Множество — одно из тех понятий, которые не определяют через что-то более простое. Проще всего считать, что это любая группа объектов, собранных по общему признаку: буквы слова, чётные числа, ученики класса. Главная трудность темы не в идее, а в записи — новые символы $\in$ , $\subset$ , $\cup$ , $\cap$ легко перепутать между собой. Разберём, что они означают, как выполнять операции над множествами и где чаще всего ошибаются.

Основные понятия

Обозначают их заглавными латинскими буквами, а элементы перечисляют в фигурных скобках через запятую.

Например, запись $A = {1, 3, 5, 7}$ означает, что множество $A$ состоит из четырёх чисел.

Порядок внутри скобок роли не играет: ${1, 3, 5, 7}$ и ${7, 5, 3, 1}$ — одна и та же запись. И каждый элемент записывают ровно один раз, повторы не имеют смысла.

Принадлежность

Для множества $A = {1, 3, 5, 7}$ верно, что $3 \in A$ , но $4 \notin A$ .

Обрати внимание: слева от знака $\in$ стоит отдельный элемент, а не множество. Это важно — чуть ниже появится похожий знак, который связывает уже два множества.

Сколько элементов бывает в множестве

Множества делят на три вида.

Конечные — элементы можно пересчитать. Например, множество букв русского алфавита: их ровно $33$.
Бесконечные — счёт никогда не заканчивается. Например, множество натуральных чисел: $1, 2, 3, 4$ и так далее без конца.
Пустые — в нём нет ни одного элемента. Обозначают его знаком $\emptyset$ .

Пустое множество появляется не искусственно, а само собой. Например, множество натуральных чисел, которые меньше единицы, окажется пустым: таких чисел просто нет.

Подмножества

Бывает, что одно множество целиком помещается внутрь другого. Множество яблок входит в множество фруктов, множество чётных чисел — в множество целых.

Диаграмма множеств показывает подмножество A внутри множества B.

Например, для $A = {1, 3}$ и $B = {1, 2, 3, 4}$ верно, что $A \subset B$ : обе единицы и тройки нашлись в $B$ .

Не путай два знака. Слева от $\in$ стоит элемент, слева от $\subset$ — множество. Для того же примера правильно написать $1 \in B$ и ${1} \subset B$ , но не $1 \subset B$ .

Операции над множествами

Диаграмма Венна показывает объединение множеств с элементами из обеих частей.

Диаграмма Венна выделяет пересечение множеств как общую часть двух кругов.

Проще всего запомнить по смыслу: объединение собирает всё вместе, пересечение оставляет только общую часть.

Различаются и сами значки. У объединения $\cup$ чаша открыта вверх, будто в неё складывают всё подряд. У пересечения $\cap$ она перевёрнута — лишнее высыпалось, осталось только общее.

Пересечение может оказаться пустым. Если общих элементов нет, записывают $A \cap B = \emptyset$ .

Алгоритм решения заданий

Выпиши все множества из условия перечислением, в фигурных скобках.
Определи, что требуется найти: принадлежность, подмножество, объединение или пересечение.
Выполни действие. Для объединения перебирай элементы обоих множеств, для пересечения ищи совпадения.
Проверь запись на повторы: каждый элемент должен встречаться один раз.
Сверь ответ с условием — то ли действие ты выполнил.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор задач

Задание множества перечислением

Условие
Задай множество $A$ перечислением элементов, если $A$ состоит из нечётных однозначных чисел.

Шаг 1. Разберёмся с признаком «однозначное». Такие числа записываются одной цифрой: от $0$ до $9$.

Шаг 2. Теперь применим второй признак — «нечётное». Оставляем только числа, которые не делятся на $2$ нацело.

Шаг 3. Выписываем подходящие числа в фигурных скобках.

Проверка. Нуль в ответ не попал, и это верно: он делится на $2$ нацело, а значит, чётный.

Ответ: $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ .

Объединение и пересечение

Условие
Даны множества $A = {a, b, c, 1, 2}$ и $B = {c, 1, 3, d}$ . Найди их объединение и пересечение.

Шаг 1. Начнём с объединения. Выписываем все элементы множества $A$ : $a$ , $b$ , $c$ , $1$, $2$.

Шаг 2. Добавляем элементы из $B$ , но только те, которых ещё нет в списке. Элементы $c$ и $1$ уже записаны, поэтому берём только $3$ и $d$ .

Получаем: $A \cup B = {a, b, c, 1, 2, 3, d}$ .

Шаг 3. Теперь пересечение. Перебираем элементы $A$ и проверяем каждый: есть ли он в $B$ ?

Элемент $a$ — в $B$ его нет. Элемент $b$ — нет. Элемент $c$ — есть. Число $1$ — есть. Число $2$ — нет.

Получаем: $A \cap B = {c, 1}$ .

Проверка. Пересечение должно быть подмножеством каждого из исходных множеств, и это выполняется. А в объединении семь элементов: пять из $A$ плюс два новых из $B$ .

Ответ: $A \cup B = {a, b, c, 1, 2, 3, d}$ и $A \cap B = {c, 1}$ .

Множества без общих элементов

Условие
Даны множества $P = {2, 4, 6}$ и $Q = {1, 3, 5}$ . Найди $P \cap Q$ и $P \cup Q$ .

