Арифметические действия с десятичными дробями: теория и примеры для 5-6 классов

Чтобы разобраться в арифметических действиях с десятичными дробями, удобно разделить тему на три блока: сложение и вычитание, умножение, деление.

Правило выравнивания для сложения и вычитания

Если знаков после запятой разное количество, справа можно дописать нули. Значение числа от этого не изменится: $3,7=3,70$.

Подсчёт знаков при умножении

При умножении десятичных дробей сначала можно временно не смотреть на запятые. Умножаем числа как натуральные, а потом возвращаем запятую в ответ.

Например, в выражении $1,6·1,6$ после запятых всего две цифры: одна в первом множителе и одна во втором. Значит, после умножения $16·16=256$ нужно отделить две цифры справа: $2,56$.

При умножении на $10$, $100$, $1000$ запятая переносится вправо. При умножении на $0,1$, $0,01$, $0,001$ — влево.

Удаление запятой при делении

Делить на десятичную дробь неудобно, поэтому делитель сначала превращают в целое число. Для этого запятую в делителе сдвигают вправо до конца. В делимом запятую сдвигают вправо на такое же количество знаков.

Например: $12,096:2,24=1209,6:224$.

Значение частного не меняется, потому что оба числа увеличили в одно и то же количество раз.

Рассмотрим три примера: сложение, деление и вычисление выражения с несколькими действиями.

Пример со сложением с разным количеством знаков

Условие

Найдите сумму чисел $3,7$ и $2,65$.

Пример с делением

Условие

Разделите число $12,096$ на $2,24$.

Пример с выражением из нескольких действий

Арифметические действия с десятичными дробями часто встречаются внутри более сложных задач. Разберём вычисление, похожее на те, которые попадаются в экзаменационных заданиях старших классов: нужно найти разность значений выражения $5t^2$ при разных значениях переменной.

Условие

Найдите значение выражения: $5·1,6^2-5·1,5^2$.

Неправильная запись целого числа под дробью

Ошибка возникает, когда целое число подписывают под дробной частью другого числа.

Например, при сложении $5$ и $2,3$ нельзя ставить $5$ под цифрой $3$. У любого целого числа есть невидимая запятая справа: $5=5,0$.

Значит, складывать нужно так: $5,0+2,3=7,3$.

Неправильный подсчёт знаков при умножении

Нельзя отделять в ответе только столько знаков, сколько было во втором множителе. Нужно сложить количество цифр после запятой в обоих множителях.

Например: $1,25·0,4$.

В первом числе два знака после запятой, во втором — один. Всего три знака. Значит, после умножения нужно отделить три цифры справа.

Потерянный ноль при делении

При делении столбиком бывает ситуация, когда после сноса цифры полученное число всё ещё меньше делителя. В этом случае в частное нужно записать ноль, а уже потом сносить следующую цифру.

Если пропустить этот ноль, ответ получится в десять раз больше или меньше нужного.

Преждевременная запятая в частном

Запятую в ответе при делении ставят не случайно. Она появляется тогда, когда закончилось деление целой части делимого и нужно переходить к цифрам после запятой.

Реши тренировочные задания самостоятельно.

Задание 1. Найдите сумму: $3,2+1,04$.

Задание 2. Выполните умножение: $1,5·0,4$.

Задание 3. Разделите: $6,3:0,21$.

Условие

Вычислите значение выражения: $12-(3,5·2,4)$.

Теперь ты умеешь уверенно складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби. Ты знаешь, как правильно выравнивать разряды, считать знаки после запятой и избавляться от запятой в делителе. Эти навыки пригодятся в вычислительных заданиях по математике и в более сложных задачах старших классов. Чтобы закрепить тему, реши несколько примеров из нашего банка заданий на каждое действие и проверяй ответы прикидкой: результат должен быть разумным по величине.