Подмножество — это способ сказать, что одна группа объектов целиком помещается внутрь другой. Идея простая, но именно на ней держатся задачи из алгебры, геометрии и теории вероятностей: квадраты входят в прямоугольники, чётные числа — в целые, благоприятные исходы — во все возможные. Разберём определение, два правила, которые решают половину задач, и приём для перечисления всех подмножеств сразу.

Множество и подмножество

Начнём с исходного понятия.

Например, в записи $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ множество $A$ состоит из пяти элементов — чисел от одного до пяти.

Обрати внимание на формулировку. Требуется, чтобы все элементы $B$ нашлись в $A$ , — про элементы $A$ речи нет, их может быть сколько угодно больше.

Отсюда сразу следует и обратное правило: если в $B$ обнаружился хотя бы один элемент, которого нет в $A$ , то подмножеством $B$ уже не является. Одного лишнего хватает.

В учебниках встречаются два похожих знака: $\subseteq$ и $\subset$ . Первый допускает, что множества совпадают, второй в строгом смысле означает, что $B$ меньше $A$ . В школьном курсе разницу обычно не подчёркивают, но в этой статье будем пользоваться знаком $\subseteq$ — он включает и случай совпадения.

Два правила, которые нужно запомнить

Эти два случая проверять не нужно — они верны всегда.

Первое правило легко проверяется по определению: все элементы $A$ входят в $A$ — конечно, входят.

Второе выглядит странно, но объясняется так же. Чтобы $B$ не было подмножеством, в нём должен найтись элемент, которого нет в $A$ . В пустом множестве элементов нет вообще, значит, и нарушить условие нечему.

Именно про эти два случая забывают чаще всего, когда перечисляют все подмножества.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Как проверить включение

Порядок действий простой.

Возьми первый элемент предполагаемого подмножества.
Найди его в исходном множестве.
Повтори для каждого элемента по очереди.
Нашлись все — множество является подмножеством.
Не нашёлся хотя бы один — не является, дальше можно не проверять.

Пятый пункт экономит время: как только встретился лишний элемент, ответ уже известен.

Как перечислить все подмножества

Чтобы ничего не пропустить, выписывают подмножества группами — по количеству элементов, от меньшего к большему.

Начни с пустого множества $\emptyset$ .
Выпиши все подмножества из одного элемента.
Составь все возможные пары.
Дальше тройки, четвёрки и так далее.
Закончи исходным множеством целиком.
Проверь количество по формуле $2^{n}$ , где $n$ — число элементов.

Формула объясняется просто: для каждого элемента есть ровно два варианта — взять его в подмножество или не брать. Элементов $n$ штук, поэтому всего наборов $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{n}$ .

Перестановки писать не нужно: порядок элементов в множестве значения не имеет, поэтому ${a, b}$ и ${b, a}$ — одна и та же запись.

Разбор задач

Проверка включения

Условие
Дано множество $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Определи, какие из множеств являются его подмножествами: $B = {2, 4}$ , $C = {3, 5, 7}$ , $D = \emptyset$ .

Шаг 1. Проверяем $B$ . Элемент $2$ в множестве $A$ есть, элемент $4$ тоже есть. Проверили оба, лишних не нашлось.

Значит, $B \subseteq A$ .

Шаг 2. Проверяем $C$ . Элемент $3$ есть, элемент $5$ есть, а вот элемента $7$ в $A$ нет.

Одного лишнего достаточно, поэтому $C ⊈ A$ . Дальше проверять нечего.

Шаг 3. Проверяем $D$ . Это пустое множество, а оно по правилу является подмножеством любого множества.

Значит, $D \subseteq A$ .

Ответ: $B \subseteq A$ и $D \subseteq A$ , а $C$ подмножеством не является.

Перечисление всех подмножеств

Условие
Выпиши все подмножества множества $M = {a, b, c}$ .

Шаг 1. Сначала посчитаем, сколько подмножеств должно получиться. Элементов три, поэтому их будет $2^{3} = 8$ . Это число понадобится для проверки.

Шаг 2. Записываем пустое множество: $\emptyset$ . Это первое подмножество.

Шаг 3. Выписываем подмножества из одного элемента: ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ . Получилось три.

Шаг 4. Составляем все пары. Начинаем с $a$ : ${a, b}$ и ${a, c}$ . Остаётся пара без $a$ : ${b, c}$ . Итого три.

Шаг 5. Записываем исходное множество целиком: ${a, b, c}$ .

Шаг 6. Считаем полученное: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ . Совпало с расчётом из шага 1, значит, ничего не пропустили.

