Угол — вторая фигура школьной геометрии после точки, прямой и отрезка, и первая, у которой появляется величина. Величину эту измеряют в градусах, а сама тема почти целиком сводится к двум умениям: правильно назвать фигуру и понять, из каких частей она сложена. Ошибки тоже типовые — букву вершины ставят не посередине, транспортир читают по чужой шкале, а половину умножают там, где нужно делить. Разберём устройство угла, его виды и задачи на градусные меры.
Основная теория
Стороны — именно лучи, а не отрезки. Значит, они бесконечны, и на чертеже мы видим только их начало. От длины нарисованных сторон величина не зависит: продли обе вдвое — она не изменится.
Как правильно называть угол
Пусть лучи выходят из точки $B$, а на них отмечены точки $A$ и $C$. Тогда запись выглядит так: $\angle ABC$ — по средней букве сразу видно, где вершина.
Крайние буквы можно менять местами: $\angle ABC$ и $\angle CBA$ обозначают одно и то же. А вот сдвинуть букву вершины нельзя: запись $\angle BAC$ означала бы уже другую фигуру, с вершиной в точке $A$.
Иногда достаточно одной буквы — $\angle B$. Так пишут, только если из вершины выходит ровно два луча и спутать не с чем. Если лучей больше, короткая запись становится непонятной, и нужны все три буквы.
Как измеряют углы
Измеряют транспортиром, а единицей служит градус. Обозначают его маленьким кружком: $90^\circ$.
Полный оборот составляет $360^\circ$. Школьный транспортир охватывает половину оборота, то есть $180^\circ$, — этого хватает для любого случая из школьного курса.
Порядок такой: центр транспортира совмещают с вершиной, одну сторону подводят к нулевой отметке, а вторую читают по шкале. Шкал две, и они идут навстречу друг другу. Выбирать нужно ту, что начинается от вашего нуля, — иначе вместо искомой величины получится её дополнение до $180^\circ$.
Виды углов
По градусной мере углы делят на четыре вида.
| Вид угла | Градусная мера | Примеры |
|---|---|---|
| Острый | Больше $0^\circ$, меньше $90^\circ$ | $40^\circ$, $70^\circ$, $89^\circ$ |
| Прямой | Ровно $90^\circ$ | $90^\circ$ |
| Тупой | Больше $90^\circ$, меньше $180^\circ$ | $100^\circ$, $130^\circ$, $179^\circ$ |
| Развёрнутый | Ровно $180^\circ$ | $180^\circ$ |
Границы стоит запомнить точно: $90^\circ$ и $180^\circ$ не относятся ни к острым, ни к тупым — у них свои названия. Значение $91^\circ$ уже даёт тупой, хотя на глаз он почти неотличим от прямого.
Прямой отмечают на чертеже маленьким квадратиком у вершины. У развёрнутого обе стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны — по сути, это пара дополнительных лучей.
Свойство сложения углов
Если из вершины провести ещё один луч внутри фигуры, он разделит её на две части.
Пусть луч $BD$ проходит внутри $\angle ABC$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$.
Отсюда же следует и обратное действие: если известны целое и одна часть, вторую находят вычитанием.
Важное условие — луч должен проходить внутри. Если он выйдет за стороны, свойство работать перестанет.
Биссектриса
Если $OS$ — биссектриса $\angle ROT$, то $\angle ROS = \angle SOT$.
Дальше всё зависит от того, что дано. Известно целое — половину находят делением на два. Известна половина — целое получают умножением на два. Это место путают чаще всего, поэтому перед вычислением стоит проговорить, что именно стоит в условии.
Алгоритм решения задач
- Прочитай условие и сделай чертёж, если его нет в задании.
- Подпиши на чертеже все известные градусные меры.
- Найди самую большую фигуру и посмотри, какие лучи делят её на части.
- Определи, что известно: части или целое. От этого зависит действие.
- Примени свойство сложения или определение биссектрисы и вычисли неизвестное.
- Проверь ответ по смыслу. Часть должна быть меньше целого, острый — меньше $90^\circ$, тупой — больше.
Примеры решения задач
Определение вида угла
Условие
Определи вид каждого угла: $\angle A = 27^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 145^\circ$, $\angle D = 180^\circ$.
Шаг 1. Величина $\angle A$ равна $27^\circ$. Это меньше $90^\circ$, значит, он острый.
Рисунок к заданию 1
Шаг 2. Величина $\angle B$ равна ровно $90^\circ$. Такую фигуру называют прямой — она не острая и не тупая.
Шаг 3. Величина $\angle C$ равна $145^\circ$. Это больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$, значит, он тупой.
Шаг 4. Величина $\angle D$ равна $180^\circ$. Стороны лежат на одной прямой, поэтому он развёрнутый.
Ответ: $\angle A$ острый, $\angle B$ прямой, $\angle C$ тупой, $\angle D$ развёрнутый.
Сложение частей
Условие
Внутри угла $\angle ABC$ проведён луч $BD$. Найди градусную меру $\angle ABC$, если $\angle ABD = 42^\circ$, а $\angle DBC = 35^\circ$.
Шаг 1. Разберёмся, что дано. Луч $BD$ проходит внутри и делит фигуру на две части: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Известны обе части, а найти нужно целое.
Рисунок к заданию 2
Шаг 2. Раз известны части, применяем сложение: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$.
Шаг 3. Подставляем значения: $\angle ABC = 42^\circ + 35^\circ = 77^\circ$.
Проверка. Целое должно быть больше каждой части — так и вышло. А $77^\circ$ меньше $90^\circ$, значит, результат острый, что согласуется с двумя острыми частями.
