Периметр — это длина границы фигуры, то есть путь, который пройдёшь, обойдя её по контуру. Считается он сложением, и сама арифметика тут простая. Ошибки берутся из другого: складывают сантиметры с миллиметрами, забывают половину сторон или по привычке умножают длину на ширину, получая площадь вместо периметра. Разберём определения, три формулы и типовые задачи.

Многоугольники и их свойства

Замкнутая ломаная образует многоугольник со сторонами, вершинами и углами.

Оба условия в определении нужны. Если соседние звенья лягут на одну прямую, они сольются в одно и угла не получится. Если несоседние пересекутся, фигура перестанет иметь чёткую внутреннюю область.

Точки соединения отрезков называют вершинами, сами отрезки — сторонами. Замкнутая граница делит плоскость надвое: внутренняя часть и внешняя.

Название многоугольник получает по числу углов: три угла — треугольник, четыре — четырёхугольник, пять — пятиугольник и так далее. Число углов, сторон и вершин у любого многоугольника совпадает.

Здесь важны оба требования сразу. У ромба все стороны равны, но углы разные — правильным он не является. У прямоугольника равны все углы, но стороны разные — тоже не правильный. А вот квадрат удовлетворяет обоим условиям, поэтому он и есть правильный четырёхугольник.

Правильный многоугольник с равными сторонами и равными углами.

Периметр фигур

Периметр измеряют в линейных единицах: миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах. Квадратные единицы здесь неуместны — они относятся к площади.

Это различие стоит запомнить сразу. Периметр — про длину обхода, площадь — про место внутри. Разные величины, разные единицы, разные формулы.

Две сокращённые формулы

Общая формула работает всегда, но для некоторых фигур считать удобнее.

Обе выводятся из общей. У правильного многоугольника все стороны одинаковы, поэтому вместо сложения одинаковых слагаемых берут умножение. У прямоугольника стороны равны попарно: складывают две соседние и удваивают результат.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Алгоритм решения задач

Прочитай условие и выпиши все числовые данные.
Проверь единицы измерения. Если они разные, приведи к одной ещё до вычислений.
Определи, что за фигура, и выбери подходящую формулу.
Подставь значения и посчитай.
Проверь, все ли стороны учтены: их количество должно совпадать с числом углов фигуры.
Запиши ответ с единицей измерения.

Второй пункт пропускать нельзя, даже если разница кажется очевидной. Именно на нём теряется больше всего верных решений.

Разбор задач

Периметр прямоугольника

Условие
Длина прямоугольника равна 15 см, а ширина на 4 см меньше. Найди периметр.

Шаг 1. Выписываем данные. Длина известна: $a = 15$ см. Ширина в условии прямо не дана, её нужно вычислить.

Шаг 2. Находим ширину. Слова «на 4 см меньше» означают вычитание: $b = 15 - 4 = 11$ см.

Шаг 3. Выбираем формулу. Фигура прямоугольная, стороны попарно равны, поэтому берём сокращённую: $P = (a + b) \cdot 2$ .

Шаг 4. Подставляем: $P = (15 + 11) \cdot 2 = 26 \cdot 2 = 52$ см.

Прямоугольник со сторонами 15 см и 11 см для вычисления периметра. — Рисунок к заданию 1

Проверка. Посчитаем по общей формуле, сложив все четыре стороны: $15 + 11 + 15 + 11 = 52$ см. Совпало.

Ответ: 52 см.

Обратная задача на треугольник

Условие
Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, основание составляет 10 см. Найди боковые стороны.

Шаг 1. Разбираем условие. Здесь известен периметр, а найти нужно сторону — задача обратная обычной.

Шаг 2. Вспоминаем свойство фигуры. У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны между собой, и это ключ к решению.

Шаг 3. Находим сумму боковых сторон, вычитая основание из периметра: $32 - 10 = 22$ см.

Шаг 4. Боковые стороны одинаковы, поэтому делим сумму пополам: $22 : 2 = 11$ см.

Равнобедренный треугольник с основанием 10 см и периметром 32 см. — Рисунок к заданию 2

Проверка. Складываем все стороны обратно: $11 + 11 + 10 = 32$ см. Сходится.

Ответ: боковые стороны равны 11 см.

