Набор чисел сам по себе мало что говорит: двадцать оценок или тридцать измерений температуры глазами не охватить. Поэтому его сжимают до нескольких показателей — типичное значение, середина, разброс. Считаются они за пару действий, но есть одно обязательное условие: сначала данные нужно упорядочить. Именно спешка с этим шагом и даёт большинство ошибок. Разберём три показателя и научимся находить их по алгоритму.
Основные понятия
Любой набор чисел — оценки за неделю, рост учеников, температура по дням — называют числовым рядом. С ним и работают все статистические показатели.
Мода
В ряду $4, 5, 4, 3, 4$ модой будет четвёрка: она встречается трижды, а остальные по одному разу.
Мода показывает самое типичное значение — то, что попадается чаще всего. Возможны три случая:
- одна мода — какое-то значение повторяется чаще прочих;
- несколько мод — два и более значения встречаются одинаково часто и чаще остальных;
- моды нет — все элементы ряда различны, и выделить самый частый невозможно.
Размах
Допустим, днём было градусов, а ночью . Размах составит градусов — настолько сильно менялась температура за сутки.
Показатель отвечает на вопрос о разбросе: чем размах больше, тем сильнее данные разбегаются. Если он равен нулю, весь ряд состоит из одинаковых значений.
Медиана
Ключевое слово здесь — «выстроенного». Пока данные записаны как попало, середина списка ничего не значит, и найденный результат окажется случайным. Сортировка обязательна.
Дальше всё решает количество элементов. При нечётном количестве серединное значение одно — оно и будет медианой. При чётном центральных значений два, и медианой служит их среднее арифметическое.
Алгоритм решения задач
Порядок подходит для любого набора данных.
- Выпиши весь ряд по возрастанию, от наименьшего элемента к наибольшему. Ничего не потеряй: повторяющиеся значения записываются столько раз, сколько встречаются.
- Посчитай, сколько всего элементов получилось.
- Найди размах: вычти наименьшее значение из наибольшего. В упорядоченном ряду это первый и последний элементы.
- Найди моду: посмотри, какое значение повторяется чаще других.
- Найди медиану. При нечётном количестве бери элемент ровно посередине. При чётном возьми два центральных, сложи и раздели сумму на два.
Первый шаг пропускать нельзя, даже если кажется, что данные и так почти по порядку.
Разбор задач
Нечётное количество элементов
Условие
Дан ряд: $5, 3, 4, 3, 2, 4, 3$. Найди моду, размах и медиану.
Шаг 1. Выстраиваем ряд по возрастанию: $2, 3, 3, 3, 4, 4, 5$.
Шаг 2. Считаем количество: семь элементов. Проверяем, что ничего не потерялось — в исходной записи тоже семь.
Шаг 3. Ищем размах. В упорядоченном ряду наименьшее значение стоит первым, наибольшее последним: .
Шаг 4. Ищем моду. Тройка встречается три раза, четвёрка два, остальные по одному. Значит, мода равна $3$.
Шаг 5. Ищем медиану. Элементов семь, количество нечётное, поэтому центральный один. Отсчитываем: четвёртый по счёту — это $3$.
Проверка. Слева от медианы три элемента и справа три — значит, середина найдена верно.
Ответ: мода $3$, размах $3$, медиана $3$.
Чётное количество элементов
Условие
Дан ряд: $9, 3, 5, 2, 4, 3$. Найди моду, размах и медиану.
Шаг 1. Сортируем по возрастанию: $2, 3, 3, 4, 5, 9$.
Шаг 2. Считаем: шесть элементов, количество чётное.
Шаг 3. Ищем размах: .
Шаг 4. Ищем моду. Тройка встречается дважды, все остальные по одному разу, значит, мода равна $3$.
Шаг 5. Ищем медиану. Одного центрального элемента здесь нет, поэтому берём два средних — третий и четвёртый по счёту, то есть $3$ и $4$.
Шаг 6. Находим их среднее арифметическое: .
Проверка. Медиана оказалась между двумя центральными значениями, и слева от неё три элемента, справа тоже три. Заметь: сама медиана в ряду не встречается, и это нормально.
Ответ: мода $3$, размах $7$, медиана .
Отрицательные значения и отсутствие моды
Условие
Дан ряд: $-2, 5, 0, -4, 2$. Найди моду, размах и медиану.
