Подмножество — это способ сказать, что одна группа объектов целиком помещается внутрь другой. Идея простая, но именно на ней держатся задачи из алгебры, геометрии и теории вероятностей: квадраты входят в прямоугольники, чётные числа — в целые, благоприятные исходы — во все возможные. Разберём определение, два правила, которые решают половину задач, и приём для перечисления всех подмножеств сразу.
Множество и подмножество
Начнём с исходного понятия.
Например, в записи $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ множество $A$ состоит из пяти элементов — чисел от одного до пяти.
Обрати внимание на формулировку. Требуется, чтобы все элементы $B$ нашлись в $A$, — про элементы $A$ речи нет, их может быть сколько угодно больше.
Отсюда сразу следует и обратное правило: если в $B$ обнаружился хотя бы один элемент, которого нет в $A$, то подмножеством $B$ уже не является. Одного лишнего хватает.
В учебниках встречаются два похожих знака: $\subseteq$ и $\subset$. Первый допускает, что множества совпадают, второй в строгом смысле означает, что $B$ меньше $A$. В школьном курсе разницу обычно не подчёркивают, но в этой статье будем пользоваться знаком $\subseteq$ — он включает и случай совпадения.
Два правила, которые нужно запомнить
Эти два случая проверять не нужно — они верны всегда.
Первое правило легко проверяется по определению: все элементы $A$ входят в $A$ — конечно, входят.
Второе выглядит странно, но объясняется так же. Чтобы $B$ не было подмножеством, в нём должен найтись элемент, которого нет в $A$. В пустом множестве элементов нет вообще, значит, и нарушить условие нечему.
Именно про эти два случая забывают чаще всего, когда перечисляют все подмножества.
Как проверить включение
Порядок действий простой.
- Возьми первый элемент предполагаемого подмножества.
- Найди его в исходном множестве.
- Повтори для каждого элемента по очереди.
- Нашлись все — множество является подмножеством.
- Не нашёлся хотя бы один — не является, дальше можно не проверять.
Пятый пункт экономит время: как только встретился лишний элемент, ответ уже известен.
Как перечислить все подмножества
Чтобы ничего не пропустить, выписывают подмножества группами — по количеству элементов, от меньшего к большему.
- Начни с пустого множества $\emptyset$.
- Выпиши все подмножества из одного элемента.
- Составь все возможные пары.
- Дальше тройки, четвёрки и так далее.
- Закончи исходным множеством целиком.
- Проверь количество по формуле $2^n$, где $n$ — число элементов.
Формула объясняется просто: для каждого элемента есть ровно два варианта — взять его в подмножество или не брать. Элементов $n$ штук, поэтому всего наборов $2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^n$.
Перестановки писать не нужно: порядок элементов в множестве значения не имеет, поэтому $\{a, b\}$ и $\{b, a\}$ — одна и та же запись.
Разбор задач
Проверка включения
Условие
Дано множество $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Определи, какие из множеств являются его подмножествами: $B = \{2, 4\}$, $C = \{3, 5, 7\}$, $D = \emptyset$.
Шаг 1. Проверяем $B$. Элемент $2$ в множестве $A$ есть, элемент $4$ тоже есть. Проверили оба, лишних не нашлось.
Значит, $B \subseteq A$.
Шаг 2. Проверяем $C$. Элемент $3$ есть, элемент $5$ есть, а вот элемента $7$ в $A$ нет.
Одного лишнего достаточно, поэтому $C \nsubseteq A$. Дальше проверять нечего.
Шаг 3. Проверяем $D$. Это пустое множество, а оно по правилу является подмножеством любого множества.
Значит, $D \subseteq A$.
Ответ: $B \subseteq A$ и $D \subseteq A$, а $C$ подмножеством не является.
Перечисление всех подмножеств
Условие
Выпиши все подмножества множества $M = \{a, b, c\}$.
Шаг 1. Сначала посчитаем, сколько подмножеств должно получиться. Элементов три, поэтому их будет $2^3 = 8$. Это число понадобится для проверки.
Шаг 2. Записываем пустое множество: $\emptyset$. Это первое подмножество.
Шаг 3. Выписываем подмножества из одного элемента: $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$. Получилось три.
Шаг 4. Составляем все пары. Начинаем с $a$: $\{a, b\}$ и $\{a, c\}$. Остаётся пара без $a$: $\{b, c\}$. Итого три.
Шаг 5. Записываем исходное множество целиком: $\{a, b, c\}$.
