С этих четырёх фигур начинается геометрия. По отдельности их редко спрашивают, но без них не прочитать ни один чертёж: любая задача про углы, треугольники или окружности собрана именно из точек, прямых, отрезков и лучей. Путаницы обычно две — фигуры называют не своими именами и переставляют буквы там, где порядок важен. Разберём определения, разницу между фигурами и типичные задачи.
Основная теория
Точка
На чертеже точку ставят лёгким касанием карандаша. Обозначают заглавными латинскими буквами: $A$, $B$, $C$.
Кружок на бумаге всегда чуть больше настоящей точки — это неизбежно, ведь у карандаша есть толщина. Но в геометрии считают, что точка размеров не имеет.
Прямая
На чертеже прямую рисуют отрезком линии, но подразумевают, что она продолжается за края листа.
Обозначают прямую одной строчной латинской буквой — $a$, $b$, $c$. Можно назвать её и по двум точкам, лежащим на ней: прямая $AB$. Здесь порядок букв роли не играет, прямая $AB$ и прямая $BA$ — одно и то же.
Луч
Луч получается, если отметить на прямой точку: она делит прямую на две части, и каждая часть вместе с этой точкой и будет лучом.
Обозначают луч двумя заглавными буквами, и здесь порядок важен. Первая буква всегда обозначает начало. Если начало в точке $O$, а луч проходит через точку $A$, это луч $OA$. Запись $AO$ означала бы уже другой луч — с началом в точке $A$.
Именно такая пара получается, когда точка делит прямую надвое.
Отрезок
Отрезок — единственная из четырёх фигур, у которой есть длина: его можно измерить линейкой. Прямая и луч бесконечны, поэтому их длину измерить нельзя, а точка размеров не имеет вовсе.
Обозначают отрезок двумя заглавными буквами, и порядок здесь свободный: отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — одна и та же фигура.
Чем фигуры отличаются
Всё различие сводится к тому, сколько у фигуры границ.
- Прямая — границ нет, бесконечна в обе стороны.
- Луч — одна граница, бесконечен в одну сторону.
- Отрезок — две границы, конечен и имеет длину.
Как решать задачи с этими фигурами
- Прочитай условие и выпиши, какие фигуры даны и что требуется найти.
- Сделай чертёж по линейке. Особенно важно правильно расположить точки: кто между кем лежит.
- Обозначь точки заглавными латинскими буквами.
- Подпиши на чертеже известные длины.
- Посмотри на чертёж и реши, складывать отрезки или вычитать.
- Запиши решение буквенным выражением, подставь числа и вычисли.
Шаг с чертежом пропускать не стоит. В задачах с тремя точками на прямой именно он показывает, какое действие нужно: если точка лежит между двумя другими, длины складывают, а если требуется найти часть — вычитают.
Разбор задач
Пример с длиной отрезка
Условие
На прямой отмечены три точки: $A$, $B$ и $C$, причём точка $B$ лежит между $A$ и $C$. Известно, что $AB = 4$ см, а $BC = 7$ см. Найди длину отрезка $AC$.
Шаг 1. Чертим прямую и отмечаем точки в порядке из условия: сначала $A$, затем $B$, затем $C$.
Рисунок к заданию 1
Шаг 2. Смотрим на чертёж. Точка $B$ разбивает отрезок $AC$ на две части — $AB$ и $BC$. Значит, длины нужно складывать.
Шаг 3. Записываем выражение: $AC = AB + BC$.
Шаг 4. Подставляем числа: $AC = 4 + 7 = 11$ см.
Проверка. Отрезок $AC$ содержит в себе оба меньших отрезка, поэтому он должен быть длиннее каждого из них. Так и вышло: $11$ больше и $4$, и $7$.
Ответ: $AC = 11$ см.
Пример с вычитанием
Условие
Точка $K$ лежит на отрезке $MN$. Известно, что $MN = 15$ см, а $MK = 6$ см. Найди длину отрезка $KN$.
Шаг 1. Чертим отрезок $MN$ и отмечаем на нём точку $K$. По условию она лежит внутри, между концами.
Рисунок к заданию 2
Шаг 2. Смотрим, что известно. Дан весь отрезок и одна его часть, а найти нужно вторую часть. Значит, здесь работает вычитание.
Шаг 3. Записываем выражение: $KN = MN-MK$.
Шаг 4. Подставляем числа: $KN = 15-6 = 9$ см.
Проверка. Сложим обе части обратно: $6 + 9 = 15$ см. Получился весь отрезок, значит, вычисления верны.
Ответ: $KN = 9$ см.
Пример с количеством лучей
Условие
Сколько лучей образуется, если на прямой отметить две различные точки $A$ и $B$?
Шаг 1. Начертим прямую и отметим на ней две точки.
Шаг 2. Разберёмся с точкой $A$. Она делит прямую надвое, и получаются два луча с началом в $A$: один уходит влево, другой вправо. Это пара дополнительных лучей.
