Из отрезков собирают почти всю школьную геометрию. Соединили несколько подряд — получилась ломаная, замкнули её — получился многоугольник. Тема выглядит простой, но именно здесь закладывается правило, которым потом пользуются постоянно: путь по ломаной никогда не короче прямого отрезка между её концами. Разберём определения, это правило и типовые задачи на длину и периметр.

Ломаная линия

Представь маршрут по парку: прямо до дерева, поворот к скамейке, ещё поворот к фонтану. Изобразить его можно ломаной.

Одно условие обязательно: два соседних звена, имеющих общую вершину, не лежат на одной прямой. Иначе они сольются в один отрезок, и никакой ломаной не выйдет.

Ломаные различают по двум признакам.

Замкнутая — начало совпадает с концом, линия возвращается в исходную точку. Незамкнутая — концы разные.
Простая — линия нигде не пересекает саму себя. Непростая — звенья пересекаются.

Виды ломаных: замкнутая, незамкнутая, простая и непростая с пересечением звеньев.

Признаки независимы, поэтому ломаная может быть, например, замкнутой и непростой одновременно.

Многоугольник

Оба слова в определении важны. Простая — иначе линия пересекала бы себя и внутренняя область не определялась бы. Замкнутая — иначе она ничего не ограничивала бы.

При переходе от ломаной к многоугольнику меняются названия. Вершины ломаной становятся вершинами многоугольника, звенья — сторонами. Две вершины, соединённые стороной, называют соседними.

Простой замкнутый многоугольник с вершинами, сторонами и диагональю внутри фигуры.

Диагональ проходит внутри фигуры и стороной не является. Это различие важно для периметра.

Выпуклые и невыпуклые

Выпуклый и невыпуклый многоугольник для сравнения формы и сторон фигуры.

Проверка простая: мысленно продлеваете каждую сторону и смотрите, не разрезала ли прямая фигуру. Разрезала хотя бы раз — многоугольник невыпуклый.

В школьных задачах почти всегда встречаются выпуклые.

Периметр

Периметр — это длина внешнего контура фигуры. Диагонали в него не входят, сколько бы их ни провели внутри.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Длина пути и расстояние

Здесь главное правило темы.

Смысл житейский: обходя препятствие зигзагом, вы всегда пройдёте больше, чем по прямой. Меньше не выйдет никогда.

Равенство возможно в единственном случае — когда все звенья лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. Но тогда это уже не ломаная, а один отрезок.

Практический вывод: если в задаче спрашивают, может ли расстояние между концами ломаной превышать её длину, ответ всегда отрицательный.

Алгоритм решения задач

Сделай чертёж, даже схематичный. На нём сразу видно, где стороны, где вершины, а где диагонали.
Выпиши данные по отдельности. Каждую сторону — своей строкой, с обозначением.
Определи, что требуется: сумма звеньев, периметр или сравнение расстояния с длиной.
Примени нужное правило. Для длины и периметра — сложение. Для расстояния — неравенство $A E \leq L$ .
Подставь числа и вычисли.
Проверь ответ. Длина стороны положительна, а расстояние между концами не превышает длину ломаной.

Примеры с решением

Проверка расстояния

Условие
Дана ломаная ABCDE, где AB=3 см, BC=4 см, CD=5 см, DE=6 см. Найди длину ломаной и определи, может ли расстояние AE равняться 20 см.

Шаг 1. Находим длину ломаной. Она равна сумме всех звеньев: L=AB+BC+CD+DE.

Шаг 2. Подставляем числа: L=3+4+5+6=18 см.

Шаг 3. Отвечаем на второй вопрос. Отрезок AE соединяет концы ломаной, поэтому работает правило $A E \leq L$ .

Шаг 4. Сравниваем: 20>18. Значит, расстояние AE не может равняться 20 см — путь по прямой не бывает длиннее пути по ломаной.

Ломаная ABCDE с длинами звеньев для проверки, может ли расстояние AE быть 20 см. — Рисунок к заданию 1

Проверка. А могло бы AE равняться, скажем, 12 см? Да, потому что 12<18. Правило запрещает только превышение, а любое значение меньше длины ломаной допустимо.

Ответ: длина ломаной 18 см; расстояние AE не может равняться 20 см.

Периметр с неизвестными сторонами

Условие
В выпуклом пятиугольнике две стороны равны по 7 см. Третья вдвое больше первой. Четвёртая и пятая равны между собой и каждая на 3 см меньше третьей. Найди периметр.

