Основные построения циркулем и линейкой: теория, алгоритмы и разбор задач

У каждого своя роль. Линейка проводит прямую через две заданные точки — и больше ничего. Циркуль делает два дела: проводит окружность заданного радиуса и переносит расстояние с одного места чертежа на другое.

Измерять длины в сантиметрах и углы в градусах нельзя. Нужно отложить отрезок — берёшь его циркулем. Нужны равные углы или равные части — используешь свойства окружностей, треугольников и перпендикуляров.

Смысл ограничения в том, что построение должно быть доказуемым. Про отрезок, отмеренный по шкале, можно сказать только «примерно столько». Про отрезок, отложенный циркулем, — «точно равен исходному», и это доказывается.

Пять действий, из которых складываются решения сложных задач.

Деление отрезка пополам

Дан отрезок AB, нужно найти его середину.

1. Раскрой циркуль на радиус R чуть больше половины отрезка.
2. Поставь иглу в точку A и проведи дугу.
3. Не меняя радиус, поставь иглу в точку B и проведи вторую дугу.
4. Дуги пересекутся с двух сторон от отрезка — в точках M и N.
5. Проведи прямую MN. Её пересечение с отрезком AB и есть середина.

Почему работает. Точки M и N равноудалены от концов отрезка, значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к AB. Через две точки проходит одна прямая, поэтому MN — и есть этот перпендикуляр, а он по определению проходит через середину.

Радиус должен быть больше половины AB — иначе дуги не пересекутся.

Построение биссектрисы угла

Дан угол с вершиной A.

1. Поставь иглу в вершину A и проведи дугу произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла в точках B и C.
2. Возьми новый радиус — например, равный BC. Он должен быть одинаковым для обеих следующих дуг.
3. Проведи дугу из точки B, затем такую же из точки C.
4. Внутри угла дуги пересекутся в точке M.
5. Проведи луч AM — это биссектриса.

Почему работает. Отрезки AB и AC равны как радиусы первой дуги, отрезки BM и CM равны как радиусы второй пары. Сторона AM общая, поэтому треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам. Из равенства треугольников следуют равные углы при вершине A.

Откладывание угла, равного данному

Дан угол с вершиной M и луч с началом в точке O.

1. Проведи дугу произвольного радиуса с центром в M. Она пересечёт стороны угла в точках B и C.
2. Тем же радиусом проведи дугу с центром в O. Она пересечёт луч в точке D.
3. Возьми циркулем расстояние BC.
4. Поставь иглу в точку D и проведи дугу этим радиусом.
5. Обозначь точку пересечения дуг буквой E.
6. Проведи луч OE — угол построен.

Почему работает. Мы переносим не градусную меру, а треугольник целиком: две стороны от вершины и расстояние между их концами. Треугольники MBC и ODE равны по трём сторонам, поэтому равны и углы при вершинах.

Перпендикуляр через точку на прямой

Дана прямая a и точка M на ней.

1. Раскрой циркуль на удобный радиус.
2. Поставь иглу в точку M и сделай засечки на прямой по обе стороны — получатся точки A и B.
3. Увеличь радиус так, чтобы он превышал половину AB.
4. Проведи дуги из точек A и B по одну сторону от прямой, они пересекутся в точке P.
5. Соедини P и M.

Почему работает. По построению AM=MB, а точка P равноудалена от A и B. Обе точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB, значит, прямая PM и есть этот перпендикуляр.

Треугольник по трём сторонам

Даны отрезки a, b и c.

1. Проведи прямую и отметь на ней точку A.
2. Возьми циркулем длину c и отложи её от точки A — получится точка B.
3. Возьми длину b, поставь иглу в A и проведи дугу.
4. Возьми длину a, поставь иглу в B и проведи вторую дугу.
5. Точку пересечения дуг обозначь C и соедини её с A и B.

Когда построение невозможно. Если дуги не пересеклись, треугольника не существует. Причина в неравенстве треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Проверить это стоит до построения — иначе потратишь время впустую.

Задачу на построение оформляют в четыре этапа.

1. Анализ. Нарисуй нужную фигуру от руки и разбери, из каких базовых построений она складывается.
2. План. Запиши порядок действий: что отложить, что построить, где найти пересечение.
3. Построение. Выполни шаги циркулем и линейкой. Вспомогательные дуги не стирай.
4. Доказательство. Объясни, почему получилась именно нужная фигура. Обычно ссылаются на равенство треугольников, свойства серединного перпендикуляра или биссектрисы.

Четвёртый этап — не формальность. Без него построение остаётся картинкой: похоже на правду, но не доказано.

Равнобедренный треугольник

Условие

Построй равнобедренный треугольник по основанию a и боковой стороне b.

Построение прямого угла

Условие

Построй угол в 90° без транспортира и угольника.

Стирают вспомогательные линии

Как ошибаются: убирают все дуги и окружности, оставляя чистую фигуру.

Как правильно: оставлять тонкие следы циркуля. Они и есть доказательство того, что фигура построена, а не срисована или измерена. Без них работа не засчитывается.

Пользуются делениями линейки

Как ошибаются: переносят длину, прочитав её по шкале.

Как правильно: длины переносят только циркулем. Линейка нужна исключительно для проведения прямых через две точки.

Меняют радиус, когда этого делать нельзя

Как ошибаются: случайно сдвигают ножки циркуля между двумя дугами, которые должны быть одинаковыми.

Как правильно: держать циркуль за верхнюю ручку и не давить на ножки. Если раствор сбился, взять расстояние заново, а не восстанавливать на глаз. В большинстве построений именно равенство радиусов обеспечивает равенство отрезков.

Не проверяют, существует ли фигура

Как ошибаются: начинают строить треугольник, не глянув на длины сторон, и удивляются, что дуги не пересеклись.

Как правильно: сначала проверить неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Если не выполняется, фигуры не существует, и это готовый ответ.

Пропускают доказательство

Как ошибаются: заканчивают работу на чертеже.

Как правильно: объяснить, почему построенная фигура удовлетворяет условию. Чертёж показывает результат, доказательство подтверждает, что он верен не случайно.

Ответь на вопросы, а затем сверься с решениями.

Задание 1. Даны отрезки 3 см, 4 см и 8 см. Можно ли построить из них треугольник?

Задание 2. Каким инструментом откладывают отрезок заданной длины?

Задание 3. При построении биссектрисы можно ли взять разные радиусы для дуг из точек B и C?

Задание 4. Почему при делении отрезка пополам радиус берут больше половины отрезка?

Задание 5. Даны отрезки 5 см, 5 см и 9 см. Построится ли равнобедренный треугольник?

Теперь ты умеешь выполнять пять базовых построений: делить отрезок пополам, строить биссектрису, откладывать равный угол, проводить перпендикуляр и строить треугольник по трём сторонам. Из этих действий собираются решения почти всех школьных задач на построение.

Работают все построения по одному принципу: равные радиусы дают равные отрезки, равные отрезки дают равные треугольники, а из равенства треугольников следует всё остальное. Поэтому раствор циркуля между парными дугами менять нельзя.

Оформляют задачу в четыре этапа: анализ, план, построение, доказательство. Последний пропускать не стоит — именно он превращает рисунок в решение. И вспомогательные дуги оставляй на чертеже: они показывают, что фигура получена геометрически. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для более сложных задач на построение.