Центральную симметрию проще всего представить как поворот на 180° вокруг точки. Фигура не отражается, как в зеркале, а переворачивается: верх становится низом, левое — правым. Именно с зеркальной симметрией её и путают чаще всего, хотя результат получается разный. Разберём определение, свойства, построение и типовые задачи.
Основы теории
Условие всего одно, и в этом отличие от осевой симметрии, где условий было два — перпендикулярность и середина. Здесь перпендикулярность не нужна: точки лежат на одной прямой с центром, по разные стороны от него, на равном расстоянии.
Отдельный случай: сам центр O при симметрии остаётся на месте. Это единственная неподвижная точка преобразования.
Проверить это можно мысленным поворотом: если развернуть фигуру на 180° вокруг точки и она совпадёт сама с собой, центр симметрии найден.
Свойства центральной симметрии
Отсюда практический вывод для проверки построения: если сторона исходной фигуры равна 6 см, соответствующая ей сторона образа тоже обязана быть 6 см.
Второй случай объясняется просто: у такой прямой каждая точка при повороте на 180° попадает в другую точку той же прямой. Сама линия остаётся на месте, хотя точки на ней меняются местами.
Фигуры с центром симметрии и без него
Есть центр симметрии:
- окружность — центром симметрии служит её центр;
- параллелограмм и все его частные виды: ромб, прямоугольник, квадрат. Центр — точка пересечения диагоналей;
- правильный многоугольник с чётным числом вершин, например шестиугольник или восьмиугольник.
Нет центра симметрии:
- любой треугольник, в том числе равносторонний;
- правильный многоугольник с нечётным числом вершин: треугольник, пятиугольник;
- трапеция, включая равнобедренную.
С правильными многоугольниками работает простое правило: центр есть при чётном числе вершин и отсутствует при нечётном. Причина в том, что при повороте на 180° каждая вершина должна попасть в другую вершину. При нечётном числе вершин напротив каждой из них оказывается не вершина, а середина противоположной стороны.
Как строить симметричную фигуру
- Возьми вершину исходной фигуры.
- Проведи прямую через эту вершину и центр O.
- Измерь расстояние от вершины до центра.
- Отложи такое же расстояние по другую сторону от O вдоль той же прямой.
- Поставь точку — это образ вершины.
- Повтори для всех остальных вершин.
- Соедини полученные точки в том же порядке, что и в исходной фигуре.
Последний пункт важен: если соединять произвольно, получится другая фигура.
Разбор задач
Отображение треугольника
Условие
Построй треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC относительно точки O, лежащей вне треугольника.
Шаг 1. Проводим прямую через вершину A и центр O. За точкой O откладываем отрезок OA1, равный OA, и получаем точку A1.
Шаг 2. Тем же способом строим точку B1: прямая через B и O, отрезок по другую сторону от центра.
Шаг 3. И точку C1: прямая через C и O, отрезок .
Шаг 4. Соединяем точки A1, B1, C1 в том же порядке, в каком соединены вершины исходного треугольника.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Симметрия сохраняет расстояния, поэтому измеряем стороны. Если , и , построение выполнено верно.
Ответ: треугольник A1B1C1 построен и равен треугольнику ABC.
Доказательство свойства прямых
Условие
Докажите, что если прямая не проходит через центр симметрии O, то при центральной симметрии она переходит в прямую, параллельную себе.
Шаг 1. Пусть прямая a не проходит через точку O. Отметим на ней две различные точки A и B.
Шаг 2. Построим симметричные им точки A1 и B1 относительно центра O и проведём через них прямую.
Шаг 3. Рассмотрим треугольники AOB и A1OB1.
Шаг 4. По определению симметрии и . Углы AOB и A1OB1 вертикальные, значит, равны.
Шаг 5. Треугольники равны по первому признаку — двум сторонам и углу между ними.
Шаг 6. Из равенства треугольников следует равенство углов BAO и B1A1O. Это накрест лежащие углы при прямых AB и A1B1 с секущей AA1.
Шаг 7. Равенство накрест лежащих углов означает параллельность прямых.
Рисунок к заданию 2
Ответ: прямые AB и A1B1 параллельны, что и требовалось доказать.
Построение центра симметрии
Условие
Даны две параллельные прямые a и b. Построй центр симметрии, при котором прямая a переходит в прямую b.
Шаг 1. Отмечаем на прямой a произвольную точку A.
