Вероятность — это дробь, и вся сложность задач не в вычислениях, а в том, какие два числа в неё поставить. Знаменатель почти всегда лежит на поверхности, а вот числитель приходится вычислять: в условии обычно даны не те исходы, которые нужны. Формулировки вроде «без дефектов» или «остальные» переворачивают ответ целиком. Разберём базовые понятия, формулу и алгоритм, который защищает от этой ловушки.
Основные понятия
Теория вероятностей занимается событиями, исход которых зависит от случая.
Случайными опытами будут жеребьёвка перед матчем, подбрасывание монеты, вытягивание билета на экзамене — всюду результат заранее неизвестен.
Возьмём бросок игрального кубика. У него шесть элементарных исходов: выпала единица, двойка, тройка, четвёрка, пятёрка или шестёрка. Все исходы вместе образуют пространство элементарных исходов.
Равновозможные исходы
В школьных задачах рассматривают опыты, где исходов конечное число и все они равновозможны.
У правильной монеты шансы выпасть орлом и решкой одинаковы, у правильного кубика все шесть граней равноправны. Именно поэтому вероятность можно считать простым делением — если бы кубик был утяжелён с одной стороны, формула перестала бы работать.
Формула классической вероятности
Благоприятные исходы всегда входят в число всех возможных, поэтому m не может быть больше n. Отсюда следует важное ограничение.
Вероятность достоверного события — того, что произойдёт обязательно, — равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Любой другой ответ лежит между ними. Если получилось число больше единицы или отрицательное, где-то ошибка.
Алгоритм решения задач
- Прочитай вопрос и сформулируй словами, вероятность какого события нужно найти.
- Найди n — общее число исходов. Это знаменатель дроби.
- Найди m — число исходов, подходящих под сформулированное событие. Это числитель.
- Раздели m на n и переведи результат в десятичную дробь.
- Проверь ответ: он должен оказаться между 0 и 1.
Второй шаг обычно простой, а вот на третьем и подстерегает главная ловушка. Число из условия и число, нужное в числителе, часто не совпадают — сравни свою формулировку из первого шага с тем, что дано в тексте.
Примеры решения задач
Задача про экзаменационные билеты
Условие
В сборнике 60 экзаменационных билетов по биологии. В 15 из них есть вопрос о круглых червях. Какова вероятность, что ученик вытянет именно такой билет?
Шаг 1. Формулируем событие: вытянут билет с вопросом про круглых червей.
Шаг 2. Находим . Всего билетов 60, любой может достаться с равной вероятностью: .
Шаг 3. Находим . Подходящих билетов 15 — здесь число из условия совпадает с нужным: .
Шаг 4. Подставляем в формулу и сокращаем дробь на 15: .
Шаг 5. Переводим в десятичную дробь: .
Проверка. Ответ лежит между нулём и единицей. Подходящих билетов заметно меньше половины, поэтому вероятность должна быть меньше 0,5 — сходится.
Ответ: 0,25.
Задача про сумки с дефектами
Условие
Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найди вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Шаг 1. Формулируем событие: купленная сумка без дефектов. Обрати внимание на это слово — оно и определит числитель.
Шаг 2. Находим . Всего сумок 140: .
Шаг 3. Находим . В условии дано число сумок с дефектами, а нам нужны сумки без них. Вычитаем: , значит, .
Шаг 4. Подставляем в формулу и сокращаем дробь на 14: .
Шаг 5. Переводим в десятичную дробь: .
Проверка. Бракованных сумок мало, поэтому вероятность купить хорошую должна быть близка к единице — так и вышло. Заодно посчитаем противоположную вероятность: , и вместе они дают ровно 1.
Ответ: 0,9.
Задача про жеребьёвку гимнасток
Условие
На соревнованиях выступают 25 гимнасток: 12 из России, 7 из Украины, остальные из Белоруссии. Порядок выступлений определяет жребий. С какой вероятностью первой выступит белорусская гимнастка?
