Два действия над множествами делают противоположные вещи. Объединение собирает всё вместе, пересечение оставляет только общее. Различить их несложно, но на письме они превращаются в два похожих значка, ∪ и ∩, — и вот тут начинается путаница. Разберём определения, работу с числовыми промежутками и типовые ошибки.
Основные понятия
Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C. Элементы записывают в фигурных скобках через запятую — это могут быть числа, буквы, любые объекты.
Запись 3∈A читается «число 3 принадлежит множеству A». Перечёркнутый знак ∉ означает обратное.
Два правила записи пригодятся дальше. Порядок элементов значения не имеет: {1,2} и {2,1} — одно и то же множество. И каждый элемент указывают ровно один раз, повторы бессмысленны.
Пересечение множеств
Проще говоря, при пересечении ищут совпадения. На кругах Эйлера это общая часть двух кругов — область, где они накладываются друг на друга.
Если общих элементов нет, пересечение пустое: .
Объединение множеств
Здесь собирают всё вместе, но общие элементы записывают один раз — множество повторов не допускает.
Обрати внимание на слова в определениях. У пересечения стоит «и», у объединения — «или». Именно это различие и определяет всё остальное.
Как не путать значки
Форма символов подсказывает смысл. У объединения ∪ чаша открыта вверх — в неё складывают всё подряд. У пересечения ∩ она перевёрнута — лишнее высыпалось, осталась только общая часть.
Полезно и такое сравнение: объединение никогда не меньше каждого из множеств, пересечение никогда не больше. Если получилось наоборот, значит, операции перепутаны.
Алгоритм решения задач
- Выпиши элементы каждого множества по отдельности.
- Посмотри на знак действия и определи, что требуется.
- Для пересечения перебирай элементы первого множества и проверяй каждый: есть ли он во втором.
- Для объединения выпиши всё первое множество, затем добавь из второго только те элементы, которых ещё нет.
- Проверь ответ на повторы.
- Оцени результат по количеству: у объединения элементов не меньше, чем в большем множестве, у пересечения не больше, чем в меньшем.
Разбор примеров
Множества с общими элементами
Условие
Даны множества A={1,2,3,4,5} и B={4,5,6,7}. Найди A∩B и A∪B.
Шаг 1. Ищем пересечение. Перебираем элементы A и проверяем каждый: единицы в B нет, двойки нет, тройки нет, четвёрка есть, пятёрка есть.
Получаем: A∩B={4,5}.
Шаг 2. Ищем объединение. Выписываем всё множество A: 1, 2, 3, 4, 5.
Шаг 3. Добавляем из B то, чего ещё нет. Четвёрка и пятёрка уже записаны, поэтому берём только 6 и 7.
Получаем: A∪B={1,2,3,4,5,6,7}.
Проверка. В пересечении два элемента — меньше, чем в любом из исходных множеств. В объединении семь — больше, чем в каждом. Соотношения правильные.
Ответ: A∩B={4,5}, A∪B={1,2,3,4,5,6,7}.
Множества без общих элементов
Условие
Даны множества C={2,4,6} и D={1,3,5}. Найди C∩D и C∪D.
Шаг 1. Ищем пересечение. В множестве C только чётные числа, в D только нечётные — совпасть они не могут.
Общих элементов нет, значит, . Записываем именно знаком пустого множества, а не словами и не пустыми скобками.
Шаг 2. Ищем объединение. Повторов нет, поэтому берём все элементы обоих множеств.
Шаг 3. Записываем по возрастанию — так ответ читается легче: C∪D={1,2,3,4,5,6}.
Рисунок к заданию 1
Проверка. В объединении шесть элементов — ровно столько, сколько в двух множествах суммарно. Так и должно быть, когда общих элементов нет.
Ответ: , C∪D={1,2,3,4,5,6}.
Числовые промежутки
Условие
Даны промежутки M=[−2;5] и K=(1;7). Найди M∩K и M∪K.
Шаг 1. Разбираем скобки. У промежутка M обе скобки квадратные — числа −2 и 5 входят в него. У промежутка K обе круглые — числа 1 и 7 не входят.
Шаг 2. Отмечаем оба промежутка на координатной прямой один под другим.
Шаг 3. Ищем пересечение — участок, покрытый обоими промежутками сразу. Он начинается там, где начинается более правый из левых концов, то есть у числа 1, и заканчивается у более левого из правых концов, то есть у числа 5.
