Почти все ошибки в этой теме растут из одного места — неверно определённого основания. Ученик видит на чертеже сторону снизу и принимает её за основание, хотя равные стороны могут быть расположены как угодно. Дальше цепочка рушится: не тот угол при вершине, не те углы при основании, неверный ответ. Разберём определения, свойства и приёмы, которые не дают запутаться.
Равнобедренный треугольник
Две равные стороны называют боковыми, третью — основанием. Обрати внимание: определение говорит о сторонах, а не о расположении на чертеже. Основание — это просто сторона, отличающаяся от двух равных, и лежать она может где угодно.
Угол между боковыми сторонами называют углом при вершине, два оставшихся — углами при основании.
Свойство «три в одном»
Отрезок, проведённый из вершины к основанию, обладает необычным свойством.
Разберём, почему все три:
- биссектриса — делит его пополам;
- медиана — делит основание на два равных отрезка;
- высота — образует с основанием прямой угол.
Условие про угол при вершине отбрасывать нельзя. Проведённая из угла при основании биссектриса ни медианой, ни высотой не будет.
Равносторонний треугольник
Такой треугольник — частный случай равнобедренного: условие «две стороны равны» здесь выполняется, причём сразу тремя способами. Значит, все свойства равнобедренного треугольника работают и для него.
Все углы равны между собой. Их сумма составляет $180°$, поэтому каждый равен $180° : 3 = 60°$.
Свойство «три в одном» здесь распространяется на все три биссектрисы: каждая одновременно является медианой и высотой. Понятно почему — любую сторону можно считать основанием.
Признаки: как доказать вид треугольника
Свойства работают от треугольника к его частям, признаки — наоборот, от частей к треугольнику.
Первый признак используют чаще всего: увидел равные углы — значит, стороны напротив них тоже равны.
Алгоритм решения задач
- Сделай крупный чертёж, даже если он есть в условии.
- Отметь равные стороны одинаковыми штрихами, равные углы — одинаковыми дугами.
- Найди основание: это сторона, не входящая в пару равных.
- Определи, что дано в условии — угол при вершине или при основании. От этого зависит всё дальнейшее.
- Примени свойство равных углов и сумму углов треугольника, равную $180°$.
- Составь уравнение, если в условии есть соотношения сторон.
- Проверь ответ подстановкой в условие.
Третий и четвёртый пункты — самые важные. Пропустив их, легко разделить пополам не то значение.
Разбор задач
Поиск углов при основании
Условие
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Угол при вершине $B$ равен $40°$. Найди углы при основании.
Шаг 1. Определяем стороны. Основание указано в условии — это $AC$. Значит, боковые стороны $AB$ и $BC$, и они равны.
Шаг 2. Углы $A$ и $C$ прилежат к основанию, поэтому равны между собой: $\angle A = \angle C$.
Шаг 3. Находим их сумму. Из общей суммы вычитаем угол при вершине: $180°-40° = 140°$.
Шаг 4. Делим пополам: $140° : 2 = 70°$.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Складываем: $70° + 70° + 40° = 180°$. Сходится. Заодно проверим по смыслу: угол при вершине острый, значит, треугольник вытянут вверх, а углы при основании больше — так и есть.
Ответ: оба угла при основании равны $70°$.
Стороны по периметру
Условие
В равнобедренном треугольнике основание на $2$ см больше боковой стороны, а периметр равен $20$ см. Найди стороны треугольника.
Шаг 1. Вводим переменную. За $x$ берём боковую сторону — через неё выражается основание.
Шаг 2. Записываем все стороны. Боковых две, и обе равны $x$. Основание больше на $2$, поэтому равно $x + 2$.
Шаг 3. Составляем уравнение. Периметр — сумма всех сторон: $x + x + (x + 2) = 20$.
Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $3x + 2 = 20$.
Шаг 5. Решаем: $3x = 18$, откуда $x = 6$.
Шаг 6. Возвращаемся к вопросу. Боковые стороны равны $6$ см, основание равно $6 + 2 = 8$ см.
Рисунок к заданию 2
Проверка. Периметр: $6 + 6 + 8 = 20$ см — совпадает. Неравенство треугольника тоже выполняется: $6 + 6 = 12$ больше основания $8$, значит, такой треугольник существует.
Ответ: $6$ см, $6$ см и $8$ см.
Тупой угол при вершине
Условие
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $118°$, сторона $AC$ равна стороне $BC$. Найди угол $A$.
Шаг 1. Определяем вид треугольника. Две стороны равны, значит, треугольник равнобедренный.
