Две прямые пересеклись — и на чертеже сразу четыре угла. Но искать все четыре не придётся: достаточно знать один, а остальные достраиваются по двум коротким правилам. Вся тема сводится к двум определениям и двум свойствам, зато применяются они постоянно — в задачах с треугольниками, параллельными прямыми и многоугольниками. Разберём, как отличать смежные углы от вертикальных и как составлять уравнения по условию.

Основная теория

Смежные углы

Получаются они просто: берём развёрнутый угол и проводим из его вершины луч. Этот луч и будет общей стороной, а половинки развёрнутого — двумя смежными.

Два смежных угла с общей стороной образуют развёрнутый угол 180 градусов.

Свойство следует прямо из построения: вместе они составляют развёрнутый угол, а он равен $180^{\circ}$ . В буквенной записи: если обозначить их через $x$ и $y$ , то $x + y = 180^{\circ}$ .

Отсюда вытекает несколько удобных следствий:

смежный с прямым — тоже прямой: $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ ;
смежный с острым — обязательно тупой;
смежный с тупым — обязательно острый;
если два угла равны, то и смежные с ними равны между собой.

Вертикальные углы

Проверить это можно через смежные. Пусть первый равен $43^{\circ}$ . Соседний смежный равен $180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$ . А тот, что напротив первого, смежен уже со вторым, поэтому равен $180^{\circ} - 137^{\circ} = 43^{\circ}$ — столько же, сколько исходный.

Что получается при пересечении двух прямых

Две пересекающиеся прямые дают четыре угла с общей вершиной. Между ними:

две пары вертикальных — те, что лежат напротив;
четыре пары смежных — каждые два соседних.

Пересечение двух прямых образует четыре угла: смежные рядом, вертикальные напротив.

Сумма всех четырёх равна $360^{\circ}$ : они полностью заполняют оборот вокруг точки пересечения.

Практический вывод простой: чтобы найти все четыре, достаточно знать один из них.

Алгоритм решения задач

Разберись с чертежом: возьми готовый или построй по условию.
Определи тип углов. Вместе составляют развёрнутый — смежные. Лежат напротив при пересечении прямых — вертикальные.
Примени свойство: для смежных запиши сумму $180^{\circ}$ , для вертикальных — знак равенства.
Введи переменную $x$ , если в условии есть слова «больше на», «меньше на» или дано отношение.
Составь уравнение и реши его.
Вернись к вопросу задачи. Значение $x$ не всегда и есть ответ — часто нужно сделать ещё одно действие.
Проверь результат: смежные обязаны дать в сумме ровно $180^{\circ}$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Примеры решения задач

Разница между смежными углами известна

Условие

Один из смежных углов на $40^{\circ}$ больше другого. Найди градусные меры обоих.

Шаг 1. Углы смежные, значит, их сумма равна $180^{\circ}$ . Это и будет основой уравнения.

Шаг 2. Введём переменную. За $x$ удобно взять меньший — тогда больший запишется через сложение: $x + 40$ .

Смежные углы x и x плюс 40 составляют уравнение с суммой 180 градусов. — Рисунок к заданию 1

Шаг 3. Составляем уравнение: $x + (x + 40) = 180$ .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные: $2 x + 40 = 180$ .

Шаг 5. Переносим число вправо со сменой знака: $2 x = 180 - 40$ , то есть $2 x = 140$ .

Шаг 6. Находим неизвестный множитель: $x = 70^{\circ}$ . Это и есть меньший.

Шаг 7. Возвращаемся к вопросу. Спрашивали оба, поэтому вычисляем и больший: $70 + 40 = 110^{\circ}$ .

Проверка. Складываем: $70^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ}$ . Разность тоже сходится: $110 - 70 = 40$ .

Ответ: $70^{\circ}$ и $110^{\circ}$ .

Известно отношение смежных углов

Условие

Найди смежные углы, если их градусные меры относятся как $2 : 7$.

Шаг 1. Разберёмся, что значит отношение. Числа $2$ и $7$ — это не градусы, а количество одинаковых частей: первый угол состоит из двух таких частей, второй из семи.

Шаг 2. Обозначим одну часть через $x$ . Тогда первый равен $2 x$ , а второй $7 x$ .

Смежные углы 2x и 7x заданы отношением и в сумме дают 180 градусов. — Рисунок к заданию 2

Шаг 3. Углы смежные, поэтому составляем уравнение: $2 x + 7 x = 180$ .

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $9 x = 180$ .

Шаг 5. Находим одну часть: $x = 180 : 9 = 20^{\circ}$ .

Шаг 6. Возвращаемся к вопросу. Нужны сами углы, а не размер части: $2 \cdot 20 = 40^{\circ}$ и $7 \cdot 20 = 140^{\circ}$ .

Проверка. Сумма: $40^{\circ} + 140^{\circ} = 180^{\circ}$ . Отношение: $40 : 140$ после сокращения на $20$ даёт $2 : 7$.

Ответ: $40^{\circ}$ и $140^{\circ}$ .

Пересечение двух прямых

Условие

При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Один из них равен $43^{\circ}$ . Найди величины остальных.