Шаг 4. Определяем скобки для пересечения. Число 1 не входит в K, значит, не войдёт и в общую часть — скобка круглая. Число 5 входит в M и лежит внутри K, значит, войдёт — скобка квадратная.
Получаем: M∩K=(1;5].
Рисунок к заданию 2
Шаг 5. Ищем объединение — весь участок, покрытый хотя бы одним промежутком. Он тянется от самого левого конца до самого правого: от −2 до 7.
Шаг 6. Определяем скобки для объединения. Число −2 входит в M, поэтому войдёт и в объединение. Число 7 не входит в K, а в M его вовсе нет — значит, не войдёт.
Получаем: M∪K=[−2;7).
Рисунок к заданию 3
Проверка. Пересечение оказалось внутри каждого промежутка, объединение накрыло оба целиком. Правильно.
Ответ: M∩K=(1;5], M∪K=[−2;7).
Типичные ошибки
Путают знаки
Как ошибаются: видят ∪, но ищут общие элементы.
Как правильно: ∪ — собрать всё, ∩ — оставить общее. Проверить себя можно по количеству: объединение не бывает меньше исходных множеств, пересечение не бывает больше.
Записывают элемент дважды
Как ошибаются: для X={1,2,3} и Y={3,4} пишут X∪Y={1,2,3,3,4}.
Как правильно: каждый элемент указывается один раз, даже если встречался в обоих множествах: X∪Y={1,2,3,4}.
Теряют знак пустого множества
Как ошибаются: если общих элементов не нашлось, пишут «нет» или оставляют пустые скобки.
Как правильно: записывать . Пустое множество — полноценный ответ, а не отсутствие ответа.
Невнимательны к границам промежутков
Как ошибаются: объединяют промежутки, не проверив, входит ли граничная точка хотя бы в один из них.
Как правильно: проверять каждую границу отдельно. Для (−∞;3] и (3;10] число 3 входит в первый промежуток, поэтому разрыва нет и ответ пишется одним куском: (−∞;10].
А вот для (−∞;3) и (3;10] тройка не входит никуда. В объединении образуется дырка, и записать его одним промежутком нельзя: (−∞;3)∪(3;10].
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Даны A={a,b,c,d} и B={c,d,e}. Найди A∩B.
Задание 2. Даны X={10,20} и Y={30,40}. Найди X∪Y.
Задание 3. Даны промежутки E=(−∞;8) и F=[8;+∞). Найди E∩F и E∪F.
Задание 4. Даны P={1,2,3} и Q={2,3}. Найди P∩Q и P∪Q.
Задание 5. Найди объединение промежутков (−∞;0) и (0;+∞).
Решение к заданию 1. Перебираем элементы A: буквы a и b в B отсутствуют, буквы c и d есть в обоих.
Ответ: A∩B={c,d}.
Решение к заданию 2. Общих элементов нет, поэтому берём все четыре числа.
Ответ: X∪Y={10,20,30,40}.
Решение к заданию 3. Пересечение: число 8 не входит в E, а всё, что меньше восьми, не входит в F. Общих точек не осталось.
Объединение: E покрывает всё до восьмёрки, F — саму восьмёрку и всё после неё. Вместе они дают всю прямую без пропусков.
Ответ: , E∪F=(−∞;+∞).
Решение к заданию 4. Множество Q целиком содержится в P. Тогда пересечением будет меньшее множество, а объединением — большее.
Ответ: P∩Q={2,3}, P∪Q={1,2,3}.
Решение к заданию 5. Число 0 не входит ни в один промежуток, поэтому в объединении остаётся дырка. Записать одним куском нельзя.
Ответ: (−∞;0)∪(0;+∞).
Заключение
Теперь ты умеешь находить объединение и пересечение множеств, работать с числовыми промежутками и записывать результат без ошибок. Различие между операциями держится на одном слове: у пересечения элемент должен принадлежать обоим множествам, у объединения — хотя бы одному.
Значки различают по форме: чаша ∪ открыта вверх, в неё собирают всё, а перевёрнутая ∩ оставляет только общее. Быстрая проверка — по количеству элементов: объединение не меньше исходных множеств, пересечение не больше.
С промежутками отдельная внимательность к скобкам. Каждую границу проверяют по определению: входит ли она в нужные промежутки. И помни про пустое множество: если общих элементов нет, ответ записывают знаком , а не словами. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для решения систем неравенств.
