Между «никогда не случится» и «случится обязательно» лежит вся шкала вероятностей. По краям этой шкалы расположены события, которые формально возможны, но настолько редки, что в жизни их всерьёз не рассматривают, — и наоборот, почти гарантированные. Строго говоря, ни те ни другие не равны нулю или единице, и путать их с невозможными и достоверными нельзя. Разберём, где проходит граница и как оценивать шансы по формуле.
Основные понятия
Начнём с крайних случаев шкалы.
Возьмём бросок обычного игрального кубика. Выпадение числа меньше семи — событие достоверное: других чисел на гранях просто нет. А выпадение восьмёрки невозможно по той же причине — такой грани не существует.
Между этими крайностями помещается всё остальное. И среди этого остального есть события, вероятность которых почти дотягивает до края, но всё же его не достигает.
Классический пример — лотерея с миллионом билетов. Купив один билет, выиграть можно: шанс не нулевой, ведь выигрышный билет существует и он может оказаться твоим. Но вероятность настолько мала, что событие называют маловероятным. А противоположное событие — «билет не выиграет» — практически достоверно.
Обрати внимание на пару: эти два события всегда идут вместе. Если одно маловероятно, противоположное ему практически достоверно, и наоборот. Их вероятности в сумме дают единицу.
Где проходит граница
Строгого порога, отделяющего «мало» от «немало», в школьном курсе нет — многое зависит от задачи. Но ориентир такой: маловероятными считают события с вероятностью порядка сотых долей процента и меньше, практически достоверными — начиная примерно с 0,99.
Вероятность 0,9 ни к одной из этих категорий не относится: девять шансов из десяти — это много, но один случай из десяти происходит регулярно, и всерьёз им пренебрегать нельзя.
Принцип практической уверенности
Например, вероятность угадать пароль с одной попытки равна 0,001. Успех возможен, но рассчитывать на него не стоит. А если вероятность получить исправный товар равна 0,999, покупатель может быть практически уверен в качестве.
Важная оговорка: принцип работает для одной попытки. Маловероятное событие не становится невозможным — вероятность у него ненулевая, и при многих повторах опыта оно рано или поздно случится. Именно поэтому кто-то в лотерее всё-таки выигрывает: билетов продают миллионы.
Алгоритм оценки шансов
В школьных задачах используют классическую формулу вероятности. Работает она, когда все исходы равновозможны.
- Прочитай условие и сформулируй словами, вероятность какого события нужно найти.
- Посчитай общее число возможных исходов — обозначим его n.
- Посчитай число благоприятных исходов, подходящих под сформулированное событие, — обозначим его m.
- Примени формулу: .
- Переведи результат в десятичную дробь — так проще сравнивать с нулём и единицей.
- Сделай вывод. Значение близко к нулю — событие маловероятно, близко к единице — практически достоверно, где-то посередине — ни то ни другое.
Примеры решения задач
Шарики в мешке
Условие
В непрозрачном мешке 999999 красных шариков и 1 синий. Не глядя достают один шарик. Найди вероятность каждого исхода и охарактеризуй события.
Шаг 1. Находим общее число исходов: , значит, .
Шаг 2. Считаем вероятность вытащить красный шарик. Благоприятных исходов : .
Шаг 3. Считаем вероятность вытащить синий шарик. Он один, поэтому : .
Шаг 4. Делаем выводы. Первое значение вплотную подходит к единице, второе — к нулю.
Проверка. События противоположны, поэтому их вероятности должны давать в сумме единицу: . Сходится.
Ответ: вытащить красный шарик — практически достоверное событие, вытащить синий — маловероятное.
Случайное угадывание пароля
Условие
На телефоне стоит цифровой пароль из трёх знаков — от 000 до 999. Пользователь забыл комбинацию и вводит одну наугад. С какой вероятностью телефон разблокируется?
Шаг 1. Формулируем событие: введённый наугад пароль совпал с верным.
Шаг 2. Считаем общее число исходов. Комбинации идут подряд от 000 до 999, то есть их 1000. Значит, .
Шаг 3. Считаем благоприятные исходы. Верная комбинация одна: .
Шаг 4. Применяем формулу: .
Шаг 5. Делаем вывод. Значение очень близко к нулю, но нулём не является: угадать всё-таки можно.
Ответ: вероятность равна 0,001, разблокировка с одной попытки — маловероятное событие.