Шаг 6. Считаем полученное: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$. Совпало с расчётом из шага 1, значит, ничего не пропустили.
Ответ: $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a, b, c\}$.
Подмножества в геометрии
Условие
Пусть $K$ — множество всех квадратов, а $P$ — множество всех прямоугольников. Верно ли, что $K \subseteq P$?
Шаг 1. Вспомним определения. Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Квадрат — прямоугольник, у которого вдобавок все стороны равны.
Шаг 2. Проверим условие включения. Элементы здесь не числа, а фигуры, поэтому вопрос звучит так: любая ли фигура из $K$ попадает в $P$?
Шаг 3. Возьмём произвольный квадрат. У него четыре прямых угла, а этого достаточно, чтобы считаться прямоугольником. Значит, любой квадрат входит в множество прямоугольников.
Вывод: $K \subseteq P$.
Шаг 4. Проверим обратное. Прямоугольник со сторонами $2$ и $5$ квадратом не является — стороны разные. Нашёлся элемент $P$, которого нет в $K$, поэтому включение в обратную сторону неверно: $P \nsubseteq K$.
Ответ: да, $K \subseteq P$, но не наоборот.
Типичные ошибки
Забывают про пустое множество
Как ошибаются: перечисляя подмножества, начинают сразу с одноэлементных.
Как правильно: записывать $\emptyset$ первым. Проверить себя легко по формуле: если получилось на единицу меньше, чем $2^n$, скорее всего пропустили именно пустое множество.
Не включают исходное множество целиком
Как ошибаются: доходят до пар и останавливаются, считая, что само множество своим подмножеством быть не может.
Как правильно: может, это первое из двух правил. При перечислении исходное множество записывают последним.
Путают направление знака
Как ошибаются: пишут $A \subseteq B$, имея в виду, что $B$ содержится в $A$.
Как правильно: запись $B \subseteq A$ читается «$B$ содержится в $A$». Открытая сторона знака всегда обращена к тому множеству, которое содержит другое, а острый угол — к меньшему.
Проверяют включение не в ту сторону
Как ошибаются: видят, что множества частично совпадают, и заключают, что одно является подмножеством другого.
Как правильно: проверять строго по определению и в одну конкретную сторону. Для $B \subseteq A$ нужно, чтобы все элементы $B$ нашлись в $A$; элементы $A$, которых нет в $B$, значения не имеют.
Тренировка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Выпиши все подмножества множества $X = \{10, 20\}$.
Задание 2. Пусть $A$ — множество чётных натуральных чисел, а $B$ — множество всех натуральных чисел. Верно ли, что $A \subseteq B$?
Задание 3. Верно ли утверждение $\{4, 5\} \subseteq \{5, 4\}$?
Задание 4. Сколько подмножеств у множества из четырёх элементов?
Задание 5. Верно ли, что $\{1, 2, 6\} \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$?
Решение к заданию 1. Элементов два, поэтому подмножеств должно быть $2^2 = 4$. Выписываем по группам: пустое множество, два одноэлементных и само множество.
Ответ: $\emptyset$, $\{10\}$, $\{20\}$, $\{10, 20\}$.
Решение к заданию 2. Каждое чётное натуральное число — это прежде всего натуральное число, поэтому все элементы $A$ находятся в $B$. Лишних элементов у $A$ нет.
Ответ: да, $A \subseteq B$.
Решение к заданию 3. Порядок элементов в фигурных скобках значения не имеет, поэтому $\{4, 5\}$ и $\{5, 4\}$ — одно и то же множество. А каждое множество является подмножеством самого себя.
Ответ: да, верно.
Решение к заданию 4. По формуле: $2^4 = 16$.
Ответ: $16$ подмножеств.
Решение к заданию 5. Элементы $1$ и $2$ во втором множестве есть, а элемента $6$ нет. Одного лишнего достаточно.
Ответ: нет, включение неверно.
Заключение
Теперь ты умеешь проверять включение одного множества в другое, перечислять все подмножества и считать их количество. Определение держится на одном условии: все элементы предполагаемого подмножества должны найтись в исходном множестве, а лишних быть не должно. Один лишний элемент — и включения нет.
Два правила работают всегда и проверки не требуют: каждое множество является подмножеством самого себя, а пустое множество входит в любое. Именно их чаще всего забывают при перечислении.
Количество подмножеств у множества из $n$ элементов равно $2^n$ — по два варианта на каждый элемент, взять или не взять. Этой формулой удобно себя проверять: выписал все подмножества, посчитал, сравнил. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для комбинаторики и теории вероятностей.