Шаг 1. Обозначаем стороны буквами a, b, c, d, e и выписываем каждую отдельно — так ничего не потеряется.

Шаг 2. По условию первые две равны: a=b=7 см.

Шаг 3. Третья вдвое больше первой: c=2·7=14 см.

Шаг 4. Четвёртая и пятая на 3 см меньше третьей: d=e=14-3=11 см.

Шаг 5. Складываем все пять сторон: P=7+7+14+11+11=50 см.

Выпуклый пятиугольник со сторонами для вычисления периметра 50 см. — Рисунок к заданию 2

Проверка. Сторон в пятиугольнике должно быть ровно пять — пересчитаем слагаемые: пять. Ни одна не потеряна и не посчитана дважды.

Ответ: P=50 см.

Типичные ошибки

Включают диагонали в периметр

Как ошибаются: складывают стороны вместе с проведёнными внутри диагоналями.

Как правильно: периметр — длина внешнего контура. Диагональ проходит внутри фигуры и стороной не является, поэтому в сумму не входит, сколько бы диагоналей ни было на чертеже.

Считают отрезок длиннее ломаной

Как ошибаются: соглашаются, что AD может равняться 15 см при длине ломаной ABCD в 10 см.

Как правильно: сравнивать с длиной ломаной. Должно выполняться $A D \leq L$ . Прямой путь короче любого обхода — больше он быть не может.

Считают в уме без записи сторон

Как ошибаются: держат условие в голове и сразу складывают.

Как правильно: выписывать каждую сторону отдельной строкой. Фразы «в два раза больше» и «на три меньше» легко перепутать, а на бумаге видно, что откуда получилось.

Путают признаки ломаной

Как ошибаются: считают, что замкнутая ломаная обязательно простая.

Как правильно: это независимые свойства. Замкнутая ломаная может пересекать сама себя — тогда она не простая, и многоугольника из неё не получится.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Ломаная KLMN состоит из трёх звеньев: KL=2 см, LM=5 см, MN=3 см. Может ли расстояние от K до N равняться 12 см?

Задание 2. У шестиугольника все стороны равны, периметр составляет 42 см. Внутри из одной вершины провели все диагонали. Нужно ли знать их длины, чтобы найти сторону?

Задание 3. Периметр выпуклого четырёхугольника равен 36 см. Три стороны равны между собой, четвёртая на 4 см больше. Найди четвёртую сторону.

Задание 4. Может ли расстояние между концами ломаной из задания 1 равняться 9 см?

Задание 5. Сколько сторон у многоугольника, если его периметр 45 см, а все стороны равны по 9 см?

Решение к заданию 1. Находим длину ломаной: 2+5+3=10 см.

Расстояние между концами не превышает длину пути, а 12>10.

Ответ: не может.

Решение к заданию 2. Периметр складывается только из сторон. Шесть равных сторон дают 42 см, значит, одна равна 42:6=7 см. Диагонали в расчёте не участвуют.

Ответ: нет, знать их длины не нужно.

Решение к заданию 3. Обозначим равные стороны через x, тогда четвёртая равна x+4.

Составляем уравнение: x+x+x+(x+4)=36, то есть 4x+4=36.

Отсюда 4x=32 и x=8 см. Четвёртая сторона: 8+4=12 см.

Проверка: 8+8+8+12=36 см — сходится.

Ответ: 12 см.

Решение к заданию 4. Длина ломаной 10 см, а 9<10. Правило запрещает только превышение, поэтому такое расстояние возможно.

Ответ: да, может.

Решение к заданию 5. Все стороны одинаковы, поэтому их количество получаем делением: 45:9=5.

Ответ: пять сторон, это пятиугольник.

Заключение

Теперь ты умеешь находить длину ломаной и периметр многоугольника, отличать стороны от диагоналей и пользоваться главным правилом темы. Звучит оно коротко: расстояние по прямой между концами ломаной не больше её длины. Отрезок — кратчайший путь между двумя точками, и обойти его быстрее невозможно.

Многоугольник получается только из простой замкнутой ломаной. Оба слова обязательны: незамкнутая ничего не ограничивает, а самопересекающаяся не имеет определённой внутренней области.

И про периметр: в него входят только стороны. Диагонали проходят внутри фигуры и к контуру отношения не имеют, сколько бы их ни было проведено. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по геометрии и станут основой для тем про треугольники и четырёхугольники.