Точка, прямая, отрезок и луч

Точка

На чертеже точку ставят лёгким касанием карандаша. Обозначают заглавными латинскими буквами: $A$, $B$, $C$.

Кружок на бумаге всегда чуть больше настоящей точки — это неизбежно, ведь у карандаша есть толщина. Но в геометрии считают, что точка размеров не имеет.

Прямая

На чертеже прямую рисуют отрезком линии, но подразумевают, что она продолжается за края листа.

Обозначают прямую одной строчной латинской буквой — $a$, $b$, $c$. Можно назвать её и по двум точкам, лежащим на ней: прямая $AB$. Здесь порядок букв роли не играет, прямая $AB$ и прямая $BA$ — одно и то же.

Луч

Луч получается, если отметить на прямой точку: она делит прямую на две части, и каждая часть вместе с этой точкой и будет лучом.

Обозначают луч двумя заглавными буквами, и здесь порядок важен. Первая буква всегда обозначает начало. Если начало в точке $O$, а луч проходит через точку $A$, это луч $OA$. Запись $AO$ означала бы уже другой луч — с началом в точке $A$.

Именно такая пара получается, когда точка делит прямую надвое.

Отрезок

Отрезок — единственная из четырёх фигур, у которой есть длина: его можно измерить линейкой. Прямая и луч бесконечны, поэтому их длину измерить нельзя, а точка размеров не имеет вовсе.

Обозначают отрезок двумя заглавными буквами, и порядок здесь свободный: отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — одна и та же фигура.

Чем фигуры отличаются

Всё различие сводится к тому, сколько у фигуры границ.

• Прямая — границ нет, бесконечна в обе стороны.
• Луч — одна граница, бесконечен в одну сторону.
• Отрезок — две границы, конечен и имеет длину.

1. Прочитай условие и выпиши, какие фигуры даны и что требуется найти.
2. Сделай чертёж по линейке. Особенно важно правильно расположить точки: кто между кем лежит.
3. Обозначь точки заглавными латинскими буквами.
4. Подпиши на чертеже известные длины.
5. Посмотри на чертёж и реши, складывать отрезки или вычитать.
6. Запиши решение буквенным выражением, подставь числа и вычисли.

Шаг с чертежом пропускать не стоит. В задачах с тремя точками на прямой именно он показывает, какое действие нужно: если точка лежит между двумя другими, длины складывают, а если требуется найти часть — вычитают.

Пример с длиной отрезка

Условие

На прямой отмечены три точки: $A$, $B$ и $C$, причём точка $B$ лежит между $A$ и $C$. Известно, что $AB=4$ см, а $BC=7$ см. Найди длину отрезка $AC$.

Пример с вычитанием

Условие

Точка $K$ лежит на отрезке $MN$. Известно, что $MN=15$ см, а $MK=6$ см. Найди длину отрезка $KN$.

Пример с количеством лучей

Условие

Сколько лучей образуется, если на прямой отметить две различные точки $A$ и $B$?

Пример с названием луча

Условие

Нужно построить луч с началом в точке $M$, проходящий через точку $N$. В тетради записано: «луч $NM$». Правильно ли названа фигура?

Переставляют буквы в названии луча

Как ошибаются: называют один и тот же луч то $MN$, то $NM$, считая записи равнозначными.

Как правильно: для луча порядок букв принципиален — первая всегда обозначает начало. Свободный порядок допустим только у отрезка и прямой: там $AB$ и $BA$ действительно одно и то же.

Пытаются измерить длину прямой или луча

Как ошибаются: прикладывают линейку к нарисованной прямой и записывают её длину.

Как правильно: длина есть только у отрезка. Прямая бесконечна в обе стороны, луч — в одну, поэтому измерить их нельзя. На чертеже мы видим лишь ту часть, которая уместилась на листе.

Считают дополнительными любые лучи из одной точки

Как ошибаются: видят два луча с общим началом и называют их дополнительными.

Как правильно: проверять все три условия сразу: общее начало, одна прямая, противоположные направления. Если лучи выходят из точки под углом, они образуют угол, а не прямую, и дополнительными не являются.

Складывают длины, не разобравшись в чертеже

Как ошибаются: видят в условии два числа и сразу складывают их.

Как правильно: сначала выяснить, какая точка между какими лежит. Если известны части, их складывают. Если известно целое и одна часть, вторую находят вычитанием.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. У какой фигуры есть начало, но нет конца?

Задание 2. Можно ли измерить линейкой длину прямой $a$?

Задание 3. Начерти отрезок $PR$ длиной $10$ см и отметь на нём точку $S$ так, чтобы $PS=3$ см. Чему равна длина отрезка $SR$?

Задание 4. Точка $O$ лежит на прямой. Сколько пар дополнительных лучей она задаёт?

Задание 5. Отрезок $CD$ равен $12$ см. Точка $E$ лежит на нём так, что $ED=5$ см. Найди длину отрезка $CE$.

Теперь ты умеешь различать точку, прямую, луч и отрезок и решать задачи на длины отрезков. Проще всего запомнить их по количеству границ: у прямой границ нет, у луча одна, у отрезка две. Отсюда и всё остальное — измерить линейкой можно только отрезок.

Следи за порядком букв. У отрезка и прямой он свободный, а у луча первая буква всегда обозначает начало: $MN$ и $NM$ — разные фигуры.

И главный совет для задач с длинами: сначала чертёж, потом вычисления. Именно чертёж показывает, какая точка между какими лежит, а значит, складывать длины или вычитать. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по геометрии и станут основой для темы про углы и их измерение.