Шаг 1. Ищем пересечение. Перебираем элементы $P$ : числа $2$, $4$ и $6$ в множестве $Q$ не встречаются.

Шаг 2. Общих элементов не нашлось. Значит, пересечение пустое: $P \cap Q = \emptyset$ .

Пересечение множеств P и Q пустое, общих элементов нет. — Рисунок к заданию 1

Записывать в ответе пустые скобки ${}$ или слово «нет» не нужно — для этого есть специальный знак.

Шаг 3. Теперь объединение. Общих элементов нет, поэтому в него войдут все шесть чисел: $P \cup Q = {2, 4, 6, 1, 3, 5}$ .

Ответ: $P \cap Q = \emptyset, P \cup Q = {2, 4, 6, 1, 3, 5}$ .

Равенство множеств

Условие
Даны множества $C = {1, 2, 3}$ и $D = {3, 1, 2}$ . Равны ли они?

Шаг 1. Вспомним правило: множества равны, когда состоят из одних и тех же элементов.

Шаг 2. Выпишем элементы $C$ : числа $1$, $2$, $3$.

Шаг 3. Выпишем элементы $D$ : числа $3$, $1$, $2$. Набор тот же самый, отличается только порядок записи.

Равные множества C и D содержат одинаковые элементы в разном порядке. — Рисунок к заданию 2

Шаг 4. Порядок элементов внутри фигурных скобок значения не имеет, поэтому множества равны.

Ответ: да, $C = D$ .

Типичные ошибки и ловушки

Путают объединение и пересечение

Как ошибаются: видят знак $\cup$ , но начинают искать общие элементы.

Как правильно: $\cup$ — собрать всё вместе, $\cap$ — оставить только общее. Проверить себя легко по количеству элементов: в объединении их всегда не меньше, чем в каждом исходном множестве, а в пересечении — не больше.

Записывают элемент дважды

Как ошибаются: составляя объединение, переписывают общие элементы из обоих множеств: ${1, 2, 2, 3}$ .

Как правильно: каждый элемент указывают один раз, даже если встретился в обоих: ${1, 2, 3}$ .

Путают знаки $\in$ и $\subset$

Как ошибаются: пишут $1 \subset A$ , имея в виду отдельное число.

Как правильно: знак $\in$ связывает элемент с множеством, знак $\subset$ — множество с множеством. Для числа верно $1 \in A$ , а для множества из одного элемента — ${1} \subset A$ .

Не используют знак пустого множества

Как ошибаются: если общих элементов не нашлось, пишут «нет решений» или оставляют пустые скобки.

Как правильно: записывать результат знаком $\emptyset$ . Пустое множество — это полноценный ответ, а не отсутствие ответа.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Задано множество $K = {2, 4, 6}$ . Какой знак нужно поставить между числом $5$ и множеством $K$ ?

Задание 2. Есть множества $X = {a, b}$ и $Y = {b, a}$ . Равны ли они?

Задание 3. Даны множества $M = {1, 5}$ и $N = {5, 7}$ . Чему равно $M \cap N$ ?

Задание 4. Задай перечислением множество натуральных чисел, меньших пяти.

Задание 5. Даны множества $E = {2, 4}$ и $F = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Верно ли, что $E \subset F$ ?

Задание 6. Найди $R \cap S$ , если $R = {7, 8}$ , а $S = {9, 10}$ .

Решение к заданию 1. Множество $K$ состоит из чисел $2$, $4$ и $6$. Числа $5$ среди них нет.

Ответ: $5 \notin K$ .

Решение к заданию 2. Оба множества состоят из элементов $a$ и $b$ , различается только порядок записи, а он значения не имеет.

Ответ: да, множества равны.

Решение к заданию 3. Перебираем элементы $M$ . Число $1$ в множестве $N$ отсутствует, а число $5$ есть в обоих множествах.

Ответ: $M \cap N = {5}$ .

Решение к заданию 4. Натуральные числа начинаются с единицы. Меньше пяти оказываются четыре числа.

Ответ: ${1, 2, 3, 4}$ .

Решение к заданию 5. Проверяем каждый элемент $E$ : число $2$ есть в $F$ , число $4$ тоже есть. Все элементы нашлись, значит, включение выполняется.

Ответ: да, $E \subset F$ .

Решение к заданию 6. Числа $7$ и $8$ в множестве $S$ не встречаются, общих элементов нет.

Ответ: $R \cap S = \emptyset$ .

Заключение

Теперь ты умеешь задавать множества перечислением, определять принадлежность элементов, проверять включение одного множества в другое и выполнять объединение с пересечением. Главное про запись: элементы перечисляют в фигурных скобках, порядок значения не имеет, а повторы не пишут.

Четыре знака легко перепутать, поэтому держи в голове, что стоит по обе стороны от каждого. Знак $\in$ связывает элемент с множеством, знак $\subset$ — множество с множеством. Знак $\cup$ означает «собрать всё вместе», знак $\cap$ — «оставить только общее».

И помни про пустое множество: если общих элементов не нашлось, ответ записывают знаком $\emptyset$ , а не словами. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и дальше — при работе с числовыми промежутками и решениями систем неравенств.