Ответ: $\angle ABC = 77^\circ$.
Часть развёрнутого угла
Условие
Развёрнутый угол $\angle MOK$ разделён лучом $OP$ на две части. Найди $\angle POK$, если $\angle MOP = 110^\circ$.
Шаг 1. Определим целое. Фигура развёрнутая, значит, равна $180^\circ$ — это следует прямо из названия, дополнительных данных не нужно.
Шаг 2. Луч $OP$ делит её на две части: $\angle MOP$ и $\angle POK$. Известны целое и одна часть, поэтому вторую находим вычитанием.
Рисунок к заданию 3
Шаг 3. Считаем: $\angle POK = 180^\circ-110^\circ = 70^\circ$.
Проверка. Сложим части обратно: $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$. Получилось развёрнутое значение, всё сходится.
Ответ: $\angle POK = 70^\circ$.
Поиск по биссектрисе
Условие
Луч $OS$ — биссектриса угла $\angle ROT$. Найди $\angle ROT$, если $\angle ROS = 65^\circ$.
Шаг 1. Разберёмся, что дано. Биссектриса делит фигуру на две равные части, и в условии известна одна из них — $\angle ROS$. Найти нужно целое.
Шаг 2. Раз части равны, вторая половина тоже равна $65^\circ$: $\angle SOT = \angle ROS = 65^\circ$.
Рисунок к заданию 4
Шаг 3. Известна половина, поэтому целое получаем умножением на два: $\angle ROT = 65^\circ \cdot 2 = 130^\circ$.
Проверка. Половина должна быть меньше целого: $65^\circ$ меньше $130^\circ$. Если бы мы ошиблись и разделили, получилось бы $32{,}5^\circ$ — меньше известной части, а такого быть не может.
Ответ: $\angle ROT = 130^\circ$.
Типичные ошибки
Ставят букву вершины не посередине
Как ошибаются: записывают фигуру с вершиной в точке $A$ как $\angle ABC$.
Как правильно: средняя буква обозначает вершину, поэтому верная запись — $\angle BAC$ или $\angle CAB$. Крайние буквы можно переставлять, среднюю — нет.
Верят рисунку вместо вычислений
Как ошибаются: называют фигуру острой, потому что на чертеже она выглядит небольшой.
Как правильно: вид определяют по градусной мере, а не на глаз. Чертёж в задаче часто схематичен: если по расчётам вышло $110^\circ$, результат тупой, как бы он ни выглядел.
Читают транспортир по чужой шкале
Как ошибаются: совмещают сторону с нулём одной шкалы, а значение снимают с другой.
Как правильно: отсчёт ведут по той шкале, от нуля которой начали. Проверить себя можно прикидкой: если на вид фигура острая, а транспортир показывает $130^\circ$, шкала выбрана не та.
Путают действие с биссектрисой
Как ошибаются: делят на два, когда в условии дана половина, или умножают, когда дано целое.
Как правильно: сначала определить, что дано. Дано целое — делим на два. Дана половина — умножаем на два. Быстрая проверка: часть всегда меньше целого.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Градусная мера равна $91^\circ$. Какой это вид угла?
Задание 2. Внутри угла $\angle DEF$ проведён луч $EK$. Найди $\angle KEF$, если $\angle DEF = 100^\circ$, а $\angle DEK = 45^\circ$.
Задание 3. Развёрнутый угол разделён лучом на две равные части. Чему равна каждая часть и как называются такие фигуры?
Задание 4. Луч $CM$ — биссектриса угла $\angle BCD$, равного $84^\circ$. Найди $\angle BCM$.
Задание 5. Как правильно записать угол с вершиной в точке $K$, на сторонах которого лежат точки $P$ и $T$?
Решение к заданию 1. Значение больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Прямым оно не считается: у прямого ровно $90^\circ$.
Ответ: тупой угол.
Решение к заданию 2. Луч $EK$ делит фигуру на части. Известны целое и одна часть, значит, вторую находим вычитанием: $\angle KEF = 100^\circ-45^\circ = 55^\circ$.
Рисунок к заданию 5
Проверка: $45^\circ + 55^\circ = 100^\circ$ — сходится.
Ответ: $\angle KEF = 55^\circ$.
Решение к заданию 3. Развёрнутая мера равна $180^\circ$, части равны между собой, поэтому делим пополам: $180^\circ : 2 = 90^\circ$.
Ответ: каждая часть равна $90^\circ$, это прямые углы.
Решение к заданию 4. Дано целое, а найти нужно половину, поэтому делим на два: $\angle BCM = 84^\circ : 2 = 42^\circ$.
Рисунок к заданию 6
Проверка: половина меньше целого, всё верно.
Ответ: $\angle BCM = 42^\circ$.
Решение к заданию 5. Буква вершины ставится посередине, а крайние буквы можно записать в любом порядке.
Ответ: $\angle PKT$ или $\angle TKP$.
Заключение
Теперь ты умеешь называть углы, определять их вид по градусной мере и находить неизвестные величины через свойство сложения и биссектрису. Про запись помни одно: буква вершины всегда стоит посередине, а крайние можно менять местами.
Виды различают по двум границам — $90^\circ$ и $180^\circ$. До первой границы фигуры острые, между границами тупые, а сами значения дают прямой и развёрнутый углы.
В задачах действие подсказывает условие. Известны части — складываем, известны целое и часть — вычитаем, дана биссектриса и целое — делим на два, дана половина — умножаем. Проверять себя проще всего по смыслу: часть не может быть больше целого. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по геометрии и станут основой для темы про смежные и вертикальные углы.
