Бывает, что в задаче нужна не одна точка, а сразу все, которые удовлетворяют условию. Казалось бы, искать их можно бесконечно — но выясняется, что такие точки не разбросаны как попало, а складываются в знакомую линию. Равноудалённые от концов отрезка выстраиваются в прямую, равноудалённые от сторон угла — в луч. Зная эти два факта, условие переводят прямо в построение: каждое требование даёт свою линию, а ответ ищут там, где линии встретились.

Что такое геометрическое место точек

Сокращённо пишут ГМТ. Обрати внимание на слова «и только из них» — без этой оговорки определение не работает. Скажем, вся плоскость тоже содержит все нужные точки, но геометрическим местом не является: в ней полно посторонних.

Возьмём для примера точки, одинаково удалённые от двух заданных. Их бесконечно много, но расположены они закономерно: вместе они образуют вполне определённую линию.

Как доказывают, что линия и есть ГМТ

Догадки мало. Чтобы утверждать, что найденная линия — именно искомое множество, проверяют два взаимно обратных утверждения.

Оба нужны именно из-за оговорки в определении. Прямое утверждение отсекает лишние точки: раз всё на линии обладает свойством, посторонних там нет. Обратное гарантирует полноту: ни одна подходящая точка не потерялась за пределами линии. Докажешь только первое — и останется вопрос, вся ли фигура найдена.

Пустое ГМТ

Иногда условию не удовлетворяет ни одна точка. Тогда геометрическое место оказывается пустым множеством.

Например, точек, удалённых от прямой на расстояние -3, не существует: расстояние отрицательным не бывает. Такой ответ тоже полноценный — задача решена, просто ответ пустой.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Проверять нужно оба условия. Прямая через середину, но косая, серединным перпендикуляром не будет — как и перпендикуляр, проведённый мимо середины.

Свойство двустороннее, как и положено геометрическому месту:

если точка лежит на серединном перпендикуляре, расстояния от неё до концов отрезка равны;
если расстояния от точки до концов отрезка равны, эта точка обязательно лежит на серединном перпендикуляре.

Для точки M на серединном перпендикуляре к отрезку AB это записывается как $M A = M B$ .

Сама середина отрезка тоже принадлежит этой прямой и тоже равноудалена от концов — просто из всех подходящих точек она ближайшая к отрезку.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Биссектриса угла

Здесь важно, как именно измеряют расстояние. Расстоянием от точки до прямой считают длину перпендикуляра, опущенного на неё, — это кратчайший путь. Любая наклонная окажется длиннее, поэтому сравнивать по ней бессмысленно.

Свойство снова работает в обе стороны:

если точка лежит на биссектрисе, расстояния от неё до сторон угла равны;
если точка внутри угла равноудалена от сторон, она лежит на биссектрисе.

Условие «внутри угла» отбрасывать нельзя. Продолжение биссектрисы за вершину тоже состоит из точек, равноудалённых от прямых, содержащих стороны, но лежат эти точки уже снаружи угла.

Как построить биссектрису циркулем и линейкой

Построим биссектрису угла с вершиной A.

Поставь ножку циркуля в точку A и произвольным радиусом проведи дугу. Она пересечёт стороны угла в точках B и C.
Тем же или другим, но одинаковым для обеих засечек раствором проведи дуги с центрами в B и C. Радиус подбери так, чтобы дуги пересеклись внутри угла. Точку пересечения обозначь D.
Проведи луч AD по линейке — это искомая биссектриса.

Построение биссектрисы циркулем и линейкой: дуги из точек B и C пересекаются в точке D.

Почему построение работает

Сравним треугольники ABD и ACD.

Стороны AB и AC равны как радиусы первой дуги. Стороны BD и CD равны как радиусы двух засечек одинакового раствора. Сторона AD у треугольников общая.

Три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, значит, треугольники равны по третьему признаку. Отсюда следует равенство соответствующих углов: $∠ B A D = ∠ C A D$ . Луч AD разделил угол на две равные части — а это и есть определение биссектрисы.

Алгоритм решения задач

Найди в условии слово «равноудалена» или его синонимы: «на одинаковом расстоянии», «одинаково удалена».
Определи объекты, до которых расстояния должны быть равны.
Выбери линию. Для двух точек — серединный перпендикуляр к отрезку между ними. Для сторон угла — биссектриса.
Если условий два, построй обе линии: искомая точка лежит на их пересечении.
Проверь дополнительные требования. Точка может быть обязана лежать на заданной прямой, внутри фигуры или в определённой области.
Разбери особые случаи. Линии могут оказаться параллельными или совпасть, а пересечение — попасть не в ту область.

Примеры задач

Поиск точки на прямой

Условие
На прямой a найди точку, равноудалённую от точек A и B, которые на этой прямой не лежат.

Шаг 1. Разбираем условие. Нужны равные расстояния до двух точек — работает первое ГМТ, серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Шаг 2. Учитываем второе требование: точка обязана лежать на прямой a. Значит, она принадлежит сразу двум линиям.

Шаг 3. Соединяем точки A и B отрезком.

Шаг 4. Строим серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Серединный перпендикуляр к AB пересекает прямую a в точке, равноудалённой от A и B. — Рисунок к заданию 1

Шаг 5. Отмечаем точку пересечения прямой a и построенного перпендикуляра. Она и есть искомая.

Особые случаи. Прямая a параллельна серединному перпендикуляру тогда, когда сама перпендикулярна отрезку AB. Если при этом a не проходит через середину AB, общих точек нет и задача решений не имеет. А если проходит — прямая a совпадает с серединным перпендикуляром, и подходит любая её точка.

