Не из любых трёх отрезков получится треугольник. Если один слишком длинный, два других просто не дотянутся друг до друга концами — как ни поворачивай. Условие, отделяющее подходящие наборы от невозможных, называют неравенством треугольника. Проверяется оно одним действием, но именно в нём чаще всего ошибаются: забывают, что знак строгий. Разберём правило, следствия и типовые задачи.

Основное правило

Для треугольника с вершинами $A$ , $B$ и $C$ это даёт три условия сразу:

A B < A C + C B

A C < A B + B C

B C < B A + A C

Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон по правилу неравенства треугольника.

Смысл правила легко понять через расстояния. Кратчайший путь от точки $A$ до точки $B$ — прямой отрезок. Дорога в обход, через точку $C$ , всегда длиннее. Значит, $A B$ меньше суммы $A C + C B$ .

Вырожденный случай

Отдельно стоит разобрать, что происходит при равенстве.

Возьмём отрезки $5$, $5$ и $10$. Два коротких, сложенные вместе, дают ровно $10$ — они лягут вдоль длинного, и никакой площади не образуется. Поэтому в неравенстве стоит строгий знак: равенство треугольника не даёт.

Вырожденный треугольник лежит на одной прямой, когда длинная сторона равна сумме двух других.

Быстрая проверка

Проверять все три неравенства не нужно.

Почему хватает одной проверки? Возьмём любую другую сторону — она меньше самой длинной. А сумма, с которой её сравнивают, наоборот, содержит эту длинную сторону как слагаемое. Значит, для коротких сторон неравенство выполняется заведомо, и проверять их незачем.

Границы для третьей стороны

Из основного правила следует ещё одно, удобное в задачах.

Третья сторона треугольника находится между разностью и суммой двух известных сторон.

Разность берут по модулю — то есть из большей стороны вычитают меньшую, чтобы результат получился положительным.

Правило отвечает на вопрос, в каких пределах может лежать неизвестная сторона: больше разности и меньше суммы двух известных.

Алгоритм проверки

Сравни три числа и найди наибольшее.
Сложи два оставшихся.
Сравни: если наибольшее строго меньше суммы — треугольник существует.
Если наибольшее больше суммы — треугольника нет, отрезки не сомкнутся.
Если наибольшее равно сумме — треугольника тоже нет, получится вырожденный случай, то есть отрезок.

Третий пункт требует внимания: знак именно строгий, равенство не подходит.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор задач

Проверка трёх отрезков

Условие

Существует ли треугольник со сторонами $5$ см, $8$ см и $14$ см?

Шаг 1. Находим наибольшую сторону — это $14$ см.

Шаг 2. Складываем две оставшиеся: $5 + 8 = 13$ см.

Шаг 3. Сравниваем: неравенство $14 < 13$ неверно.

Шаг 4. Делаем вывод. Двух коротких сторон не хватает, чтобы дотянуться до концов длинной, — они короче её на целый сантиметр. Треугольник не построится.

Ответ: треугольник не существует.

Третья сторона равнобедренного треугольника

Условие

Две стороны равнобедренного треугольника равны $3$ см и $8$ см. Чему равна третья сторона?

Шаг 1. Разбираем условие. Треугольник равнобедренный, значит, какие-то две стороны равны. Третья сторона совпадает либо с тройкой, либо с восьмёркой — других вариантов нет.

Шаг 2. Проверяем первый вариант: стороны $3$, $3$ и $8$. Наибольшая — восьмёрка, сумма двух других равна $3 + 3 = 6$ .

Неравенство $8 < 6$ неверно, поэтому такой треугольник не существует.

Шаг 3. Проверяем второй вариант: стороны $8$, $8$ и $3$. Наибольшая снова восьмёрка, сумма двух других равна $8 + 3 = 11$ .

Неравенство $8 < 11$ верно, треугольник существует.

Шаг 4. Подходит только один вариант, значит, ответ определён однозначно.

Равнобедренный треугольник со сторонами 8, 8 и 3 проходит проверку по неравенству треугольника. — Рисунок к заданию 1

Ответ: третья сторона равна $8$ см.

Стороны по периметру и отношению

Условие

Периметр равнобедренного треугольника равен $25$ см. Две его стороны относятся как $3 : 2$. Найди стороны треугольника.

Шаг 1. Разбираем условие. В отношении участвуют основание и боковая сторона, но в каком порядке — не сказано. Значит, случая два.

Шаг 2. Первый случай: основание равно $3 x$ , каждая боковая — $2 x$ .

Проверяем неравенство треугольника. Наибольшая сторона — основание: $3 x < 2 x + 2 x$ , то есть $3 x < 4 x$ . При положительном $x$ верно.

Записываем периметр: $3 x + 2 x + 2 x = 7 x = 25$ , откуда $x = \frac{25}{7}$ .

Основание: $3 \cdot \frac{25}{7} = \frac{75}{7} = 10 \frac{5}{7}$ см.

Боковые стороны: $2 \cdot \frac{25}{7} = \frac{50}{7} = 7 \frac{1}{7}$ см.

Шаг 3. Второй случай: боковая сторона равна $3 x$ , основание — $2 x$ .

Проверяем неравенство. Наибольшая сторона — боковая: $3 x < 3 x + 2 x$ . Верно при любом положительном $x$ .

Периметр: $3 x + 3 x + 2 x = 8 x = 25$ , откуда $x = \frac{25}{8}$ .

