Вероятность можно посчитать двумя способами, и они принципиально разные. Первый — рассуждением, ещё до опыта: если кубик правильный, все шесть граней равноправны, и ответ известен заранее. Второй — измерением: провести серию испытаний и посмотреть, как часто событие случилось на самом деле. Первое называют вероятностью, второе — относительной частотой. Формула у них одинаковая, а смысл разный, и путаница между ними даёт больше всего ошибок.
Классическая вероятность
Этот подход описывает идеальную модель. Значение вычисляют теоретически, до всякого опыта: монета считается ровной, кубик — правильным, все исходы равноправными.
Возьмём бросок правильного кубика. Всего исходов шесть, и все они равновозможны. Выпадение шестёрки — один благоприятный исход, поэтому вероятность равна $\dfrac{1}{6}$.
Ключевое слово здесь — «равновозможны». Без него формула не работает: если кубик утяжелён с одной стороны, делить поровну уже нельзя.
Относительная частота
Реальные предметы от идеальной модели отличаются. Монета может быть погнута, у кубика бывает смещён центр тяжести, а на производстве часть деталей выходит с браком. В таких случаях теоретическую модель построить нельзя — остаётся провести опыты и посмотреть на результат.
Формулы выглядят одинаково, но получают их по-разному.
| Вероятность | Относительная частота | |
|---|---|---|
| Когда находят | до опыта | после опыта |
| Откуда берут числа | из модели | из результатов испытаний |
| Что означает n | все возможные исходы | число проведённых испытаний |
| Что означает m | подходящие исходы | сколько раз событие случилось |
Отличить одно от другого в задаче просто. Если речь об идеальном предмете и все исходы равноправны — это вероятность. Если приводятся результаты проверки, подсчёта или серии опытов — относительная частота.
Закон больших чисел
Подбросим правильную монету десять раз. Может выпасть семь орлов и три решки, хотя теоретическая вероятность орла равна 0,5. Для малого числа испытаний такой разброс нормален.
Но если повторить опыт тысячу раз, доля орлов окажется гораздо ближе к половине. Это свойство называют статистической устойчивостью: с ростом числа испытаний относительная частота приближается к теоретической вероятности.
Отсюда практический вывод. По коротким сериям судить нельзя — результат случаен. Чем больше испытаний, тем надёжнее частота отражает истинную картину.
Алгоритм решения
- Прочитай условие и сформулируй словами, вероятность или частоту какого события нужно найти.
- Определи, что перед тобой: модель с равновозможными исходами или результаты опыта.
- Найди знаменатель $n$ — общее число исходов либо число испытаний.
- Найди числитель $m$ — число подходящих исходов либо число случаев, когда событие произошло.
- Составь дробь и сократи её.
- Переведи ответ в десятичную дробь.
- Проверь: результат должен лежать между 0 и 1.
Третий шаг обычно очевиден, а вот на четвёртом и подстерегает главная ловушка. Число из условия часто относится к противоположному событию.
Разбор задач
Билеты по биологии
Условие
В сборнике 60 билетов по биологии, в 15 из них есть вопрос по теме «Круглые черви». Найди вероятность того, что школьнику достанется билет с этим вопросом.
Шаг 1. Формулируем событие: вытянут билет с вопросом про круглых червей.
Шаг 2. Определяем тип задачи. Билет достаётся случайно, любой может попасться с равными шансами — это классическая вероятность.
Шаг 3. Находим знаменатель: всего билетов 60, значит, $n=60$.
Шаг 4. Находим числитель. Подходящих билетов 15 — здесь число из условия совпадает с нужным: $m=15$.
Шаг 5. Составляем дробь и сокращаем на 15: $P(A)=\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}$.
Шаг 6. Переводим в десятичную дробь: $\dfrac{1}{4}=0{,}25$.
Проверка. Подходящих билетов заметно меньше половины, поэтому ответ должен быть меньше 0,5. Сходится.
Ответ: 0,25.
Сумки без дефектов
Условие
Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найди вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Шаг 1. Формулируем событие: купленная сумка без дефектов. Обрати внимание на это слово — от него зависит числитель.
Шаг 2. Находим знаменатель: $n=140$.
Шаг 3. Находим числитель. В условии дано число сумок с дефектами, а нужны сумки без них. Вычитаем: $140-14=126$, значит, $m=126$.
Шаг 4. Составляем дробь и сокращаем на 14: $P(A)=\dfrac{126}{140}=\dfrac{9}{10}$.
Шаг 5. Переводим в десятичную дробь: $\dfrac{9}{10}=0{,}9$.
Проверка. Посчитаем противоположную вероятность: $\dfrac{14}{140}=0{,}1$. Вместе они дают ровно 1.
Ответ: 0,9.
Удобные кресла в самолёте
Условие
В самолёте 400 мест. Для пассажира высокого роста удобны 28 кресел у запасных выходов и 16 мест за перегородками, остальные неудобны. Место выдают случайно. Найди вероятность того, что оно окажется удобным.
Шаг 1. Формулируем событие: досталось удобное место.