Шаг 1. Выстраиваем по возрастанию. Отрицательные значения идут первыми, причём чем больше модуль, тем элемент меньше: $-4, -2, 0, 2, 5$.
Шаг 2. Считаем: пять элементов, количество нечётное.
Шаг 3. Ищем размах. Наибольшее значение $5$, наименьшее . Вычитаем, не теряя знак минус: .
Шаг 4. Ищем моду. Все пять элементов различны, ни один не повторяется. Значит, моды у этого ряда нет — так и записываем словами, а не нулём.
Шаг 5. Ищем медиану. Элементов пять, центральный — третий по счёту, то есть $0$.
Проверка. Слева от нуля два элемента и справа два. Середина верна.
Ответ: моды нет, размах $9$, медиана $0$.
Типичные ошибки
Ищут медиану без сортировки
Как ошибаются: берут элемент из середины исходной записи, не упорядочив ряд.
Как правильно: сначала выстроить данные по возрастанию. В ряду $9, 3, 5, 2, 4, 3$ посередине исходной записи стоят $5$ и $2$, а правильный ответ — совсем другой результат.
Путают размах с наибольшим элементом
Как ошибаются: в ряду $12, 17, 3$ записывают размах равным $17$.
Как правильно: размах — это разность, а не одно из значений ряда: . Он показывает, насколько далеко разошлись края, а не какой из них больше.
При чётном количестве берут один центральный элемент
Как ошибаются: из двух средних выбирают любой, обычно левый.
Как правильно: складывать оба и делить сумму на два. Медиана при этом часто не совпадает ни с одним элементом ряда — это нормально.
Записывают, что мода равна нулю
Как ошибаются: если все элементы различны, пишут «мода ».
Как правильно: нуль — это полноценное значение, и такая запись означала бы, что чаще всего встречается именно он. Когда повторов нет, ответ записывают словами: моды нет.
Теряют повторы при сортировке
Как ошибаются: выписывая ряд по возрастанию, записывают каждое значение один раз.
Как правильно: повторы сохраняются. Ряд $2, 3, 3, 3, 4$ содержит пять элементов, а не три, и от этого зависит положение медианы.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди размах ряда $12, 17, 3, 9, 21$.
Задание 2. Найди моду ряда $7, 8, 8, 9, 7, 8, 5$.
Задание 3. Найди медиану ряда $1, 8, 4, 3, 5, 2$.
Задание 4. Найди моду ряда $2, 5, 2, 7, 5, 9$.
Задание 5. Найди размах ряда $-3, 4, -7, 1$.
Задание 6. Найди медиану и моду ряда $6, 6, 6, 6$.
Решение к заданию 1. Наибольшее значение $21$, наименьшее $3$. Вычитаем: .
Ответ: $18$.
Решение к заданию 2. Восьмёрка встречается три раза, семёрка два, остальные по одному.
Ответ: мода равна $8$.
Решение к заданию 3. Сортируем: $1, 2, 3, 4, 5, 8$. Элементов шесть, количество чётное, поэтому берём два центральных — $3$ и $4$ — и находим их среднее: .
Ответ: .
Решение к заданию 4. Двойка встречается дважды и пятёрка дважды, остальные по одному разу. Оба значения повторяются одинаково часто и чаще прочих.
Ответ: две моды — $2$ и $5$.
Решение к заданию 5. Сортируем: $-7, -3, 1, 4$. Наибольшее значение $4$, наименьшее : .
Ответ: $11$.
Решение к заданию 6. Все элементы одинаковы. Их четыре, центральные — $6$ и $6$, их среднее равно $6$. Шестёрка встречается четыре раза, значит, она и есть мода.
Размах здесь был бы равен нулю: .
Ответ: медиана $6$, мода $6$.
Заключение
Теперь ты умеешь находить моду, размах и медиану числового ряда. Любая задача начинается с одного и того же действия — сортировки по возрастанию. Без неё не видно ни краёв, ни середины, а полученный ответ окажется случайным.
Каждый показатель отвечает на свой вопрос. Мода говорит, какое значение встречается чаще всего, и её может не быть вовсе или быть несколько. Размах показывает разброс и всегда вычисляется как разность наибольшего и наименьшего, а не берётся готовым из ряда. Медиана указывает на середину: при нечётном количестве элементов это центральное значение, при чётном — среднее арифметическое двух центральных.
Проверить себя просто: слева и справа от медианы должно оказаться поровну элементов. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про среднее арифметическое и анализ данных.