Промежуточный случай
Условие
Фабрика выпускает спортивные сумки. В среднем 14 сумок из партии в 140 штук имеют скрытые дефекты. Найди вероятность купить сумку без дефектов и охарактеризуй это событие.
Шаг 1. Формулируем событие: купленная сумка без дефектов. В условии дано число бракованных, значит, нужное количество придётся вычислять.
Шаг 2. Считаем общее число исходов: .
Шаг 3. Считаем благоприятные исходы: , поэтому .
Шаг 4. Применяем формулу и сокращаем дробь на 14: .
Шаг 5. Делаем вывод. Значение высокое, но до практической достоверности не дотягивает: бракованной оказывается каждая десятая сумка, и это вполне заметный риск.
Проверка. Вероятность купить бракованную равна , вместе получается 1.
Ответ: вероятность равна 0,9. Событие не относится ни к маловероятным, ни к практически достоверным.
Типичные ошибки
Путают маловероятное с невозможным
Как ошибаются: говорят, что выиграть в лотерею невозможно.
Как правильно: выигрыш маловероятен, но возможен. У невозможного события вероятность строго равна нулю, а здесь она мала, но положительна — выигрышный билет существует и может достаться кому угодно.
Считают практически достоверное гарантированным
Как ошибаются: решают, что при вероятности 0,999 событие произойдёт обязательно.
Как правильно: практически достоверное — не то же самое, что достоверное. Один случай из тысячи всё же наступает, и при большом числе повторов он обязательно встретится.
Считают не то, о чём спрашивают
Как ошибаются: в задаче про сумки берут в числитель 14 — число бракованных, хотя спрашивали про исправные.
Как правильно: сверять числитель с формулировкой события. Слова «без», «не», «остальные» означают, что нужное количество получают вычитанием.
Получают вероятность больше единицы
Как ошибаются: записывают ответ вида 1,05 и не проверяют его.
Как правильно: вероятность всегда лежит от 0 до 1. Благоприятные исходы входят в число всех возможных, поэтому числитель не может превысить знаменатель. Результат больше единицы — признак перевёрнутой дроби или ошибки в подсчёте.
Проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Монету подбрасывают один раз. Можно ли считать выпадение орла практически достоверным событием?
Задание 2. В коробке 500 белых шашек и 2 чёрные. Каким термином описать извлечение чёрной шашки?
Задание 3. В упаковке семян всхожесть составляет . Как охарактеризовать событие «посаженная семечка прорастёт»?
Задание 4. В классе 25 учеников. Какова вероятность, что случайно вызванный ученик окажется из этого класса? Как называется такое событие?
Задание 5. Событие A маловероятно. Что можно сказать о противоположном ему событии?
Решение к заданию 1. У монеты два равновозможных исхода, поэтому вероятность орла равна . Это ровно середина шкалы — далеко и от нуля, и от единицы.
Ответ: нет, это событие со средними шансами.
Решение к заданию 2. Всего шашек , чёрных две: . Значение близко к нулю, но не равно ему — чёрную шашку достать можно.
Ответ: маловероятное событие.
Решение к заданию 3. Всхожесть означает вероятность 0,99. Это близко к единице, хотя одно семечко из ста всё же не взойдёт.
Ответ: практически достоверное событие.
Решение к заданию 4. Вызвать могут только ученика этого класса, других вариантов нет: .
Ответ: вероятность равна 1, событие достоверное — не «практически», а полностью.
Решение к заданию 5. Вероятности противоположных событий в сумме дают единицу. Если у события A вероятность близка к нулю, то у противоположного она близка к единице.
Ответ: противоположное событие практически достоверно.
Заключение
Теперь ты умеешь различать четыре ситуации на шкале вероятностей. Невозможное событие имеет вероятность ровно 0, достоверное — ровно 1. Маловероятное подходит к нулю вплотную, но его не достигает, практически достоверное так же близко к единице.
Разница между «мало» и «ноль» не формальность. Маловероятное событие случается — просто редко, и при многих повторах опыта оно обязательно себя проявит. Принцип практической уверенности касается лишь одной попытки.
Считают всё по одной формуле: делят число благоприятных исходов на число всех возможных. Главная ловушка не в вычислениях, а в том, что именно считать: слова «без», «не», «остальные» переворачивают числитель. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для задач на противоположные события и сложение вероятностей.
