Одно число задаёт место на прямой, а на плоскости чисел нужно два: одно отвечает за движение вбок, другое — за движение вверх или вниз. На этой простой идее держатся и графики функций, и геометрия на клетчатой бумаге. Главная путаница в теме — порядок чисел: их постоянно меняют местами. Разберём устройство плоскости, правило записи координат и разбор типовых заданий.
Из чего состоит координатная плоскость
Оси координат
Возьмём две прямые и проведём их под прямым углом друг к другу.
От начала координат ведут отсчёт во все четыре стороны. На каждой оси выбирают единичный отрезок — обычно одну клетку тетради — и ставят стрелки, показывающие положительное направление: вправо по оси $x$ и вверх по оси $y$.
Всё это устройство целиком называют декартовой системой координат, а плоскость с такой системой — координатной плоскостью.
Единичный отрезок должен быть одинаковым на обеих осях. Если по горизонтали брать клетку, а по вертикали две, фигуры получатся искажёнными.
Как задаются координаты
Например, запись $A(3; 4)$ означает: три единицы вправо и четыре вверх.
Порядок здесь принципиален. Точки $(3; 4)$ и $(4; 3)$ — разные места на плоскости. Запомнить порядок помогает алфавит: сначала $x$, потом $y$ — как и в латинском алфавите.
Координатные четверти
Оси делят плоскость на четыре части — координатные четверти. Нумеруют их против часовой стрелки, начиная с правой верхней.
| Четверть | Расположение | Знаки координат |
|---|---|---|
| I | справа вверху | $x > 0$, $y > 0$ |
| II | слева вверху | $x < 0$, $y > 0$ |
| III | слева внизу | $x < 0$, $y < 0$ |
| IV | справа внизу | $x > 0$, $y < 0$ |
Знаки координат сами показывают четверть, поэтому определить её можно, не строя точку: достаточно посмотреть, какое число положительное, а какое отрицательное.
Точки, лежащие на осях, ни к какой четверти не относятся. Оси служат границами между четвертями и не принадлежат ни одной из них.
Как отметить точку на плоскости
Порядок действий разберём на точке $A(3; 4)$.
- Берём первое число. Это абсцисса, она равна $3$. От начала координат отсчитываем три клетки вправо, потому что число положительное.
- Берём второе число. Это ордината, она равна $4$. От найденного места поднимаемся на четыре клетки вверх.
- Ставим точку и подписываем её буквой.
Правило движения простое: сначала вбок, потом вверх или вниз. Знак числа указывает направление — плюс означает вправо и вверх, минус — влево и вниз.
Примеры задач с решением
Базовое построение
Условие
Начерти систему координат и отметь на ней точку $M(-4; 3)$.
Шаг 1. Берём абсциссу: $x = -4$. Число отрицательное, поэтому идём от начала координат на четыре клетки влево.
Шаг 2. Берём ординату: $y = 3$. Число положительное, поэтому от найденного места поднимаемся на три клетки вверх.
Шаг 3. Ставим точку и подписываем её буквой $M$.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Определим четверть по знакам: $x 0$ — это II четверть, слева вверху. Если построенная точка оказалась именно там, всё сделано верно.
Ответ: точка $M$ лежит во II четверти.
Точка на оси
Условие
Определи положение точки $K(0;-5)$ на координатной плоскости.
Шаг 1. Абсцисса равна нулю: $x = 0$. Значит, вбок двигаться не нужно совсем — точка останется на вертикальной оси.
Шаг 2. Ордината равна $-5$. Число отрицательное, поэтому спускаемся вниз на пять клеток.
Шаг 3. Ставим точку прямо на оси $Oy$, ниже начала координат.
Шаг 4. Определим четверть. Точка лежит на оси, а оси не принадлежат ни одной четверти, — значит, ответ «четверть» здесь не подходит.
Рисунок к заданию 2
Ответ: точка $K$ лежит на оси ординат ниже начала координат, ни в одной четверти она не находится.
Построение фигуры
Условие
Построй точки $A(-2; 4)$, $B(3; 4)$, $C(3;-1)$, $D(-2;-1)$ и соедини их последовательно отрезками. Какая фигура получилась?
Шаг 1. Строим $A(-2; 4)$: две клетки влево, затем четыре вверх.