Шаг 2. Находим знаменатель: всего мест 400, значит, $n=400$.
Шаг 3. Находим числитель. Удобные места двух видов, и оба подходят под условие, поэтому их количества складываем: $28+16=44$, значит, $m=44$.
Шаг 4. Составляем дробь и сокращаем на 4: $P(A)=\dfrac{44}{400}=\dfrac{11}{100}$.
Шаг 5. Переводим в десятичную дробь: $\dfrac{11}{100}=0{,}11$.
Проверка. Удобных мест примерно десятая часть от всех, и ответ близок к 0,1. Сходится.
Ответ: 0,11.
Относительная частота брака
Условие
Отдел качества проверил 1000 деталей и нашёл 12 бракованных. Найди относительную частоту появления бракованной детали.
Шаг 1. Определяем тип задачи. Речь о результатах реальной проверки, а не об идеальной модели, — значит, считаем относительную частоту.
Шаг 2. Находим знаменатель: проверено 1000 деталей, значит, $n=1000$.
Шаг 3. Находим числитель: событие «деталь бракованная» произошло 12 раз, значит, $m=12$.
Шаг 4. Считаем: $W(A)=\dfrac{12}{1000}=0{,}012$.
Вывод. Это оценка по одной партии. Проверив другую партию, можно получить чуть иное значение — например, 0,011 или 0,014. Чем больше деталей проверено, тем ближе частота к истинной доле брака.
Ответ: 0,012.
Типичные ошибки
Берут в числитель первое число из условия
Как ошибаются: в задаче про сумки видят 14 и записывают $\dfrac{14}{140}$, хотя спрашивали про исправные.
Как правильно: сверять числитель со сформулированным событием. Если дано количество бракованных, а нужны исправные, разницу получают вычитанием.
Не замечают частицу «не»
Как ошибаются: в вопросе «вероятность, что кубик окажется не синим» считают синие кубики.
Как правильно: частица «не» переворачивает событие. Считать нужно все кубики, кроме синих, то есть вычесть синие из общего количества.
Оставляют ответ обыкновенной дробью
Как ошибаются: записывают $\dfrac{1}{2}$ вместо 0,5.
Как правильно: в ответах по вероятности обычно требуется десятичная дробь. Перевод делают до записи ответа.
Путают вероятность и относительную частоту
Как ошибаются: результат проверки партии товара называют вероятностью.
Как правильно: смотреть на источник чисел. Из модели с равновозможными исходами получается вероятность, из результатов реального опыта — относительная частота. Она даёт лишь оценку вероятности, и тем точнее, чем больше испытаний.
Проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Ученик загадал однозначное натуральное число. Какова вероятность, что это число 5?
Задание 2. В мешке 5 красных, 3 синих и 2 жёлтых кубика. Вытягивают один. Какова вероятность, что он окажется не синим?
Задание 3. Монету подбросили 200 раз, орёл выпал 96 раз. Найди относительную частоту выпадения орла.
Задание 4. В коробке 40 карандашей, из них 9 сломанных. Какова вероятность вытащить целый карандаш?
Задание 5. Что нужно сделать, чтобы относительная частота точнее приближала вероятность?
Решение к заданию 1. Однозначные натуральные числа — это числа от 1 до 9, всего девять вариантов. Подходит один: $P=\dfrac{1}{9}$.
Ответ: $\dfrac{1}{9}$.
Решение к заданию 2. Всего кубиков $5+3+2=10$. Не синие — это красные и жёлтые: $5+2=7$.
Считаем: $\dfrac{7}{10}=0{,}7$.
Проверка: вероятность вытащить синий равна $\dfrac{3}{10}=0{,}3$, вместе получается 1.
Ответ: 0,7.
Решение к заданию 3. Здесь результат реального опыта, значит, ищем относительную частоту: $W=\dfrac{96}{200}=0{,}48$.
Значение близко к теоретической вероятности 0,5, но не совпадает с ней — так и должно быть.
Ответ: 0,48.
Решение к заданию 4. Спрашивают про целые, а дано число сломанных. Вычитаем: $40-9=31$.
Считаем: $\dfrac{31}{40}=0{,}775$.
Ответ: 0,775.
Решение к заданию 5. По закону больших чисел частота приближается к вероятности с ростом числа испытаний.
Ответ: увеличить количество испытаний.
Заключение
Теперь ты умеешь находить и вероятность, и относительную частоту, а главное — различать их. Формула у обеих одинакова: подходящие случаи делят на все. Разница в источнике чисел. Вероятность считают по модели ещё до опыта, частоту измеряют по его результатам.
Связывает их закон больших чисел: чем больше испытаний, тем ближе частота к вероятности. Именно поэтому по десяти броскам монеты судить нельзя, а по тысяче — уже можно.
Главная ловушка обеих задач одна и та же — числитель. Слова «без», «не», «остальные» означают, что нужное количество придётся вычислять, а не брать готовым из условия. И перед записью ответа проверь две вещи: результат лежит между 0 и 1 и записан десятичной дробью. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для задач на сложение и умножение вероятностей.