Боковые стороны: $3 \cdot \frac{25}{8} = \frac{75}{8} = 9 \frac{3}{8}$ см.

Основание: $2 \cdot \frac{25}{8} = \frac{50}{8} = 6 \frac{1}{4}$ см.

Шаг 4. Сравниваем с предыдущей задачей. Там один вариант отпал по неравенству треугольника, здесь прошли оба — значит, и ответов два.

Два варианта сторон равнобедренного треугольника с периметром 25 и отношением 3 к 2. — Рисунок к заданию 2

Проверка. Складываем стороны в каждом случае: $10 \frac{5}{7} + 7 \frac{1}{7} + 7 \frac{1}{7} = 25$ см и $6 \frac{1}{4} + 9 \frac{3}{8} + 9 \frac{3}{8} = 25$ см. Оба периметра совпали с условием.

Ответ: либо $10 \frac{5}{7}$ см, $7 \frac{1}{7}$ см и $7 \frac{1}{7}$ см, либо $6 \frac{1}{4}$ см, $9 \frac{3}{8}$ см и $9 \frac{3}{8}$ см.

Типичные ошибки

Заменяют строгий знак нестрогим

Как ошибаются: считают, что при равенстве $10 = 5 + 5$ треугольник существует.

Как правильно: знак в неравенстве строгий. При равенстве точки лежат на одной прямой, и получается вырожденный треугольник — по сути обычный отрезок, а не фигура.

Проверяют все три неравенства

Как ошибаются: тратят время на три проверки вместо одной.

Как правильно: сравнивать с суммой только наибольшую сторону. Для остальных условие выполняется автоматически: они меньше наибольшей, а сумма, с которой их сравнивают, эту наибольшую в себя включает.

Забывают про второй вариант в равнобедренном треугольнике

Как ошибаются: видят две длины и берут первый пришедший в голову вариант.

Как правильно: проверять оба. Повторяться может любая из данных сторон, и какой-то вариант может не пройти неравенство треугольника — как в задаче про $3$ см и $8$ см.

Берут отрицательную разность

Как ошибаются: при поиске границ вычитают из меньшей стороны большую и получают отрицательное число.

Как правильно: разность берут по модулю — из большей вычитают меньшую. Длина стороны отрицательной не бывает, поэтому нижняя граница всегда положительна.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Могут ли стороны треугольника равняться $10$ дм, $3$ дм и $4$ дм?

Задание 2. Одна сторона равнобедренного треугольника равна $5$ м, другая — $11$ м. Найди периметр.

Задание 3. Две стороны треугольника равны $7$ и $15$. В каких пределах лежит третья сторона?

Задание 4. Существует ли треугольник со сторонами $6$, $6$ и $12$?

Задание 5. Две стороны треугольника равны $9$ и $4$. Может ли третья сторона равняться $5$?

Решение к заданию 1. Наибольшая сторона равна $10$ дм, сумма двух других составляет $3 + 4 = 7$ дм.

Неравенство $10 < 7$ неверно.

Ответ: не могут, треугольник не существует.

Решение к заданию 2. Неизвестно, какая сторона повторяется, поэтому проверяем оба варианта.

Стороны $5$, $5$ и $11$: наибольшая равна $11$, сумма двух других $5 + 5 = 10$ . Неравенство $11 < 10$ неверно, вариант отпадает.

Стороны $11$, $11$ и $5$: наибольшая равна $11$, сумма двух других $11 + 5 = 16$ . Неравенство $11 < 16$ верно.

Считаем периметр: $11 + 11 + 5 = 27$ м.

Ответ: $27$ м.

Решение к заданию 3. Применяем правило границ. Сумма сторон равна $7 + 15 = 22$ , разность равна $15 - 7 = 8$ .

Ответ: $8 < c < 22$ , причём сами числа $8$ и $22$ не подходят.

Решение к заданию 4. Наибольшая сторона равна $12$, сумма двух других тоже равна $6 + 6 = 12$ .

Получилось равенство, а не строгое неравенство. Значит, точки лягут на одну прямую.

Ответ: не существует, это вырожденный случай.

Решение к заданию 5. Находим границы: разность равна $9 - 4 = 5$ , сумма равна $9 + 4 = 13$ . Третья сторона должна удовлетворять условию $5 < c < 13$ .

Число $5$ совпадает с нижней границей, а она в промежуток не входит.

Проверим напрямую: стороны $9$, $4$ и $5$ дают $9 = 4 + 5$ — вырожденный случай.

Ответ: нет, не может.

Заключение

Теперь ты умеешь проверять, существует ли треугольник с заданными сторонами, и находить границы для неизвестной стороны. Проверка занимает одно действие: найти наибольшую сторону и сравнить её с суммой двух остальных.

Знак в неравенстве строгий, и это принципиально. При равенстве получается вырожденный случай — три точки на одной прямой, то есть отрезок вместо фигуры. Поэтому набор вроде $6$, $6$ и $12$ треугольника не даёт.

Если известны две стороны, третья лежит между их разностью и суммой: $| a - b | < c < a + b$ . А в задачах про равнобедренный треугольник всегда проверяй оба варианта — какая из данных сторон повторяется. Иногда один из них отсеивается как раз по неравенству треугольника. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про построение треугольников и соотношения между сторонами и углами.

Неравенство треугольника: теория, алгоритм проверки и примеры с решением