Десятичные дроби встречаются в вычислительных заданиях по математике и часто становятся причиной ошибок из-за запятой. Если поставить её не в том месте, верное по действиям решение даст неправильный ответ. Разберём сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей без сложных терминов. После статьи ты сможешь увереннее выполнять вычисления и проверять себя.
Основная теория
Чтобы разобраться в арифметических действиях с десятичными дробями, удобно разделить тему на три блока: сложение и вычитание, умножение, деление.
Правило выравнивания для сложения и вычитания
Если знаков после запятой разное количество, справа можно дописать нули. Значение числа от этого не изменится: $3{,}7 = 3{,}70$.
Подсчёт знаков при умножении
При умножении десятичных дробей сначала можно временно не смотреть на запятые. Умножаем числа как натуральные, а потом возвращаем запятую в ответ.
Например, в выражении $1{,}6 \cdot 1{,}6$ после запятых всего две цифры: одна в первом множителе и одна во втором. Значит, после умножения $16 \cdot 16 = 256$ нужно отделить две цифры справа: $2{,}56$.
При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо. При умножении на $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ — влево.
Удаление запятой при делении
Делить на десятичную дробь неудобно, поэтому делитель сначала превращают в целое число. Для этого запятую в делителе сдвигают вправо до конца. В делимом запятую сдвигают вправо на такое же количество знаков.
Например: $12{,}096 : 2{,}24 = 1209{,}6 : 224$.
Значение частного не меняется, потому что оба числа увеличили в одно и то же количество раз.
Как решать задачи
Рассмотрим три примера: сложение, деление и вычисление выражения с несколькими действиями.
Пример со сложением с разным количеством знаков
Условие
Найдите сумму чисел $3{,}7$ и $2{,}65$.
Шаг 1. Уравняем количество знаков после запятой.
У числа $3{,}7$ один знак после запятой, а у числа $2{,}65$ — два.
Допишем справа ноль: $3{,}7 = 3{,}70$.
Шаг 2. Запишем числа столбиком так, чтобы запятая была под запятой.
Шаг 3. Складываем как обычные числа: $370 + 265 = 635$.
Шаг 4. Ставим запятую в ответе на уровне запятых в исходных числах.
Рисунок к заданию 1
Добавленный ноль помогает не перепутать десятые доли с сотыми.
Ответ: $6{,}35$.
Пример с делением
Условие
Разделите число $12{,}096$ на $2{,}24$.
Шаг 1. Уберём запятую из делителя. В числе $2{,}24$ два знака после запятой, поэтому сдвигаем запятую вправо на две позиции: $2{,}24 \rightarrow 224$.
Шаг 2. То же действие выполняем с делимым: $12{,}096 \rightarrow 1209{,}6$. Получаем новый пример: $1209{,}6 : 224$.
Шаг 3. Делим целую часть. Число 1209 делим на 224. Подходит число 5, потому что $224 \cdot 5 = 1120$. Вычитаем: $1209−1120 = 89$.
Шаг 4. Целая часть делимого закончилась. Перед тем как снести первую цифру после запятой, ставим запятую в частном. Получаем $5,$.
Шаг 5. Сносим цифру 6. Получаем 896. Делим: $896 : 224 = 4$. Деление завершилось без остатка.
Рисунок к заданию 2
Ответ: $5{,}4$.
Пример с выражением из нескольких действий
Арифметические действия с десятичными дробями часто встречаются внутри более сложных задач. Разберём вычисление, похожее на те, которые попадаются в экзаменационных заданиях старших классов: нужно найти разность значений выражения $5t^2$ при разных значениях переменной.
Условие
Найдите значение выражения: $5 \cdot 1{,}6^2−5 \cdot 1{,}5^2$.
Сначала выполняем возведение в степень, затем умножение, затем вычитание.
Шаг 1. Вычислим первый квадрат: $1{,}6^2 = 1{,}6 \cdot 1{,}6$. Умножаем как натуральные числа: $16 \cdot 16 = 256$. В исходных множителях всего два знака после запятой, поэтому отделяем две цифры справа: $1{,}6^2 = 2{,}56$.