Шаг 2. Проводим из точки A перпендикуляр к прямой b и обозначаем точку пересечения через B. Перпендикуляр здесь нужен только для удобства построения — подошла бы любая прямая, пересекающая обе.
Шаг 3. Находим середину отрезка AB и обозначаем её O.
Шаг 4. Проверяем, что точка подходит. По построению , значит, точка A переходит в точку B при симметрии относительно O.
Шаг 5. Образ прямой a параллелен ей по доказанному свойству и проходит через точку B, лежащую на прямой b. Через точку вне прямой можно провести только одну параллельную прямую, поэтому образ совпадает с b.
Рисунок к заданию 3
Замечание. Точка A выбиралась произвольно, поэтому центров симметрии бесконечно много — все они лежат на прямой, проходящей ровно посередине между a и b.
Ответ: точка O — середина отрезка между прямыми — является искомым центром.
Типичные ошибки
Путают с осевой симметрией
Как ошибаются: строят фигуру так, будто она отражается в зеркале относительно прямой.
Как правильно: центральная симметрия — это поворот на 180° вокруг точки. Отличить результат легко: при осевой симметрии фигура переворачивается только в одном направлении, при центральной — сразу в двух, верх меняется с низом, а левое с правым.
Приписывают центр симметрии правильному треугольнику
Как ошибаются: рассуждают так: фигура правильная, значит, центр симметрии есть.
Как правильно: считать вершины. У правильного многоугольника центр симметрии появляется только при чётном их числе. У треугольника и пятиугольника его нет, у четырёхугольника и шестиугольника есть.
Строят на глаз
Как ошибаются: отмечают симметричную точку приблизительно, не измеряя расстояние.
Как правильно: пользоваться циркулем или линейкой. Расстояния от центра до точки и до её образа обязаны совпадать точно, иначе вся фигура сместится.
Забывают, что центр может лежать внутри фигуры
Как ошибаются: считают, что центр симметрии обязательно находится вне фигуры.
Как правильно: он может быть где угодно — снаружи, внутри и даже в вершине. Для центрально-симметричных фигур центр всегда лежит внутри: у параллелограмма это точка пересечения диагоналей.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Есть ли центр симметрии у равнобедренной трапеции?
Задание 2. Длина отрезка KO равна 7 см. Чему равен отрезок OK1, если точки K и K1 симметричны относительно O?
Задание 3. Где находится центр симметрии окружности?
Задание 4. Какая фигура получится, если отобразить квадрат относительно одной из его вершин?
Задание 5. Есть ли центр симметрии у правильного шестиугольника? А у правильного семиугольника?
Задание 6. Прямая проходит через центр симметрии. Во что она переходит?
Решение к заданию 1. У трапеции основания разной длины, поэтому при повороте на 180° большее основание не совпадёт с меньшим.
Ответ: нет, у трапеции центра симметрии не бывает.
Решение к заданию 2. Центр симметрии — середина отрезка KK1, значит, расстояния до концов равны.
Ответ: см.
Решение к заданию 3. При повороте на 180° вокруг центра окружность совпадает сама с собой: каждая точка переходит в диаметрально противоположную.
Ответ: в центре окружности.
Решение к заданию 4. Симметрия сохраняет расстояния, поэтому получится равный квадрат. Вершина, взятая за центр, останется на месте — она общая для обеих фигур.
Ответ: равный квадрат, соприкасающийся с исходным в этой вершине.
Решение к заданию 5. У шестиугольника вершин шесть — число чётное, напротив каждой вершины находится другая вершина. У семиугольника вершин семь, число нечётное.
Ответ: у шестиугольника центр есть, у семиугольника нет.
Решение к заданию 6. Каждая точка такой прямой переходит в другую точку той же прямой, симметричную относительно центра.
Ответ: сама в себя.
Заключение
Теперь ты умеешь строить образ фигуры при центральной симметрии, отличать её от осевой и определять, у каких фигур центр симметрии есть. В основе всего одно условие: центр — середина отрезка между точкой и её образом.
Симметрия сохраняет расстояния и углы, поэтому фигура переходит в равную себе. Отсюда удобная проверка построения: соответствующие стороны обязаны совпадать по длине.
Про прямые запомни два случая. Не проходит через центр — переходит в параллельную себе прямую. Проходит через центр — переходит сама в себя. А для правильных многоугольников работает правило чётности: центр симметрии есть только при чётном числе вершин. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про движения и параллельный перенос.