Правильный многоугольник

Условие
Периметр правильного восьмиугольника равен 72 мм. Найди длину одной стороны.

Шаг 1. Обращаем внимание на слово «правильный» — оно означает, что все стороны равны. Без него задача решения не имела бы.

Шаг 2. Определяем число сторон. У восьмиугольника их восемь: $n = 8$ .

Шаг 3. Записываем формулу и подставляем известное: $P = n a$ , то есть $72 = 8 a$ .

Шаг 4. Находим неизвестный множитель делением: $a = 72 : 8 = 9$ мм.

Правильный восьмиугольник с периметром 72 мм для нахождения длины стороны. — Рисунок к заданию 3

Проверка. Умножаем обратно: $9 \cdot 8 = 72$ мм. Верно.

Ответ: 9 мм.

Типичные ошибки

Складывают разные единицы измерения

Как ошибаются: складывают 5 см и 20 мм, получая 25.

Как правильно: сначала привести к одной единице. В сантиметрах: 20 мм равны 2 см, значит, сумма составит $5 + 2 = 7$ см. Перевод делают до всех вычислений, а не после.

Путают периметр с площадью

Как ошибаются: для периметра прямоугольника умножают длину на ширину.

Как правильно: умножение сторон даёт площадь. Периметр находят сложением: $P = (a + b) \cdot 2$ . Различить помогают единицы: у периметра они линейные, у площади квадратные.

Теряют неподписанные стороны

Как ошибаются: складывают только те числа, что стоят на чертеже, а остальные стороны не учитывают.

Как правильно: пересчитать стороны фигуры и убедиться, что в сумме столько же слагаемых. У прямоугольника подписывают обычно две стороны, но в периметр входят все четыре.

Забывают проверить, правильный ли многоугольник

Как ошибаются: делят периметр на число сторон у любого многоугольника подряд.

Как правильно: формула $P = n a$ работает только когда все стороны равны. Если в условии нет слова «правильный» или прямого указания на равенство сторон, применять её нельзя.

Проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди периметр квадрата со стороной 6 м.

Задание 2. Стороны треугольника равны 4 см, 7 см и 9 см. Чему равен периметр?

Задание 3. Ширина прямоугольника 4 дм, длина 50 см. Найди периметр в сантиметрах.

Задание 4. Периметр квадрата равен 28 см. Найди длину его стороны.

Задание 5. Периметр прямоугольника равен 40 см, одна сторона составляет 12 см. Найди соседнюю сторону.

Решение к заданию 1. Квадрат — правильный четырёхугольник, все четыре стороны равны: $P = 4 \cdot 6 = 24$ м.

Ответ: 24 м.

Решение к заданию 2. Стороны разные, поэтому работает только общая формула: $4 + 7 + 9 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

Решение к заданию 3. Единицы разные, сначала переводим: 4 дм равны 40 см.

Теперь считаем: $P = (50 + 40) \cdot 2 = 90 \cdot 2 = 180$ см.

Ответ: 180 см.

Решение к заданию 4. Задача обратная: известен периметр, нужна сторона. У квадрата четыре равные стороны, поэтому делим: $28 : 4 = 7$ см.

Проверка: $7 \cdot 4 = 28$ см.

Ответ: 7 см.

Решение к заданию 5. Из формулы $P = (a + b) \cdot 2$ следует, что сумма двух соседних сторон равна половине периметра: $40 : 2 = 20$ см.

Вычитаем известную сторону: $20 - 12 = 8$ см.

Проверка: $(12 + 8) \cdot 2 = 40$ см. Сходится.

Ответ: 8 см.

Заключение

Теперь ты умеешь находить периметр любого многоугольника и решать обратные задачи, где по периметру ищут сторону. Общая формула работает всегда — сложить все стороны. Две сокращённые экономят время: для правильного многоугольника умножают сторону на их количество, для прямоугольника складывают две соседние и удваивают.

Перед вычислением проверяй две вещи. Первая — единицы измерения: складывать сантиметры с миллиметрами нельзя, сначала перевод. Вторая — все ли стороны учтены: слагаемых должно быть столько же, сколько у фигуры углов.

И не путай периметр с площадью. Периметр — это длина обхода по границе, измеряется в линейных единицах. Площадь — про место внутри фигуры, и единицы у неё квадратные. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про площади фигур.