Графическое решение уравнений и систем: алгоритм для 7–8 классов

Работает это потому, что точка лежит на графике только тогда, когда её координаты подходят под уравнение. Если точка лежит сразу на двух графиках, значит, её координаты подходят обоим уравнениям — то есть решают систему.

Три случая для системы двух линейных уравнений

График линейной функции $y=kx+b$ — прямая. Две прямые на плоскости могут расположиться только тремя способами.

• Пересекаются в одной точке. У системы ровно одно решение — координаты этой точки.

• Параллельны. Общих точек нет, значит, решений у системы нет.

• Совпадают. Общих точек бесконечно много, поэтому и решений бесконечно много.

Определить случай можно и без чертежа, по коэффициентам:

• разные $k$ — прямые пересекаются;
• одинаковые $k$, разные $b$ — прямые параллельны;
• одинаковые $k$ и одинаковые $b$ — это одна и та же прямая, записанная дважды.

Квадратные уравнения

Уравнение вида $a{x}^2+bx+c=0$ тоже решается графически. Для этого его разделяют на две части: слагаемое со степенью оставляют слева, остальные переносят вправо. Из $a{x}^2+bx+c=0$ получается $a{x}^2=-bx-c$.

Дальше строят параболу $y=a{x}^2$ и прямую $y=-bx-c$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения, то есть их координаты по оси $x$. Значения $y$ в ответ не идут: в исходном уравнении переменная была одна.

Пересечений может оказаться два, одно или ни одного — ровно столько, сколько у уравнения корней.

Ограничение метода

Чертёж хорош, пока ответ попадает в узлы сетки. Если прямые пересеклись где-то между делениями, точные координаты по рисунку не прочитать — получится только приблизительная оценка.

Поэтому графический способ чаще используют там, где нужно не столько найти корни, сколько понять их количество или прикинуть, где они расположены.

1. Подготовь функции. В системе вырази $y$ через $x$ в каждом уравнении. Одно уравнение с переменной $x$ раздели на две части: $y=f(x)$ и $y=g(x)$.
2. Составь таблицы значений. Для прямой хватит двух точек, но бери их подальше друг от друга. Для параболы нужно не меньше пяти точек, обязательно с вершиной.
3. Начерти координатную плоскость. Отметь оси, начало координат и выбери единичный отрезок — одинаковый на обеих осях.
4. Построй графики. Прямые проводи по линейке, параболу — плавной линией. Подпиши каждый график его формулой.
5. Найди точки пересечения и определи их координаты по делениям осей.
6. Проверь ответ подстановкой в исходные уравнения. Этот шаг обязателен: чертёж может обмануть, а подстановка — нет.

Система линейных уравнений

Условие

Реши графически систему:

$\{\begin{array}{c}y-2x=1,\hfill \\ y+x=4.\hfill \end{array}$

Квадратное уравнение

Условие

Найди корни уравнения $x^2-x-2=0$ графическим методом.

Система без решений

Условие

Реши графически систему:

$\{\begin{array}{c}y=3x-1,\hfill \\ y=3x+2.\hfill \end{array}$

Неаккуратный чертёж

Как ошибаются: проводят прямые от руки, ставят точки приблизительно.

Как правильно: прямые проводить только по линейке, параболу — плавной кривой через вычисленные точки. Небольшой перекос линии сдвигает точку пересечения на целое деление, и ответ получается неверным.

Разный масштаб на осях

Как ошибаются: по оси $x$ берут одну клетку за единицу, а по оси $y$ — две.

Как правильно: единичный отрезок должен быть одинаковым на обеих осях. Иначе прямые получат неверный наклон, а парабола — искажённую форму.

Пропускают проверку

Как ошибаются: списывают координаты с чертежа и сразу записывают ответ.

Как правильно: подставлять найденные числа в исходные уравнения. Особенно если точка пересечения легла не точно в узел сетки: тогда координаты снятые с чертежа заведомо приблизительные.

Путают формат ответа

Как ошибаются: в ответе к квадратному уравнению записывают обе координаты точек пересечения.

Как правильно: смотреть, что спрашивали. Решение системы — это пара чисел $(x; y)$. Корни уравнения с одной переменной — только значения $x$, то есть абсциссы точек пересечения.

Считают параллельными любые прямые с равными коэффициентами

Как ошибаются: видят одинаковый $k$ в обоих уравнениях и сразу пишут, что решений нет.

Как правильно: проверять и свободный член. Если совпал и он, прямые не параллельны, а просто совпадают, и решений бесконечно много. Например, у системы $y=2x+5$ и $2y=4x+10$ второе уравнение после деления на $2$ превращается в первое.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Что означает ситуация, когда графики двух линейных уравнений системы полностью совпали?

Задание 2. В каком случае графический способ даёт только приближённый ответ?

Задание 3. Реши графически систему:

$\{\begin{array}{c}y=-x+3,\hfill \\ y=2x-3.\hfill \end{array}$

Задание 4. Сколько решений у системы $y=4x-2$ и $y=4x+7$? Ответь без построения.

Теперь ты умеешь решать графически системы линейных уравнений и квадратные уравнения: выражать $y$ через $x$, составлять таблицы значений, строить графики и снимать с чертежа координаты точек пересечения. Главное помнить, почему метод работает: общая точка двух графиков — это пара чисел, подходящая сразу обоим уравнениям.

Для системы двух прямых возможны только три исхода, и различить их можно по коэффициентам ещё до чертежа. Разные $k$ — одна точка пересечения. Одинаковые $k$ при разных $b$ — параллельные прямые и никаких решений. Одинаковые $k$ и $b$ — совпавшие прямые и бесконечно много решений.

И следи за форматом ответа: у системы это пара чисел $(x; y)$, а у уравнения с одной переменной — только абсциссы точек пересечения. Проверку подстановкой не пропускай: чертёж бывает неточен, а подстановка ошибок не прощает. Эти навыки пригодятся на контрольных работах в 7–8 классах и станут основой для решения систем аналитическими способами.