Вероятность можно посчитать двумя способами, и они принципиально разные. Первый — рассуждением, ещё до опыта: если кубик правильный, все шесть граней равноправны, и ответ известен заранее. Второй — измерением: провести серию испытаний и посмотреть, как часто событие случилось на самом деле. Первое называют вероятностью, второе — относительной частотой. Формула у них одинаковая, а смысл разный, и путаница между ними даёт больше всего ошибок.

Классическая вероятность

Этот подход описывает идеальную модель. Значение вычисляют теоретически, до всякого опыта: монета считается ровной, кубик — правильным, все исходы равноправными.

Возьмём бросок правильного кубика. Всего исходов шесть, и все они равновозможны. Выпадение шестёрки — один благоприятный исход, поэтому вероятность равна $\frac{1}{6}$ .

Ключевое слово здесь — «равновозможны». Без него формула не работает: если кубик утяжелён с одной стороны, делить поровну уже нельзя.

Относительная частота

Реальные предметы от идеальной модели отличаются. Монета может быть погнута, у кубика бывает смещён центр тяжести, а на производстве часть деталей выходит с браком. В таких случаях теоретическую модель построить нельзя — остаётся провести опыты и посмотреть на результат.

Формулы выглядят одинаково, но получают их по-разному.

	Вероятность	Относительная частота
Когда находят	до опыта	после опыта
Откуда берут числа	из модели	из результатов испытаний
Что означает n	все возможные исходы	число проведённых испытаний
Что означает m	подходящие исходы	сколько раз событие случилось

Отличить одно от другого в задаче просто. Если речь об идеальном предмете и все исходы равноправны — это вероятность. Если приводятся результаты проверки, подсчёта или серии опытов — относительная частота.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Закон больших чисел

Подбросим правильную монету десять раз. Может выпасть семь орлов и три решки, хотя теоретическая вероятность орла равна 0,5. Для малого числа испытаний такой разброс нормален.

Но если повторить опыт тысячу раз, доля орлов окажется гораздо ближе к половине. Это свойство называют статистической устойчивостью: с ростом числа испытаний относительная частота приближается к теоретической вероятности.

Отсюда практический вывод. По коротким сериям судить нельзя — результат случаен. Чем больше испытаний, тем надёжнее частота отражает истинную картину.

Алгоритм решения

Прочитай условие и сформулируй словами, вероятность или частоту какого события нужно найти.
Определи, что перед тобой: модель с равновозможными исходами или результаты опыта.
Найди знаменатель $n$ — общее число исходов либо число испытаний.
Найди числитель $m$ — число подходящих исходов либо число случаев, когда событие произошло.
Составь дробь и сократи её.
Переведи ответ в десятичную дробь.
Проверь: результат должен лежать между 0 и 1.

Третий шаг обычно очевиден, а вот на четвёртом и подстерегает главная ловушка. Число из условия часто относится к противоположному событию.

Разбор задач

Билеты по биологии

Условие

В сборнике 60 билетов по биологии, в 15 из них есть вопрос по теме «Круглые черви». Найди вероятность того, что школьнику достанется билет с этим вопросом.

Шаг 1. Формулируем событие: вытянут билет с вопросом про круглых червей.

Шаг 2. Определяем тип задачи. Билет достаётся случайно, любой может попасться с равными шансами — это классическая вероятность.

Шаг 3. Находим знаменатель: всего билетов 60, значит, $n = 60$ .

Шаг 4. Находим числитель. Подходящих билетов 15 — здесь число из условия совпадает с нужным: $m = 15$ .

Шаг 5. Составляем дробь и сокращаем на 15: $P (A) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ .

Шаг 6. Переводим в десятичную дробь: $\frac{1}{4} = 0, 25$ .

Проверка. Подходящих билетов заметно меньше половины, поэтому ответ должен быть меньше 0,5. Сходится.

Ответ: 0,25.

Сумки без дефектов

Условие

Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найди вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Шаг 1. Формулируем событие: купленная сумка без дефектов. Обрати внимание на это слово — от него зависит числитель.

Шаг 2. Находим знаменатель: $n = 140$ .

Шаг 3. Находим числитель. В условии дано число сумок с дефектами, а нужны сумки без них. Вычитаем: $140 - 14 = 126$ , значит, $m = 126$ .

Шаг 4. Составляем дробь и сокращаем на 14: $P (A) = \frac{126}{140} = \frac{9}{10}$ .

Шаг 5. Переводим в десятичную дробь: $\frac{9}{10} = 0, 9$ .

Проверка. Посчитаем противоположную вероятность: $\frac{14}{140} = 0, 1$ . Вместе они дают ровно 1.

Ответ: 0,9.

Удобные кресла в самолёте

Условие

В самолёте 400 мест. Для пассажира высокого роста удобны 28 кресел у запасных выходов и 16 мест за перегородками, остальные неудобны. Место выдают случайно. Найди вероятность того, что оно окажется удобным.

Шаг 1. Формулируем событие: досталось удобное место.

Шаг 2. Находим знаменатель: всего мест 400, значит, $n = 400$ .