Шаг 2. Находим основание. Равны стороны $AC$ и $BC$ — они боковые. Оставшаяся сторона $AB$ и есть основание.
Шаг 3. Смотрим, где лежит данный угол. Он находится между боковыми сторонами, то есть это угол при вершине. Тогда $A$ и $B$ прилежат к основанию и потому равны.
Шаг 4. Находим их сумму: $180°-118° = 62°$.
Шаг 5. Делим пополам: $62° : 2 = 31°$.
Рисунок к заданию 3
Проверка. Сумма: $118° + 31° + 31° = 180°$. Верно.
Полезное наблюдение. Тупой угол в равнобедренном треугольнике всегда оказывается при вершине. Будь он при основании, второй такой же был бы тупым, а два тупых дадут в сумме больше $180°$ — такого треугольника не существует.
Ответ: $\angle A = 31°$.
Типичные ошибки
Определяют основание по чертежу
Как ошибаются: называют основанием сторону, нарисованную внизу.
Как правильно: основание — сторона, которая отличается от двух равных. Треугольник может быть повёрнут или перевёрнут, но от положения на листе его свойства не меняются. Ищи штрихи равенства, а не низ чертежа.
Делят пополам не то значение
Как ошибаются: любую известную величину вычитают из $180°$ и делят остаток на два.
Как правильно: сначала выяснить, где находится данный угол.
Дан угол при вершине: вычитаем его из $180°$ и делим остаток пополам — получаем углы при основании.
Дан угол при основании: второй такой же равен ему, а угол при вершине равен $180°-2 \cdot \text{угол при основании}$.
Применяют «три в одном» где попало
Как ошибаются: считают любую медиану биссектрисой, а любую высоту — медианой.
Как правильно: совпадение работает только для отрезка из угла при вершине к основанию. Проведённая из угла при основании биссектриса ни высотой, ни медианой не является.
Забывают, что равносторонний — тоже равнобедренный
Как ошибаются: решают, что к равностороннему треугольнику свойства равнобедренного неприменимы.
Как правильно: равносторонний треугольник удовлетворяет определению равнобедренного, поэтому все его свойства работают. Обратное неверно: равнобедренный не обязан быть равносторонним.
Путают свойство и признак
Как ошибаются: из равнобедренности выводят равные углы там, где требуется обратное рассуждение.
Как правильно: свойство идёт от треугольника к углам, признак — от углов к треугольнику. Если в задаче нужно доказать вид треугольника, применяют признак.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Периметр равностороннего треугольника равен $36$ см. Чему равна его сторона?
Задание 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен $50°$. Найди угол при вершине.
Задание 3. В треугольнике два угла равны по $60°$. Какой это треугольник?
Задание 4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $9$ см, а периметр — $25$ см. Найди основание.
Задание 5. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть равным $95°$?
Решение к заданию 1. Все три стороны равны, поэтому делим периметр на количество сторон: $36 : 3 = 12$ см.
Ответ: $12$ см.
Решение к заданию 2. Углы при основании равны, значит, второй тоже равен $50°$. Их сумма составляет $100°$.
При вершине остаётся: $180°-100° = 80°$.
Ответ: $80°$.
Решение к заданию 3. Два угла равны, поэтому по признаку треугольник равнобедренный. Найдём третий: $180°-60°-60° = 60°$.
Все три оказались равны, а такое бывает только у равностороннего треугольника.
Ответ: равносторонний.
Решение к заданию 4. Боковых сторон две, их суммарная длина равна $9 + 9 = 18$ см.
Основание находим вычитанием: $25-18 = 7$ см.
Проверка: $9 + 9 + 7 = 25$ см, и неравенство треугольника выполняется.
Ответ: $7$ см.
Решение к заданию 5. Углы при основании равны, поэтому второй тоже был бы $95°$. Вместе они дают $190°$, что больше суммы всех углов треугольника.
Ответ: нет, не может.
Заключение
Теперь ты умеешь работать с равнобедренными и равносторонними треугольниками: находить основание, различать угол при вершине и углы при основании, применять свойства и признаки. Порядок один и тот же — сначала определи основание по равным сторонам, потом выясни, что дано в условии, и только затем считай.
Ключевых свойств три. Углы при основании равны. Отрезок из угла при вершине к основанию служит одновременно биссектрисой, медианой и высотой. У равностороннего треугольника все углы равны $60°$, и все его биссектрисы обладают свойством «три в одном».
Помни про связь двух фигур: равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного, поэтому наследует все его свойства. И различай свойство с признаком: первое выводит равные углы из равных сторон, второе — наоборот. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про подобие и площади треугольников.
