Почти все ошибки в этой теме растут из одного места — неверно определённого основания. Ученик видит на чертеже сторону снизу и принимает её за основание, хотя равные стороны могут быть расположены как угодно. Дальше цепочка рушится: не тот угол при вершине, не те углы при основании, неверный ответ. Разберём определения, свойства и приёмы, которые не дают запутаться.

Равнобедренный треугольник

Две равные стороны называют боковыми, третью — основанием. Обрати внимание: определение говорит о сторонах, а не о расположении на чертеже. Основание — это просто сторона, отличающаяся от двух равных, и лежать она может где угодно.

Угол между боковыми сторонами называют углом при вершине, два оставшихся — углами при основании.

Равнобедренный треугольник с двумя равными боковыми сторонами и основанием.

Свойство «три в одном»

Отрезок, проведённый из вершины к основанию, обладает необычным свойством.

Разберём, почему все три:

биссектриса — делит его пополам;
медиана — делит основание на два равных отрезка;
высота — образует с основанием прямой угол.

Биссектриса в равнобедренном треугольнике к основанию является медианой и высотой.

Условие про угол при вершине отбрасывать нельзя. Проведённая из угла при основании биссектриса ни медианой, ни высотой не будет.

Равносторонний треугольник

Такой треугольник — частный случай равнобедренного: условие «две стороны равны» здесь выполняется, причём сразу тремя способами. Значит, все свойства равнобедренного треугольника работают и для него.

Все углы равны между собой. Их сумма составляет $180 °$ , поэтому каждый равен $180 ° : 3 = 60 °$ .

Свойство «три в одном» здесь распространяется на все три биссектрисы: каждая одновременно является медианой и высотой. Понятно почему — любую сторону можно считать основанием.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Признаки: как доказать вид треугольника

Свойства работают от треугольника к его частям, признаки — наоборот, от частей к треугольнику.

Первый признак используют чаще всего: увидел равные углы — значит, стороны напротив них тоже равны.

Алгоритм решения задач

Сделай крупный чертёж, даже если он есть в условии.
Отметь равные стороны одинаковыми штрихами, равные углы — одинаковыми дугами.
Найди основание: это сторона, не входящая в пару равных.
Определи, что дано в условии — угол при вершине или при основании. От этого зависит всё дальнейшее.
Примени свойство равных углов и сумму углов треугольника, равную $180 °$ .
Составь уравнение, если в условии есть соотношения сторон.
Проверь ответ подстановкой в условие.

Третий и четвёртый пункты — самые важные. Пропустив их, легко разделить пополам не то значение.

Разбор задач

Поиск углов при основании

Условие
Дан равнобедренный треугольник $A B C$ с основанием $A C$ . Угол при вершине $B$ равен $40 °$ . Найди углы при основании.

Шаг 1. Определяем стороны. Основание указано в условии — это $A C$ . Значит, боковые стороны $A B$ и $B C$ , и они равны.

Шаг 2. Углы $A$ и $C$ прилежат к основанию, поэтому равны между собой: $∠ A = ∠ C$ .

Шаг 3. Находим их сумму. Из общей суммы вычитаем угол при вершине: $180 ° - 40 ° = 140 °$ .

Шаг 4. Делим пополам: $140 ° : 2 = 70 °$ .

Равнобедренный треугольник ABC: угол при вершине 40°, углы при основании по 70°. — Рисунок к заданию 1

Проверка. Складываем: $70 ° + 70 ° + 40 ° = 180 °$ . Сходится. Заодно проверим по смыслу: угол при вершине острый, значит, треугольник вытянут вверх, а углы при основании больше — так и есть.

Ответ: оба угла при основании равны $70 °$ .

Стороны по периметру

Условие
В равнобедренном треугольнике основание на $2$ см больше боковой стороны, а периметр равен $20$ см. Найди стороны треугольника.

Шаг 1. Вводим переменную. За $x$ берём боковую сторону — через неё выражается основание.

Шаг 2. Записываем все стороны. Боковых две, и обе равны $x$ . Основание больше на $2$, поэтому равно $x + 2$ .

Шаг 3. Составляем уравнение. Периметр — сумма всех сторон: $x + x + (x + 2) = 20$ .

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $3 x + 2 = 20$ .

Шаг 5. Решаем: $3 x = 18$ , откуда $x = 6$ .

Шаг 6. Возвращаемся к вопросу. Боковые стороны равны $6$ см, основание равно $6 + 2 = 8$ см.

Равнобедренный треугольник со сторонами 6, 6 и 8 см по условию периметра 20 см. — Рисунок к заданию 2

Проверка. Периметр: $6 + 6 + 8 = 20$ см — совпадает. Неравенство треугольника тоже выполняется: $6 + 6 = 12$ больше основания $8$, значит, такой треугольник существует.

Ответ: $6$ см, $6$ см и $8$ см.

Тупой угол при вершине

Условие
В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $118 °$ , сторона $A C$ равна стороне $B C$ . Найди угол $A$ .

