Углы: виды и измерение

Стороны — именно лучи, а не отрезки. Значит, они бесконечны, и на чертеже мы видим только их начало. От длины нарисованных сторон величина не зависит: продли обе вдвое — она не изменится.

Как правильно называть угол

Пусть лучи выходят из точки $B$, а на них отмечены точки $A$ и $C$. Тогда запись выглядит так: $\angle ABC$ — по средней букве сразу видно, где вершина.

Крайние буквы можно менять местами: $\angle ABC$ и $\angle CBA$ обозначают одно и то же. А вот сдвинуть букву вершины нельзя: запись $\angle BAC$ означала бы уже другую фигуру, с вершиной в точке $A$.

Иногда достаточно одной буквы — $\angle B$. Так пишут, только если из вершины выходит ровно два луча и спутать не с чем. Если лучей больше, короткая запись становится непонятной, и нужны все три буквы.

Как измеряют углы

Измеряют транспортиром, а единицей служит градус. Обозначают его маленьким кружком: ${90}^{\circ }$.

Полный оборот составляет ${360}^{\circ }$. Школьный транспортир охватывает половину оборота, то есть ${180}^{\circ }$, — этого хватает для любого случая из школьного курса.

Порядок такой: центр транспортира совмещают с вершиной, одну сторону подводят к нулевой отметке, а вторую читают по шкале. Шкал две, и они идут навстречу друг другу. Выбирать нужно ту, что начинается от вашего нуля, — иначе вместо искомой величины получится её дополнение до ${180}^{\circ }$.

Виды углов

По градусной мере углы делят на четыре вида.

Границы стоит запомнить точно: ${90}^{\circ }$ и ${180}^{\circ }$ не относятся ни к острым, ни к тупым — у них свои названия. Значение ${91}^{\circ }$ уже даёт тупой, хотя на глаз он почти неотличим от прямого.

Прямой отмечают на чертеже маленьким квадратиком у вершины. У развёрнутого обе стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны — по сути, это пара дополнительных лучей.

Свойство сложения углов

Если из вершины провести ещё один луч внутри фигуры, он разделит её на две части.

Пусть луч $BD$ проходит внутри $\angle ABC$. Тогда $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$.

Отсюда же следует и обратное действие: если известны целое и одна часть, вторую находят вычитанием.

Важное условие — луч должен проходить внутри. Если он выйдет за стороны, свойство работать перестанет.

Биссектриса

Если $OS$ — биссектриса $\angle ROT$, то $\angle ROS=\angle SOT$.

Дальше всё зависит от того, что дано. Известно целое — половину находят делением на два. Известна половина — целое получают умножением на два. Это место путают чаще всего, поэтому перед вычислением стоит проговорить, что именно стоит в условии.

1. Прочитай условие и сделай чертёж, если его нет в задании.
2. Подпиши на чертеже все известные градусные меры.
3. Найди самую большую фигуру и посмотри, какие лучи делят её на части.
4. Определи, что известно: части или целое. От этого зависит действие.
5. Примени свойство сложения или определение биссектрисы и вычисли неизвестное.
6. Проверь ответ по смыслу. Часть должна быть меньше целого, острый — меньше ${90}^{\circ }$, тупой — больше.

Определение вида угла

Условие

Определи вид каждого угла: $\angle A={27}^{\circ }$, $\angle B={90}^{\circ }$, $\angle C={145}^{\circ }$, $\angle D={180}^{\circ }$.

Сложение частей

Условие

Внутри угла $\angle ABC$ проведён луч $BD$. Найди градусную меру $\angle ABC$, если $\angle ABD={42}^{\circ }$, а $\angle DBC={35}^{\circ }$.

Часть развёрнутого угла

Условие

Развёрнутый угол $\angle MOK$ разделён лучом $OP$ на две части. Найди $\angle POK$, если $\angle MOP={110}^{\circ }$.

Поиск по биссектрисе

Условие

Луч $OS$ — биссектриса угла $\angle ROT$. Найди $\angle ROT$, если $\angle ROS={65}^{\circ }$.

Ставят букву вершины не посередине

Как ошибаются: записывают фигуру с вершиной в точке $A$ как $\angle ABC$.

Как правильно: средняя буква обозначает вершину, поэтому верная запись — $\angle BAC$ или $\angle CAB$. Крайние буквы можно переставлять, среднюю — нет.

Верят рисунку вместо вычислений

Как ошибаются: называют фигуру острой, потому что на чертеже она выглядит небольшой.

Как правильно: вид определяют по градусной мере, а не на глаз. Чертёж в задаче часто схематичен: если по расчётам вышло ${110}^{\circ }$, результат тупой, как бы он ни выглядел.

Читают транспортир по чужой шкале

Как ошибаются: совмещают сторону с нулём одной шкалы, а значение снимают с другой.

Как правильно: отсчёт ведут по той шкале, от нуля которой начали. Проверить себя можно прикидкой: если на вид фигура острая, а транспортир показывает ${130}^{\circ }$, шкала выбрана не та.

Путают действие с биссектрисой

Как ошибаются: делят на два, когда в условии дана половина, или умножают, когда дано целое.

Как правильно: сначала определить, что дано. Дано целое — делим на два. Дана половина — умножаем на два. Быстрая проверка: часть всегда меньше целого.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Градусная мера равна ${91}^{\circ }$. Какой это вид угла?

Задание 2. Внутри угла $\angle DEF$ проведён луч $EK$. Найди $\angle KEF$, если $\angle DEF={100}^{\circ }$, а $\angle DEK={45}^{\circ }$.

Задание 3. Развёрнутый угол разделён лучом на две равные части. Чему равна каждая часть и как называются такие фигуры?

Задание 4. Луч $CM$ — биссектриса угла $\angle BCD$, равного ${84}^{\circ }$. Найди $\angle BCM$.

Задание 5. Как правильно записать угол с вершиной в точке $K$, на сторонах которого лежат точки $P$ и $T$?

Теперь ты умеешь называть углы, определять их вид по градусной мере и находить неизвестные величины через свойство сложения и биссектрису. Про запись помни одно: буква вершины всегда стоит посередине, а крайние можно менять местами.

Виды различают по двум границам — ${90}^{\circ }$ и ${180}^{\circ }$. До первой границы фигуры острые, между границами тупые, а сами значения дают прямой и развёрнутый углы.

В задачах действие подсказывает условие. Известны части — складываем, известны целое и часть — вычитаем, дана биссектриса и целое — делим на два, дана половина — умножаем. Проверять себя проще всего по смыслу: часть не может быть больше целого. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по геометрии и станут основой для темы про смежные и вертикальные углы.