Ответ: искомая точка — пересечение прямой a и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Две пересекающиеся прямые

Условие
Построй ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Шаг 1. Разбираем чертёж. Пересекающиеся прямые дают точку O и четыре неразвёрнутых угла вокруг неё.

Шаг 2. Внутри каждого угла точки, равноудалённые от сторон, лежат на биссектрисе. Значит, строим биссектрисы всех четырёх углов.

Шаг 3. Смотрим на результат. Биссектрисы вертикальных углов служат продолжениями друг друга и лежат на одной прямой, поэтому четыре луча складываются в две прямые.

Биссектрисы четырёх углов при пересечении прямых образуют две перпендикулярные прямые через O. — Рисунок к заданию 2

Шаг 4. Выясняем, как эти прямые расположены. Смежные углы дают в сумме $180 °$ , а их половины — $90 °$ . Значит, биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Ответ: искомое множество — две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку O.

Точка, равноудалённая от вершин треугольника

Условие
Найди точку, равноудалённую от всех трёх вершин треугольника ABC.

Шаг 1. Разбиваем условие на части. Равные расстояния до вершин A и B дают серединный перпендикуляр к стороне AB.

Шаг 2. Равные расстояния до вершин B и C дают серединный перпендикуляр к стороне BC.

Шаг 3. Точка обязана удовлетворять обоим требованиям, значит, лежит на пересечении этих прямых. Пересечение существует всегда: стороны AB и BC не параллельны, поэтому не параллельны и перпендикуляры к ним.

Шаг 4. Строим оба серединных перпендикуляра и отмечаем точку O их пересечения.

Точка O как пересечение серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника ABC. — Рисунок к заданию 3

Шаг 5. Проверяем третью вершину. Из первого условия $O A = O B$ , из второго $O B = O C$ . Значит, $O A = O C$ — расстояние до вершины C совпадает автоматически, и третий перпендикуляр строить не нужно.

Ответ: искомая точка — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Типичные ошибки

Мерят расстояние по наклонной

Как ошибаются: проводят от точки до стороны угла произвольный отрезок и считают его длину расстоянием.

Как правильно: расстояние до прямой — это только длина перпендикуляра. Наклонная всегда длиннее, поэтому сравнение по ней даёт неверный результат.

Забывают проверить пересечение

Как ошибаются: строят две линии и сразу записывают ответ, не убедившись, что они пересекаются.

Как правильно: проверять взаимное расположение линий. Параллельные общих точек не имеют — значит, решений нет. А если линии совпали, решений бесконечно много.

Доказывают только прямое утверждение

Как ошибаются: показывают, что все точки линии обладают свойством, и на этом останавливаются.

Как правильно: доказывать оба утверждения. Без обратного неизвестно, попали ли на линию все подходящие точки или только часть.

Не проверяют дополнительное условие

Как ошибаются: находят пересечение линий и записывают его в ответ, хотя в условии есть добавочное требование — лежать на отрезке, внутри фигуры, в определённой полуплоскости.

Как правильно: проверять положение найденной точки. Если она вне нужной области, условию задачи она не удовлетворяет.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Какая линия содержит все точки, равноудалённые от концов отрезка?

Задание 2. Как называется луч, состоящий из точек, равноудалённых от сторон угла?

Задание 3. Что представляет собой ГМТ точек, удалённых от заданной прямой на расстояние H?

Задание 4. Что представляет собой ГМТ точек, удалённых от заданной точки O на расстояние R?

Задание 5. Как найти точку, равноудалённую от всех трёх сторон треугольника?

Задание 6. Существуют ли точки, равноудалённые от двух параллельных прямых?

Решение к заданию 1. Это первое из разобранных ГМТ.

Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку.

Решение к заданию 2. Это второе из разобранных ГМТ.

Ответ: биссектриса угла.

Решение к заданию 3. Подходящие точки есть по обе стороны от прямой, и с каждой стороны они образуют свою линию на расстоянии H.

Две прямые, параллельные заданной, показывают ГМТ точек на расстоянии H от прямой. — Рисунок к заданию 4

Ответ: две прямые, параллельные заданной и отстоящие от неё на H.

Решение к заданию 4. Все точки на равном расстоянии от центра — это и есть определение окружности.

Окружность с центром O и радиусом R как ГМТ точек, равноудалённых от заданной точки. — Рисунок к заданию 5

Ответ: окружность с центром O и радиусом R.

Решение к заданию 5. Стороны треугольника попарно образуют углы. Равные расстояния до сторон угла A дают его биссектрису, до сторон угла B — биссектрису угла B. Точка их пересечения равноудалена от всех трёх сторон.

Пересечение биссектрис треугольника даёт точку, равноудалённую от всех его сторон. — Рисунок к заданию 6

Ответ: построить биссектрисы двух углов и взять точку их пересечения.

Решение к заданию 6. Расстояния до обеих прямых равны у точек, лежащих ровно посередине между ними. Такие точки образуют прямую, параллельную обеим.

Прямая посередине между параллельными прямыми состоит из равноудалённых от них точек. — Рисунок к заданию 7

Ответ: да, это прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними.

Заключение

Теперь ты умеешь переводить условие задачи в построение. Слово «равноудалена» — сигнал искать геометрическое место точек. Речь о двух точках — строй серединный перпендикуляр к отрезку между ними. О сторонах угла — биссектрису.

Когда условий два, строят обе линии, а искомую точку ищут в их пересечении. По этой схеме решается почти вся тема: каждое требование задаёт свою линию, ответ находится на их общей точке.

Не забывай о двух проверках. Расстояние до прямой измеряется строго по перпендикуляру. И построенные линии могут не пересечься, совпасть или пересечься вне нужной области — во всех этих случаях ответ будет особым, и это тоже верное решение. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по геометрии и станут основой для темы про замечательные точки треугольника.