Шаг 1. Определяем вид треугольника. Две стороны равны, значит, треугольник равнобедренный.

Шаг 2. Находим основание. Равны стороны $A C$ и $B C$ — они боковые. Оставшаяся сторона $A B$ и есть основание.

Шаг 3. Смотрим, где лежит данный угол. Он находится между боковыми сторонами, то есть это угол при вершине. Тогда $A$ и $B$ прилежат к основанию и потому равны.

Шаг 4. Находим их сумму: $180 ° - 118 ° = 62 °$ .

Шаг 5. Делим пополам: $62 ° : 2 = 31 °$ .

Равнобедренный треугольник ABC с тупым углом 118° при вершине и углом A 31°. — Рисунок к заданию 3

Проверка. Сумма: $118 ° + 31 ° + 31 ° = 180 °$ . Верно.

Полезное наблюдение. Тупой угол в равнобедренном треугольнике всегда оказывается при вершине. Будь он при основании, второй такой же был бы тупым, а два тупых дадут в сумме больше $180 °$ — такого треугольника не существует.

Ответ: $∠ A = 31 °$ .

Типичные ошибки

Определяют основание по чертежу

Как ошибаются: называют основанием сторону, нарисованную внизу.

Как правильно: основание — сторона, которая отличается от двух равных. Треугольник может быть повёрнут или перевёрнут, но от положения на листе его свойства не меняются. Ищи штрихи равенства, а не низ чертежа.

Делят пополам не то значение

Как ошибаются: любую известную величину вычитают из $180 °$ и делят остаток на два.

Как правильно: сначала выяснить, где находится данный угол.

Дан угол при вершине: вычитаем его из $180 °$ и делим остаток пополам — получаем углы при основании.

Дан угол при основании: второй такой же равен ему, а угол при вершине равен $180 ° - 2 \cdot угол при основании$ .

Применяют «три в одном» где попало

Как ошибаются: считают любую медиану биссектрисой, а любую высоту — медианой.

Как правильно: совпадение работает только для отрезка из угла при вершине к основанию. Проведённая из угла при основании биссектриса ни высотой, ни медианой не является.

Забывают, что равносторонний — тоже равнобедренный

Как ошибаются: решают, что к равностороннему треугольнику свойства равнобедренного неприменимы.

Как правильно: равносторонний треугольник удовлетворяет определению равнобедренного, поэтому все его свойства работают. Обратное неверно: равнобедренный не обязан быть равносторонним.

Путают свойство и признак

Как ошибаются: из равнобедренности выводят равные углы там, где требуется обратное рассуждение.

Как правильно: свойство идёт от треугольника к углам, признак — от углов к треугольнику. Если в задаче нужно доказать вид треугольника, применяют признак.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Периметр равностороннего треугольника равен $36$ см. Чему равна его сторона?

Задание 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен $50 °$ . Найди угол при вершине.

Задание 3. В треугольнике два угла равны по $60 °$ . Какой это треугольник?

Задание 4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $9$ см, а периметр — $25$ см. Найди основание.

Задание 5. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть равным $95 °$ ?

Решение к заданию 1. Все три стороны равны, поэтому делим периметр на количество сторон: $36 : 3 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

Решение к заданию 2. Углы при основании равны, значит, второй тоже равен $50 °$ . Их сумма составляет $100 °$ .

При вершине остаётся: $180 ° - 100 ° = 80 °$ .

Ответ: $80 °$ .

Решение к заданию 3. Два угла равны, поэтому по признаку треугольник равнобедренный. Найдём третий: $180 ° - 60 ° - 60 ° = 60 °$ .

Все три оказались равны, а такое бывает только у равностороннего треугольника.

Ответ: равносторонний.

Решение к заданию 4. Боковых сторон две, их суммарная длина равна $9 + 9 = 18$ см.

Основание находим вычитанием: $25 - 18 = 7$ см.

Проверка: $9 + 9 + 7 = 25$ см, и неравенство треугольника выполняется.

Ответ: $7$ см.

Решение к заданию 5. Углы при основании равны, поэтому второй тоже был бы $95 °$ . Вместе они дают $190 °$ , что больше суммы всех углов треугольника.

Ответ: нет, не может.

Заключение

Теперь ты умеешь работать с равнобедренными и равносторонними треугольниками: находить основание, различать угол при вершине и углы при основании, применять свойства и признаки. Порядок один и тот же — сначала определи основание по равным сторонам, потом выясни, что дано в условии, и только затем считай.

Ключевых свойств три. Углы при основании равны. Отрезок из угла при вершине к основанию служит одновременно биссектрисой, медианой и высотой. У равностороннего треугольника все углы равны $60 °$ , и все его биссектрисы обладают свойством «три в одном».

Помни про связь двух фигур: равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного, поэтому наследует все его свойства. И различай свойство с признаком: первое выводит равные углы из равных сторон, второе — наоборот. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про подобие и площади треугольников.