Шаг 1. Формулируем событие: первой выступает гимнастка из Белоруссии. Жребий случаен, поэтому все участницы имеют равные шансы занять любое место.
Шаг 2. Находим . Всего участниц 25: .
Шаг 3. Находим . Число белорусских гимнасток в условии прямо не дано — сказано «остальные». Вычитаем: , значит, .
Шаг 4. Подставляем в формулу: .
Шаг 5. Переводим в десятичную дробь. Знаменатель 25 легко дополнить до сотни, умножив на 4: .
Проверка. Из 25 спортсменок белорусских всего шесть — примерно четверть, и вероятность близка к 0,25. Сходится.
Ответ: 0,24.
Типичные ошибки
Берут в числитель первое число из условия
Как ошибаются: в задаче про сумки видят число 14 и записывают .
Как правильно: сверять числитель со сформулированным событием. Спрашивали про сумки без дефектов, а 14 — это количество бракованных. Нужное число получается вычитанием: .
Переворачивают дробь
Как ошибаются: записывают общее число исходов в числитель, а благоприятные в знаменатель.
Как правильно: сверху всегда благоприятные исходы, снизу все возможные. Проверить себя мгновенно: если получилось число больше единицы, дробь перевёрнута.
Не доводят ответ до десятичной дроби
Как ошибаются: записывают ответ в виде или .
Как правильно: в заданиях по вероятности ответ обычно требуется десятичной дробью: 0,5 и 0,75. Переводить нужно до записи ответа.
Считают, что порядковый номер влияет на вероятность
Как ошибаются: в задаче про седьмой доклад начинают учитывать номер места в расчётах.
Как правильно: при случайном жребии все места равноправны. Вероятность оказаться седьмым такая же, как первым или последним, поэтому номер в формулу не входит.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. На конференцию приехали учёные: 5 из Португалии, 3 из Финляндии и 2 из Болгарии. Порядок докладов определяет жребий. Какова вероятность, что седьмым по счёту выступит финский учёный?
Задание 2. В самолёте 400 мест. Пассажирам высокого роста удобны 28 кресел у аварийных выходов и ещё 16 мест за перегородками. Пассажиру высокого роста дают случайное место. Какова вероятность, что оно окажется удобным?
Задание 3. В коробке 50 карандашей, из них 20 красных. Какова вероятность вытащить наугад карандаш не красного цвета?
Задание 4. В лотерее 200 билетов, из них 6 выигрышных. Какова вероятность купить проигрышный билет?
Решение к заданию 1. Находим общее число учёных: , значит, .
Финских учёных трое, поэтому . Порядковый номер доклада на расчёт не влияет: жребий случаен, и седьмое место равноправно любому другому.
Считаем: .
Ответ: 0,3.
Решение к заданию 2. Общее число мест .
Удобные места складываем: , значит, .
Считаем и сокращаем на 4: .
Ответ: 0,11.
Решение к заданию 3. Общее число карандашей .
Спрашивают про не красные, а дано число красных. Вычитаем: , значит, .
Считаем: .
Проверка: вероятность вытащить красный равна , вместе получается 1.
Ответ: 0,6.
Решение к заданию 4. Общее число билетов .
Проигрышных билетов в условии нет, есть выигрышные. Вычитаем: , значит, .
Считаем: .
Проверка: ответ близок к единице, что логично — выигрышных билетов очень мало.
Ответ: 0,97.
Заключение
Теперь ты умеешь распознавать случайный опыт, перечислять элементарные исходы и находить вероятность по классической формуле. Порядок работы всегда один: сформулировать событие словами, посчитать все исходы, посчитать подходящие и разделить одно на другое.
Главная ловушка темы — числитель. Число, данное в условии, часто относится к противоположному событию, а не к тому, о котором спрашивают. Слова «без», «остальные», «не» переворачивают расчёт: нужное количество приходится получать вычитанием.
Перед записью ответа выполни две проверки. Вероятность обязана лежать между 0 и 1: больше единицы означает перевёрнутую дробь. И результат нужно довести до десятичной дроби. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для задач на сложение и умножение вероятностей.