Шаг 3. Теперь точка $B$. Она делит прямую точно так же и даёт ещё два луча с началом в $B$.
Шаг 4. Складываем: $2 + 2 = 4$ луча.
Рисунок к заданию 3
Шаг 5. Убедимся, что все четыре луча разные. У лучей из точки $A$ начало в $A$, у лучей из точки $B$ — в $B$. Точки различны, значит, и лучи различны.
Ответ: $4$ луча.
Пример с названием луча
Условие
Нужно построить луч с началом в точке $M$, проходящий через точку $N$. В тетради записано: «луч $NM$». Правильно ли названа фигура?
Шаг 1. Вспоминаем правило: в названии луча первая буква обозначает его начало.
Шаг 2. По условию начало находится в точке $M$, значит, с этой буквы название и должно начинаться.
Шаг 3. Правильная запись — луч $MN$.
Шаг 4. Разберёмся, что означает запись $NM$. Это тоже луч, но другой: его начало в точке $N$, и направлен он через точку $M$ в противоположную сторону. Кстати, лучи $MN$ и $NM$ — не дополнительные, ведь начала у них разные.
Рисунок к заданию 4
Ответ: фигура названа неправильно, нужно записать «луч $MN$».
Типичные ошибки
Переставляют буквы в названии луча
Как ошибаются: называют один и тот же луч то $MN$, то $NM$, считая записи равнозначными.
Как правильно: для луча порядок букв принципиален — первая всегда обозначает начало. Свободный порядок допустим только у отрезка и прямой: там $AB$ и $BA$ действительно одно и то же.
Пытаются измерить длину прямой или луча
Как ошибаются: прикладывают линейку к нарисованной прямой и записывают её длину.
Как правильно: длина есть только у отрезка. Прямая бесконечна в обе стороны, луч — в одну, поэтому измерить их нельзя. На чертеже мы видим лишь ту часть, которая уместилась на листе.
Считают дополнительными любые лучи из одной точки
Как ошибаются: видят два луча с общим началом и называют их дополнительными.
Как правильно: проверять все три условия сразу: общее начало, одна прямая, противоположные направления. Если лучи выходят из точки под углом, они образуют угол, а не прямую, и дополнительными не являются.
Складывают длины, не разобравшись в чертеже
Как ошибаются: видят в условии два числа и сразу складывают их.
Как правильно: сначала выяснить, какая точка между какими лежит. Если известны части, их складывают. Если известно целое и одна часть, вторую находят вычитанием.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. У какой фигуры есть начало, но нет конца?
Задание 2. Можно ли измерить линейкой длину прямой $a$?
Задание 3. Начерти отрезок $PR$ длиной $10$ см и отметь на нём точку $S$ так, чтобы $PS = 3$ см. Чему равна длина отрезка $SR$?
Задание 4. Точка $O$ лежит на прямой. Сколько пар дополнительных лучей она задаёт?
Задание 5. Отрезок $CD$ равен $12$ см. Точка $E$ лежит на нём так, что $ED = 5$ см. Найди длину отрезка $CE$.
Решение к заданию 1. У прямой нет ни начала, ни конца, у отрезка есть и то и другое. Одна граница только у луча.
Ответ: у луча.
Решение к заданию 2. Прямая продолжается в обе стороны бесконечно, поэтому измерить её невозможно. Линейкой измеряют только отрезки.
Ответ: нельзя.
Решение к заданию 3. Точка $S$ делит отрезок $PR$ на две части: $PS$ и $SR$. Известны целое и одна часть, значит, вторую находим вычитанием: $SR = PR-PS = 10-3 = 7$ см.
Рисунок к заданию 5
Проверка: $3 + 7 = 10$ см — весь отрезок.
Ответ: $SR = 7$ см.
Решение к заданию 4. Точка делит прямую на две части, и эти два луча имеют общее начало, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Все три условия выполнены, но пара такая всего одна.
Рисунок к заданию 6
Ответ: одну пару.
Решение к заданию 5. Здесь известны весь отрезок и его правая часть, а найти нужно левую: $CE = CD-ED = 12-5 = 7$ см.
Рисунок к заданию 7
Проверка: $7 + 5 = 12$ см — сходится.
Ответ: $CE = 7$ см.
Заключение
Теперь ты умеешь различать точку, прямую, луч и отрезок и решать задачи на длины отрезков. Проще всего запомнить их по количеству границ: у прямой границ нет, у луча одна, у отрезка две. Отсюда и всё остальное — измерить линейкой можно только отрезок.
Следи за порядком букв. У отрезка и прямой он свободный, а у луча первая буква всегда обозначает начало: $MN$ и $NM$ — разные фигуры.
И главный совет для задач с длинами: сначала чертёж, потом вычисления. Именно чертёж показывает, какая точка между какими лежит, а значит, складывать длины или вычитать. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по геометрии и станут основой для темы про углы и их измерение.