Шаг 2. Строим $B(3; 4)$: три клетки вправо, затем четыре вверх. У точек $A$ и $B$ ординаты совпали, значит, они лежат на одной высоте.
Шаг 3. Строим $C(3;-1)$: три клетки вправо, затем одна вниз. У точек $B$ и $C$ совпали абсциссы — они стоят на одной вертикали.
Шаг 4. Строим $D(-2;-1)$: две клетки влево, затем одна вниз.
Шаг 5. Соединяем точки по порядку: $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $A$.
Шаг 6. Определяем фигуру. Стороны $AB$ и $DC$ горизонтальны, стороны $BC$ и $AD$ вертикальны, поэтому все углы прямые. Найдём длины: $AB = 3-(-2) = 5$ клеток, $BC = 4-(-1) = 5$ клеток.
Рисунок к заданию 3
Ответ: получился квадрат со стороной $5$ клеток.
Типичные ошибки
Путают оси $x$ и $y$
Как ошибаются: для точки $(2; 5)$ отмеряют два деления вверх и пять вбок.
Как правильно: первое число всегда идёт по горизонтали, второе — по вертикали. Точки $(2; 5)$ и $(5; 2)$ лежат в разных местах, хотя записаны одними цифрами.
Неверно понимают нулевую координату
Как ошибаются: точку $(4; 0)$ ставят на вертикальной оси на отметке $4$.
Как правильно: нуль означает «никуда не двигаться». Раз $y = 0$, точка не поднимается и не опускается, а остаётся на горизонтальной оси. Значит, нужно пройти четыре клетки вправо и поставить точку прямо на оси $Ox$.
Считают четверти по часовой стрелке
Как ошибаются: называют правую нижнюю часть второй четвертью.
Как правильно: нумерация идёт против часовой стрелки от правой верхней части. Правая нижняя — это IV четверть, а II находится слева вверху.
Относят точку на оси к четверти
Как ошибаются: для точки $(0; 3)$ говорят, что она в I четверти, раз лежит выше начала координат.
Как правильно: оси не принадлежат ни одной четверти. Если хотя бы одна координата равна нулю, точка лежит на оси, и четверть для неё не определяется.
Задания для самопроверки
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Как называется вертикальная ось координат?
Задание 2. В какой четверти находится точка $P(7; 8)$?
Задание 3. Где окажется точка $Z(0; 0)$?
Задание 4. Не выполняя построения, определи четверть точки $W(-12; 45)$.
Задание 5. В какой четверти лежит точка $S(6;-3)$?
Задание 6. Точка $T(-9; 0)$ — в какой она четверти?
Решение к заданию 1. Вертикальная ось отвечает за второе число в записи координат.
Ответ: ось ординат, $Oy$.
Решение к заданию 2. Обе координаты положительные, значит, точка находится правее и выше начала координат.
Ответ: I четверть.
Решение к заданию 3. Обе координаты нулевые — двигаться никуда не нужно.
Ответ: точка совпадает с началом координат.
Решение к заданию 4. Абсцисса отрицательная, значит, точка слева. Ордината положительная, значит, вверху. Слева вверху — это вторая четверть.
Ответ: II четверть.
Решение к заданию 5. Абсцисса положительная — точка справа. Ордината отрицательная — точка внизу. Справа внизу находится четвёртая четверть.
Ответ: IV четверть.
Решение к заданию 6. Ордината равна нулю, поэтому точка лежит на горизонтальной оси, левее начала координат. Оси к четвертям не относятся.
Ответ: ни в какой, точка лежит на оси абсцисс.
Заключение
Теперь ты умеешь строить точки по координатам, читать их с чертежа и определять четверть по знакам чисел. Главное правило запиши себе отдельно: в паре $(x; y)$ первое число отсчитывается по горизонтали, второе — по вертикали, и менять их местами нельзя.
Знаки координат работают как указатели направления. Плюс у первого числа означает вправо, минус — влево. Плюс у второго — вверх, минус — вниз. По этим же знакам определяется и четверть, причём без всякого чертежа.
Отдельно запомни случай с нулём. Нулевая координата означает, что в эту сторону двигаться не нужно, поэтому точка оказывается на оси. А если обе координаты нулевые, точка совпадает с началом координат. Точки на осях ни к одной четверти не относятся. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для построения графиков функций.
