Иногда подходящих исходов так много, что пересчитывать их вручную долго и легко сбиться. Тогда задачу переворачивают: считают не то, что нужно, а то, что не нужно, — и вычитают результат из единицы. Приём работает потому, что у любого события есть ровно одно противоположное, и вместе они покрывают все возможные исходы. Разберём, как формулировать противоположное событие и когда такой обход экономит время.
Что такое противоположные события
Возьмём бросок игрального кубика. Пусть A — выпала пятёрка. Тогда A — выпало что угодно, кроме пятёрки: единица, двойка, тройка, четвёрка или шестёрка.
Обрати внимание на формулировку противоположного события. Это не «выпала шестёрка» и не какой-то один конкретный другой исход, а все остальные разом.
Главное свойство
Противоположные события устроены так, что вместе они произойти не могут, но одно из них случается обязательно — третьего не дано. Значит, их вероятности покрывают всю шкалу целиком.
В этом и весь приём. Если считать A напрямую сложно, ищут A и вычитают из единицы.
Когда приём выгоден
Переворачивать задачу имеет смысл не всегда. Правило простое: считают то событие, у которого меньше подходящих исходов.
Если в условии слова «хотя бы один», «не менее», «ни разу», «без», «не более» — это почти наверняка сигнал к переходу на противоположное событие. У фразы «хотя бы один» вариантов много: один, два, три и так далее. А у противоположного ей «ни одного» вариант ровно один.
Алгоритм решения задач
- Сформулируй словами событие A, вероятность которого нужно найти.
- Сформулируй противоположное событие A — что должно случиться, чтобы A не наступило.
- Сравни: у какого из двух событий меньше подходящих исходов. Его и считай.
- Найди вероятность выбранного события по классической формуле: подходящие исходы поделить на все возможные.
- Если считал A, вычти результат из единицы.
- Проверь: обе вероятности в сумме должны давать 1.
Пятый шаг забывают чаще всего — находят вероятность противоположного события и записывают её в ответ.
Примеры с решением
Сумки на фабрике
Условие
Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найди вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Шаг 1. Формулируем событие A: купленная сумка без дефектов.
Шаг 2. Формулируем противоположное A: сумка с дефектами.
Шаг 3. Выбираем, что считать. Число бракованных сумок дано прямо в условии, а исправные пришлось бы вычислять. Значит, удобнее взять A.
Шаг 4. Считаем: .
Шаг 5. Переходим к искомому событию: .
Проверка. Посчитаем напрямую: исправных сумок , и . Ответы совпали.
Ответ: 0,9.
Кресла в самолёте
Условие
В самолёте 400 мест. Удобны для высокого пассажира 28 кресел у запасных выходов и 16 мест за перегородками, остальные неудобны. Место выдают случайно. Найди вероятность того, что оно окажется неудобным.
Шаг 1. Формулируем событие A: досталось неудобное место.
Шаг 2. Формулируем противоположное A: досталось удобное место.
Шаг 3. Выбираем, что считать. Неудобных мест много и в условии они не названы. Удобные же перечислены прямо: два вида кресел. Считать проще A.
Шаг 4. Складываем удобные места: . Тогда .
Шаг 5. Вычитаем из единицы: .
Проверка. Неудобных мест , и . Сходится, но считать пришлось бы дольше.
Ответ: 0,89.
Трёхкратный бросок монеты
Условие
Симметричную монету бросают трижды. Найди вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз.
Шаг 1. Формулируем событие A: решка выпала хотя бы раз.
Шаг 2. Формулируем противоположное A: решка не выпала ни разу, то есть все три броска дали орла.
Шаг 3. Выбираем, что считать. Событие A включает много вариантов: решка может выпасть один раз, два или три, и в разном порядке. А у A вариант ровно один — три орла подряд. Считаем противоположное.
Шаг 4. Находим общее число исходов. В каждом броске два варианта, бросков три, поэтому всего равновозможных исходов.
Шаг 5. Благоприятный исход для A один: орёл, орёл, орёл. Значит, .
Шаг 6. Вычитаем из единицы: .
Проверка. Выпишем все восемь исходов и отметим подходящие: ООО не подходит, а ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР — подходят. Семь из восьми, то есть . Совпало.
Ответ: 0,875.
Типичные ошибки
Берут за противоположное конкретный другой исход
Как ошибаются: считают, что событию «вытащили красный шар» противоположно «вытащили синий шар».
Как правильно: противоположное событие — «вытащили любой шар, кроме красного». В коробке могут лежать ещё жёлтые и зелёные, и они тоже входят в противоположное событие. Проверить себя легко: сумма вероятностей двух событий обязана дать единицу, а у красного и синего она даст меньше.
Забывают вычесть из единицы
Как ошибаются: находят и записывают это значение в ответ.
Как правильно: сделать последний шаг . Помогает быстрая прикидка: если по смыслу событие должно быть частым, а получилось маленькое число, вычитание пропущено.
Неверно переворачивают «хотя бы один»
Как ошибаются: считают, что событию «сломался хотя бы один прибор» противоположно «сломался ровно один» или «сломались все».
Как правильно: противоположное — «не сломался ни один». Фраза «хотя бы один» охватывает случаи от одного до всех, а за её пределами остаётся единственный вариант: ноль.
Переворачивают задачу, когда это невыгодно
Как ошибаются: машинально считают противоположное событие даже там, где прямой путь короче.
Как правильно: сравнивать оба варианта до вычислений. В задаче про билеты, где подходящих исходов мало, прямой подсчёт быстрее.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Вероятность того, что поход в кино состоится, равна 0,65. Какова вероятность, что он не состоится?
Задание 2. В упаковке 50 шариков, из них 5 бракованных. Найди вероятность вытащить качественный шарик через противоположное событие.
Задание 3. Монету бросают дважды. Какова вероятность, что орёл выпадет хотя бы один раз?
Задание 4. Известно, что . Чему равна ?
Задание 5. В коробке лежат красные, синие и зелёные карандаши. Сформулируй событие, противоположное событию «вытащили красный карандаш».
Решение к заданию 1. События противоположны, поэтому вычитаем из единицы: .
Ответ: 0,35.
Решение к заданию 2. Считаем противоположное событие — вытащить бракованный шарик: .
Вычитаем из единицы: .
Ответ: 0,9.
Решение к заданию 3. Противоположное событие — орёл не выпал ни разу, то есть обе решки. Всего исходов , подходящий для противоположного один: .
Вычитаем: .
Ответ: 0,75.
Решение к заданию 4. По основному свойству сумма равна единице: .
Ответ: 0,58.
Решение к заданию 5. Противоположное событие охватывает все остальные исходы сразу, а не какой-то один цвет.
Ответ: «вытащили карандаш не красного цвета», то есть синий или зелёный.
Заключение
Теперь ты умеешь формулировать противоположное событие и решать задачи через него. Основное свойство короткое: два противоположных события в сумме дают единицу, потому что вместе они покрывают все исходы и никогда не случаются одновременно.
Приём выгоден не всегда — считать нужно то событие, у которого меньше подходящих исходов. Сигналом служат слова «хотя бы один», «ни разу», «без», «не менее»: за ними обычно прячется длинный перебор, который проще обойти с другой стороны.
И не забывай последний шаг. Найдя вероятность противоположного события, вычти её из единицы — именно на этом чаще всего теряют ответ. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для задач на сложение и умножение вероятностей.