Ответ: $\emptyset$ , ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ , ${a, b}$ , ${a, c}$ , ${b, c}$ , ${a, b, c}$ .

Подмножества в геометрии

Условие
Пусть $K$ — множество всех квадратов, а $P$ — множество всех прямоугольников. Верно ли, что $K \subseteq P$ ?

Шаг 1. Вспомним определения. Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Квадрат — прямоугольник, у которого вдобавок все стороны равны.

Шаг 2. Проверим условие включения. Элементы здесь не числа, а фигуры, поэтому вопрос звучит так: любая ли фигура из $K$ попадает в $P$ ?

Шаг 3. Возьмём произвольный квадрат. У него четыре прямых угла, а этого достаточно, чтобы считаться прямоугольником. Значит, любой квадрат входит в множество прямоугольников.

Вывод: $K \subseteq P$ .

Шаг 4. Проверим обратное. Прямоугольник со сторонами $2$ и $5$ квадратом не является — стороны разные. Нашёлся элемент $P$ , которого нет в $K$ , поэтому включение в обратную сторону неверно: $P ⊈ K$ .

Ответ: да, $K \subseteq P$ , но не наоборот.

Типичные ошибки

Забывают про пустое множество

Как ошибаются: перечисляя подмножества, начинают сразу с одноэлементных.

Как правильно: записывать $\emptyset$ первым. Проверить себя легко по формуле: если получилось на единицу меньше, чем $2^{n}$ , скорее всего пропустили именно пустое множество.

Не включают исходное множество целиком

Как ошибаются: доходят до пар и останавливаются, считая, что само множество своим подмножеством быть не может.

Как правильно: может, это первое из двух правил. При перечислении исходное множество записывают последним.

Путают направление знака

Как ошибаются: пишут $A \subseteq B$ , имея в виду, что $B$ содержится в $A$ .

Как правильно: запись $B \subseteq A$ читается « $B$ содержится в $A$ ». Открытая сторона знака всегда обращена к тому множеству, которое содержит другое, а острый угол — к меньшему.

Проверяют включение не в ту сторону

Как ошибаются: видят, что множества частично совпадают, и заключают, что одно является подмножеством другого.

Как правильно: проверять строго по определению и в одну конкретную сторону. Для $B \subseteq A$ нужно, чтобы все элементы $B$ нашлись в $A$ ; элементы $A$ , которых нет в $B$ , значения не имеют.

Тренировка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Выпиши все подмножества множества $X = {10, 20}$ .

Задание 2. Пусть $A$ — множество чётных натуральных чисел, а $B$ — множество всех натуральных чисел. Верно ли, что $A \subseteq B$ ?

Задание 3. Верно ли утверждение ${4, 5} \subseteq {5, 4}$ ?

Задание 4. Сколько подмножеств у множества из четырёх элементов?

Задание 5. Верно ли, что ${1, 2, 6} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ?

Решение к заданию 1. Элементов два, поэтому подмножеств должно быть $2^{2} = 4$ . Выписываем по группам: пустое множество, два одноэлементных и само множество.

Ответ: $\emptyset$ , ${10}$ , ${20}$ , ${10, 20}$ .

Решение к заданию 2. Каждое чётное натуральное число — это прежде всего натуральное число, поэтому все элементы $A$ находятся в $B$ . Лишних элементов у $A$ нет.

Ответ: да, $A \subseteq B$ .

Решение к заданию 3. Порядок элементов в фигурных скобках значения не имеет, поэтому ${4, 5}$ и ${5, 4}$ — одно и то же множество. А каждое множество является подмножеством самого себя.

Ответ: да, верно.

Решение к заданию 4. По формуле: $2^{4} = 16$ .

Ответ: $16$ подмножеств.

Решение к заданию 5. Элементы $1$ и $2$ во втором множестве есть, а элемента $6$ нет. Одного лишнего достаточно.

Ответ: нет, включение неверно.

Заключение

Теперь ты умеешь проверять включение одного множества в другое, перечислять все подмножества и считать их количество. Определение держится на одном условии: все элементы предполагаемого подмножества должны найтись в исходном множестве, а лишних быть не должно. Один лишний элемент — и включения нет.

Два правила работают всегда и проверки не требуют: каждое множество является подмножеством самого себя, а пустое множество входит в любое. Именно их чаще всего забывают при перечислении.

Количество подмножеств у множества из $n$ элементов равно $2^{n}$ — по два варианта на каждый элемент, взять или не взять. Этой формулой удобно себя проверять: выписал все подмножества, посчитал, сравнил. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для комбинаторики и теории вероятностей.