать $y$ через $x$, строить графики линейных уравнений и распознавать уравнение окружности. Главное отличие темы от уравнений с одной переменной: решением служит пара чисел, а решений обычно бесконечно много — все они и складываются в график.

Для построения прямой хватает двух точек, но брать их стоит подальше друг от друга и обязательно проверять третьей. Следи за знаками при переносе слагаемых: одна потерянная минус-единица разворачивает прямую в другую сторону.

И запомни ловушку с окружностью: в формуле стоит минус, поэтому $(x+4{)}^2$ означает координату центра $-4$, а не $4$. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре и станут основой для решения систем уравнений графическим способом.