Среднее арифметическое считается просто, но само по себе оно рассказывает лишь половину истории. Возьмите два набора оценок: 4, 4, 4 и 2, 4, 6. Среднее у обоих равно четырём, а вот стабильность разная — в первом случае результат ровный, во втором скачет. Чтобы описать эту разницу числом, используют размах.

Почему среднего недостаточно

Сравните два ряда.

Первый: 49, 50, 51. Второй: 0, 50, 100.

Среднее у обоих равно 50, но наборы совершенно разные. В первом числа держатся вплотную друг к другу, во втором расползлись по всей шкале.

Среднее показывает, вокруг чего группируются данные. Разброс показывает, насколько плотно они это делают. Два разных вопроса — и два разных показателя.

Размах числового ряда

Чем размах больше, тем сильнее данные разбросаны. Если он равен нулю, все числа в ряду одинаковы.

Размах не бывает отрицательным: наибольшее число по определению не меньше наименьшего, поэтому разность всегда положительна или равна нулю. Получился минус — где-то перепутаны местами максимум и минимум.

Слабое место показателя

У размаха есть важное ограничение: он смотрит только на два крайних числа и полностью игнорирует всё, что между ними.

Возьмём ряд 10, 11, 12, 13, 100. Размах равен $100 - 10 = 90$ — цифра внушительная. Но четыре числа из пяти лежат вплотную друг к другу, а картину портит единственное значение.

Такое выбивающееся число называют выбросом. Один выброс полностью меняет размах, хотя основная масса данных остаётся плотной. Поэтому размах — оценка быстрая, но грубая.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Алгоритм вычисления

Прочитай весь ряд до конца, не выхватывая числа на глаз.
Найди наибольшее число.
Найди наименьшее число.
Вычти из наибольшего наименьшее.
Запиши ответ с единицами измерения, если они есть в условии.

Первый пункт не формальность. Самое большое или самое маленькое значение часто оказывается в конце ряда, а взгляд цепляется за начало.

Проверить себя можно так: все остальные числа ряда обязаны лежать между найденными крайними. Нашлось число за их пределами — крайние определены неверно.

Примеры решения задач

Время на дорогу до школы

Условие

Ученик пять дней записывал, сколько минут тратит на дорогу до школы: 12, 15, 14, 11, 20. Найди размах.

Шаг 1. Просматриваем весь ряд и находим наибольшее значение. Это 20 — обратите внимание, оно стоит последним: $X_{max} = 20$ .

Шаг 2. Находим наименьшее значение: $X_{min} = 11$ .

Шаг 3. Вычитаем: $R = 20 - 11 = 9$ .

Проверка. Остальные числа — 12, 14, 15 — лежат между 11 и 20. Крайние выбраны верно.

Ответ: 9 минут.

Прыжки в длину

Условие

Семь школьников прыгали в длину. Результаты в сантиметрах: 160, 172, 165, 180, 162, 175, 168. Найди размах.

Шаг 1. Находим лучший результат: $X_{max} = 180$ см.

Шаг 2. Находим худший результат: $X_{min} = 160$ см.

Шаг 3. Вычитаем: $R = 180 - 160 = 20$ см.

Что это означает. Самый длинный и самый короткий прыжки отличаются на 20 см. При этом остальные результаты распределены внутри этого промежутка более-менее равномерно, без выбросов, — значит, размах здесь честно описывает разброс.

Ответ: 20 сантиметров.

Температура с отрицательными значениями

Условие

За пять дней зафиксировали температуру: 3, -5, 0, 2, -1 градуса. Найди размах.

Шаг 1. Находим наибольшую температуру. Среди отрицательных чисел больше то, что ближе к нулю, но здесь есть и положительные: $X_{max} = 3$ .

Шаг 2. Находим наименьшую. Самое холодное значение — -5: чем больше модуль у отрицательного числа, тем оно меньше. Значит, $X_{min} = - 5$ .