Шаг 3. Находим числитель. Удобные места двух видов, и оба подходят под условие, поэтому их количества складываем: $28 + 16 = 44$ , значит, $m = 44$ .

Шаг 4. Составляем дробь и сокращаем на 4: $P (A) = \frac{44}{400} = \frac{11}{100}$ .

Шаг 5. Переводим в десятичную дробь: $\frac{11}{100} = 0, 11$ .

Проверка. Удобных мест примерно десятая часть от всех, и ответ близок к 0,1. Сходится.

Ответ: 0,11.

Относительная частота брака

Условие

Отдел качества проверил 1000 деталей и нашёл 12 бракованных. Найди относительную частоту появления бракованной детали.

Шаг 1. Определяем тип задачи. Речь о результатах реальной проверки, а не об идеальной модели, — значит, считаем относительную частоту.

Шаг 2. Находим знаменатель: проверено 1000 деталей, значит, $n = 1000$ .

Шаг 3. Находим числитель: событие «деталь бракованная» произошло 12 раз, значит, $m = 12$ .

Шаг 4. Считаем: $W (A) = \frac{12}{1000} = 0, 012$ .

Вывод. Это оценка по одной партии. Проверив другую партию, можно получить чуть иное значение — например, 0,011 или 0,014. Чем больше деталей проверено, тем ближе частота к истинной доле брака.

Ответ: 0,012.

Типичные ошибки

Берут в числитель первое число из условия

Как ошибаются: в задаче про сумки видят 14 и записывают $\frac{14}{140}$ , хотя спрашивали про исправные.

Как правильно: сверять числитель со сформулированным событием. Если дано количество бракованных, а нужны исправные, разницу получают вычитанием.

Не замечают частицу «не»

Как ошибаются: в вопросе «вероятность, что кубик окажется не синим» считают синие кубики.

Как правильно: частица «не» переворачивает событие. Считать нужно все кубики, кроме синих, то есть вычесть синие из общего количества.

Оставляют ответ обыкновенной дробью

Как ошибаются: записывают $\frac{1}{2}$ вместо 0,5.

Как правильно: в ответах по вероятности обычно требуется десятичная дробь. Перевод делают до записи ответа.

Путают вероятность и относительную частоту

Как ошибаются: результат проверки партии товара называют вероятностью.

Как правильно: смотреть на источник чисел. Из модели с равновозможными исходами получается вероятность, из результатов реального опыта — относительная частота. Она даёт лишь оценку вероятности, и тем точнее, чем больше испытаний.

Проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Ученик загадал однозначное натуральное число. Какова вероятность, что это число 5?

Задание 2. В мешке 5 красных, 3 синих и 2 жёлтых кубика. Вытягивают один. Какова вероятность, что он окажется не синим?

Задание 3. Монету подбросили 200 раз, орёл выпал 96 раз. Найди относительную частоту выпадения орла.

Задание 4. В коробке 40 карандашей, из них 9 сломанных. Какова вероятность вытащить целый карандаш?

Задание 5. Что нужно сделать, чтобы относительная частота точнее приближала вероятность?

Решение к заданию 1. Однозначные натуральные числа — это числа от 1 до 9, всего девять вариантов. Подходит один: $P = \frac{1}{9}$ .

Ответ: $\frac{1}{9}$ .

Решение к заданию 2. Всего кубиков $5 + 3 + 2 = 10$ . Не синие — это красные и жёлтые: $5 + 2 = 7$ .

Считаем: $\frac{7}{10} = 0, 7$ .

Проверка: вероятность вытащить синий равна $\frac{3}{10} = 0, 3$ , вместе получается 1.

Ответ: 0,7.

Решение к заданию 3. Здесь результат реального опыта, значит, ищем относительную частоту: $W = \frac{96}{200} = 0, 48$ .

Значение близко к теоретической вероятности 0,5, но не совпадает с ней — так и должно быть.

Ответ: 0,48.

Решение к заданию 4. Спрашивают про целые, а дано число сломанных. Вычитаем: $40 - 9 = 31$ .

Считаем: $\frac{31}{40} = 0, 775$ .

Ответ: 0,775.

Решение к заданию 5. По закону больших чисел частота приближается к вероятности с ростом числа испытаний.

Ответ: увеличить количество испытаний.

Заключение

Теперь ты умеешь находить и вероятность, и относительную частоту, а главное — различать их. Формула у обеих одинакова: подходящие случаи делят на все. Разница в источнике чисел. Вероятность считают по модели ещё до опыта, частоту измеряют по его результатам.

Связывает их закон больших чисел: чем больше испытаний, тем ближе частота к вероятности. Именно поэтому по десяти броскам монеты судить нельзя, а по тысяче — уже можно.

Главная ловушка обеих задач одна и та же — числитель. Слова «без», «не», «остальные» означают, что нужное количество придётся вычислять, а не брать готовым из условия. И перед записью ответа проверь две вещи: результат лежит между 0 и 1 и записан десятичной дробью. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для задач на сложение и умножение вероятностей.

Частота и вероятность: эксперимент и теория

Классическая вероятность

Относительная частота

Закон больших чисел

Алгоритм решения