Шаг 1. Сделаем чертёж: две прямые пересекаются в одной точке и образуют четыре угла. Пронумеруем их подряд по кругу: 1, 2, 3, 4. Пусть $∠ 1 = 43^{\circ}$ .

Шаг 2. Найдём тот, что напротив. Углы 1 и 3 лежат крест-накрест, значит, они вертикальные и равны: $∠ 3 = 43^{\circ}$ .

Шаг 3. Найдём соседний. Углы 1 и 2 составляют вместе развёрнутый, значит, они смежные: $∠ 2 = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$ .

Шаг 4. Остался четвёртый. Он лежит напротив второго, они вертикальные: $∠ 4 = 137^{\circ}$ .

Четыре угла при пересечении двух прямых: вертикальные по 43, смежные по 137 градусов. — Рисунок к заданию 3

Проверка. Все четыре должны заполнять оборот: $43 + 137 + 43 + 137 = 360^{\circ}$ . Сходится.

Ответ: $43^{\circ}$ , $137^{\circ}$ и $137^{\circ}$ .

Типичные ошибки

Принимают числа отношения за градусы

Как ошибаются: увидев отношение $2 : 7$, записывают уравнение $2 + 7 = 180$ .

Как правильно: числа отношения показывают количество равных частей, а не градусные меры. Нужно обозначить одну часть через $x$ и составить уравнение $2 x + 7 x = 180$ .

Останавливаются на значении переменной

Как ошибаются: решают уравнение, получают $x = 70^{\circ}$ и записывают это в ответ.

Как правильно: перечитать вопрос. Если больший по условию равен $x + 40$ , найти нужно именно его: $70 + 40 = 110^{\circ}$ . Значение $x$ — промежуточный результат, а не всегда ответ.

Путают свойства двух видов

Как ошибаются: приравнивают смежные или складывают вертикальные до $180^{\circ}$ .

Как правильно: запомнить короткую пару. Смежные складываются до $180^{\circ}$ , вертикальные равны между собой. Смежные бывают равны только в одном случае — когда оба прямые.

Считают вертикальными любые углы напротив

Как ошибаются: называют вертикальными те, что просто расположены друг напротив друга на чертеже.

Как правильно: проверять условие. У вертикальных общая вершина, а стороны одного продолжают стороны другого. Без общей вершины они вертикальными не будут.

Задания для самопроверки

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Один из смежных углов равен $150^{\circ}$ . Чему равен второй?

Задание 2. Две прямые пересекаются так, что один из углов равен $90^{\circ}$ . Чему равны остальные три?

Задание 3. Два смежных угла равны друг другу. Найди градусную меру каждого.

Задание 4. Один из смежных углов вдвое больше другого. Найди оба.

Задание 5. При пересечении двух прямых один из углов равен $118^{\circ}$ . Найди остальные.

Решение к заданию 1. Смежные дают в сумме $180^{\circ}$ , поэтому второй находим вычитанием: $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$ .

Ответ: $30^{\circ}$ .

Решение к заданию 2. Тот, что напротив, — вертикальный, значит, тоже $90^{\circ}$ . Два соседних смежны с прямым: $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ .

Ответ: все три равны $90^{\circ}$ .

Решение к заданию 3. Пусть каждый равен $x$ . Тогда $x + x = 180$ , откуда $2 x = 180$ и $x = 90^{\circ}$ .

Ответ: каждый равен $90^{\circ}$ , оба прямые.

Решение к заданию 4. Пусть меньший равен $x$ , тогда больший равен $2 x$ . Составляем уравнение: $x + 2 x = 180$ , то есть $3 x = 180$ и $x = 60^{\circ}$ .

Больший: $2 \cdot 60 = 120^{\circ}$ .

Проверка: $60 + 120 = 180^{\circ}$ .

Ответ: $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$ .

Решение к заданию 5. Тот, что напротив, — вертикальный, поэтому тоже равен $118^{\circ}$ . Соседние смежны с данным: $180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$ .

Проверка: $118 + 62 + 118 + 62 = 360^{\circ}$ .

Ответ: $118^{\circ}$ , $62^{\circ}$ и $62^{\circ}$ .

Заключение

Теперь ты умеешь различать смежные и вертикальные углы, применять их свойства и составлять уравнения по условиям с разностью или отношением. Два правила стоит держать в памяти постоянно: смежные в сумме дают $180^{\circ}$ , а вертикальные просто равны.

Порядок работы всегда один. Сначала определи тип по чертежу, потом выбери действие — сложить до развёрнутого или приравнять, — и только затем считай. Если в условии есть слова «больше на» или отношение, вводи переменную и составляй уравнение.

Два места, где чаще всего теряют баллы. Числа в отношении вроде $2 : 7$ — это части, а не градусы. И найденное значение $x$ не всегда является ответом: перечитай вопрос, возможно, нужно ещё одно действие. Проверить себя легко: смежные обязаны дать ровно $180^{\circ}$ , а все четыре при пересечении прямых — $360^{\circ}$ . Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про параллельные прямые.