Шаг 2. Умножим результат на 5: $2{,}56 \cdot 5$. Сначала считаем без запятой: $256 \cdot 5 = 1280$. Отделяем два знака справа: $12{,}80 = 12{,}8$.
Шаг 3. Вычислим второй квадрат: $1{,}5^2 = 1{,}5 \cdot 1{,}5$. Умножаем: $15 \cdot 15 = 225$. Отделяем два знака справа: $1{,}5^2 = 2{,}25$.
Шаг 4. Умножим на 5: $2{,}25 \cdot 5$. Сначала считаем без запятой: $225 \cdot 5 = 1125$. Отделяем два знака справа: $11{,}25$.
Шаг 5. Выполним вычитание: $12{,}8−11{,}25$. Уравняем количество знаков после запятой: $12{,}80−11{,}25 = 1{,}55$.
Рисунок к заданию 3
Ответ: $1{,}55$.
Типичные ошибки и ловушки
Неправильная запись целого числа под дробью
Ошибка возникает, когда целое число подписывают под дробной частью другого числа.
Например, при сложении 5 и $2{,}3$ нельзя ставить 5 под цифрой 3. У любого целого числа есть невидимая запятая справа: $5 = 5{,}0$.
Значит, складывать нужно так: $5{,}0 + 2{,}3 = 7{,}3$.
Неправильный подсчёт знаков при умножении
Нельзя отделять в ответе только столько знаков, сколько было во втором множителе. Нужно сложить количество цифр после запятой в обоих множителях.
Например: $1{,}25 \cdot 0{,}4$.
В первом числе два знака после запятой, во втором — один. Всего три знака. Значит, после умножения нужно отделить три цифры справа.
Потерянный ноль при делении
При делении столбиком бывает ситуация, когда после сноса цифры полученное число всё ещё меньше делителя. В этом случае в частное нужно записать ноль, а уже потом сносить следующую цифру.
Если пропустить этот ноль, ответ получится в десять раз больше или меньше нужного.
Преждевременная запятая в частном
Запятую в ответе при делении ставят не случайно. Она появляется тогда, когда закончилось деление целой части делимого и нужно переходить к цифрам после запятой.
Самопроверка
Реши тренировочные задания самостоятельно.
Задание 1. Найдите сумму: $3{,}2 + 1{,}04$.
Задание 2. Выполните умножение: $1{,}5 \cdot 0{,}4$.
Задание 3. Разделите: $6{,}3 : 0{,}21$.
Решение к заданию 1. Уравняем знаки после запятой: $3{,}20 + 1{,}04 = 4{,}24$.
Рисунок к заданию 4
Ответ: $4{,}24$.
Решение к заданию 2. Умножаем как натуральные числа: $15 \cdot 4 = 60$. В исходных числах суммарно два знака после запятых. Отделяем два знака справа: $0{,}60 = 0{,}6$.
Рисунок к заданию 5
Ответ: $0{,}6$.
Решение к заданию 3. Избавляемся от запятых. В делителе $0{,}21$ два знака после запятой, поэтому сдвигаем запятую на два знака вправо в обоих числах: $6{,}3 : 0{,}21 = 630 : 21$. Делим: $630 : 21 = 30$.
Рисунок к заданию 6
Ответ: 30.
Задача для общей проверки
Условие
Вычислите значение выражения: $12−(3{,}5 \cdot 2{,}4)$.
Шаг 1. Сначала выполняем умножение: $3{,}5 \cdot 2{,}4$.
Умножаем как натуральные числа: $35 \cdot 24 = 840$.
Шаг 2. В исходных множителях два знака после запятой, поэтому отделяем два знака справа: $840 \rightarrow 8{,}40 = 8{,}4$.
Шаг 3. Теперь выполняем вычитание: $12−8{,}4 = 12{,}0−8{,}4 = 3{,}6$.
Ответ: $3{,}6$.
Заключение
Теперь ты умеешь уверенно складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби. Ты знаешь, как правильно выравнивать разряды, считать знаки после запятой и избавляться от запятой в делителе. Эти навыки пригодятся в вычислительных заданиях по математике и в более сложных задачах старших классов. Чтобы закрепить тему, реши несколько примеров из нашего банка заданий на каждое действие и проверяй ответы прикидкой: результат должен быть разумным по величине.