Шаг 3. Вычитаем, не теряя знак: $R = 3 - (- 5) = 3 + 5 = 8$ .

Проверка. Представим термометр: от -5 до нуля пять градусов, от нуля до 3 ещё три. Всего восемь — сходится.

Ответ: 8 градусов.

Типичные ошибки

Ищут крайние значения на глаз

Как ошибаются: пробегают ряд взглядом, замечают крупное число в начале и принимают его за максимум.

Как правильно: просматривать ряд целиком. Крайние значения часто стоят в конце, особенно если данные не упорядочены. Помогает проверка: все прочие числа должны попасть между максимумом и минимумом.

Теряют знак при вычитании отрицательного

Как ошибаются: вместо $10 - (- 2)$ считают $10 - 2 = 8$ .

Как правильно: вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению: $10 - (- 2) = 10 + 2 = 12$ . Проверить легко по термометру — путь от -2 до 10 действительно составляет 12 градусов.

Неверно выбирают максимум среди отрицательных

Как ошибаются: в ряду -15, -8, -20 считают наибольшим число -20, потому что 20 — самая большая цифра.

Как правильно: у отрицательных чисел всё наоборот. Больше то, у которого модуль меньше и которое ближе к нулю. Здесь максимум — это -8, а минимум — -20.

Считают среднее вместо размаха

Как ошибаются: видят набор данных и по привычке складывают всё и делят на количество.

Как правильно: смотреть на вопрос. Спрашивают про типичное значение — считают среднее. Спрашивают про разброс, отличие крайних значений, стабильность — считают размах.

Самостоятельная проверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди размах ряда: 7, 14, 21, 8, 10.

Задание 2. Найди размах ряда: 0,5, 1,2, 0,8, 2,5, 0,1.

Задание 3. Ночные температуры за пять дней: -15, -8, -20, -12, -5. Найди размах.

Задание 4. Найди размах ряда: 6, 6, 6, 6. Что означает полученный результат?

Задание 5. В ряду 20, 22, 21, 23, 95 найди размах. Хорошо ли он описывает разброс этих данных?

Решение к заданию 1. Максимум 21, минимум 7. Вычитаем: $21 - 7 = 14$ .

Ответ: 14.

Решение к заданию 2. Максимум 2,5, минимум 0,1. Вычитаем: $2, 5 - 0, 1 = 2, 4$ .

Ответ: 2,4.

Решение к заданию 3. Все числа отрицательные. Наибольшее — ближайшее к нулю, то есть -5. Наименьшее — самое дальнее от нуля, то есть -20.

Вычитаем: $- 5 - (- 20) = - 5 + 20 = 15$ .

Ответ: 15 градусов.

Решение к заданию 4. Максимум и минимум совпадают: $6 - 6 = 0$ .

Нулевой размах означает, что все числа ряда одинаковы, разброса нет вовсе.

Ответ: 0.

Решение к заданию 5. Максимум 95, минимум 20, размах равен 75.

Но четыре числа из пяти лежат в промежутке от 20 до 23, а 95 — явный выброс. Размах в 75 создаёт впечатление огромного разброса, хотя основная масса данных плотная.

Ответ: 75; разброс описан плохо из-за выброса.

Заключение

Теперь ты умеешь находить размах числового ряда и понимаешь, зачем он нужен. Считается он одним действием: из наибольшего числа вычесть наименьшее. Отрицательным результат быть не может, а ноль означает, что все значения в ряду одинаковы.

Отдельно следи за отрицательными числами. Наибольшее среди них — то, что ближе к нулю, а при вычитании минус на минус даёт плюс: $3 - (- 5) = 8$ .

И помни про ограничение показателя. Размах смотрит только на два крайних числа, поэтому единственный выброс способен исказить всю картину. Быстрая оценка разброса — да, полная характеристика данных — нет. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про среднее арифметическое, моду и медиану.

Размах числового ряда: как оценить разброс данных

Почему среднего недостаточно