Неравенства устроены почти как уравнения: их так же упрощают, переносят слагаемые, делят на коэффициент. Но есть одно отличие, из-за которого теряется больше всего баллов, — при умножении или делении на отрицательное число знак приходится разворачивать. Разберём свойства неравенств, алгоритм решения и ловушки, в которые попадают чаще всего.
Как понять, какое число больше
Сравнение чисел строго определяют через вычитание. Чтобы понять, как соотносятся числа $a$ и $b$, смотрят на их разность.
Этот приём пригодится дальше: именно так доказывают, что одно выражение всегда больше другого.
Сами неравенства делятся на два вида по знаку.
Строгие записывают знаками $>$ и $<$. Они означают «строго больше» и «строго меньше», без варианта равенства: $7 > 3$, $-5 < 1$.
Нестрогие записывают знаками $\ge$ и $\le$. Они читаются как «больше или равно» и «меньше или равно», то есть допускают и равенство: $x \ge 4$, $a \le b$.
Различие важно не только для записи. От него зависит, войдёт ли граничное число в ответ и какая скобка окажется в промежутке.
Главные свойства числовых неравенств
Части можно поменять местами
Если $a > b$, то $b < a$. При перестановке частей знак разворачивается — сравнение остаётся тем же, просто прочитанным с другой стороны.
Например, из $9 > 4$ следует $4 < 9$.
Цепочка сравнений
Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$. Это свойство называют транзитивностью, оно позволяет объединять сравнения.
Например: из $2 < 5$ и $5 < 8$ сразу следует, что $2 < 8$.
Прибавление одного и того же числа
Возьмём $3 < 7$ и прибавим к обеим частям $5$: получим $8 < 12$ — неравенство осталось верным.
Отсюда следует правило переноса. Слагаемое можно перенести из одной части в другую, поменяв его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом не трогают — это ровно то же правило, что и в уравнениях.
Умножение и деление
Здесь и прячется главное отличие неравенств от уравнений.
Проверим оба случая на неравенстве $2 < 6$.
Умножим на $3$: получаем $6 < 18$ — знак прежний, всё верно.
Умножим на $-3$: получаем $-6$ и $-18$. Но $-6$ больше, чем $-18$, поэтому знак приходится развернуть: $-6 > -18$.
Причина видна на координатной прямой: умножение на отрицательное число зеркально отражает числа относительно нуля, и тот, кто был левее, оказывается правее. Особенно внимательным нужно быть с неравенствами вида $-3x < 12$ или $-2x \ge 10$: деление на отрицательный коэффициент — последний шаг, и знак там разворачивается.
Сложение неравенств одного смысла
Например, из $5 < 7$ и $2 < 4$ получаем $7 < 11$.
Одного смысла — значит с одинаково направленными знаками: оба «меньше» либо оба «больше». Разнонаправленные складывать нельзя.
Умножать неравенства тоже можно, но только когда все четыре части положительны: если $0 < a < b$ и $0 < c < d$, то $ac < bd$. Из $2 < 3$ и $4 < 5$ получаем $8 < 15$. Без условия положительности правило ломается: из $-5 < 1$ и $-4 < 1$ следовало бы $20 < 1$, что неверно.
Как решать неравенства пошагово
- Раскрой скобки, если они есть.
- Перенеси слагаемые: с переменной — в одну часть, числа — в другую, меняя знаки при переносе.
- Приведи подобные слагаемые в каждой части.
- Раздели обе части на коэффициент при переменной. Коэффициент положительный — знак сохраняется, отрицательный — разворачивается.
- Запиши ответ неравенством и, если требуется, промежутком.
- Проверь себя. Возьми любое число из ответа и подставь в исходное неравенство — должно получиться верное утверждение.
Подробный разбор задач
Классическое линейное неравенство
Условие
Реши неравенство $3(2x-1) > 4x + 5$.
Шаг 1. Раскрываем скобки, умножая тройку на каждое слагаемое внутри: $6x-3 > 4x + 5$.
Шаг 2. Переносим $4x$ влево, а $-3$ вправо, меняя знаки: $6x-4x > 5 + 3$.
Шаг 3. Приводим подобные слагаемые: $2x > 8$.
Шаг 4. Делим обе части на $2$. Число положительное, поэтому знак остаётся прежним: $x > 4$.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Возьмём из ответа любое число, например $5$, и подставим в исходное неравенство: слева $3(10-1) = 27$, справа $20 + 5 = 25$. Неравенство $27 > 25$ верное.
Ответ: $x > 4$, или $x \in (4; +\infty)$.
Неравенство с отрицательным коэффициентом
Условие
Реши неравенство $5-2(x + 1) < 4x-9$.
Шаг 1. Раскрываем скобки. Перед скобкой стоит минус, поэтому знак меняется у каждого слагаемого внутри: $5-2x-2 < 4x-9$.
Шаг 2. Приводим подобные слагаемые в левой части: $3-2x < 4x-9$.
Шаг 3. Переносим переменные влево, числа вправо: $-2x-4x < -9-3$.
Шаг 4. Приводим подобные: $-6x < -12$.
Шаг 5. Делим обе части на $-6$. Число отрицательное, поэтому знак разворачивается: $x > 2$.
Рисунок к заданию 2
Проверка. Подставим $x = 3$: слева $5-2 \cdot 4 = -3$, справа $12-9 = 3$. Неравенство $-3 < 3$ верное. А число $2$ подходить не должно: при нём обе части равны $-1$, и строгое неравенство не выполняется.
Ответ: $x > 2$, или $x \in (2; +\infty)$.
Доказательство неравенства
Условие
Докажи, что неравенство $2(x-3)-1 < 2x$ верно при любом значении $x$.
Шаг 1. Вспомним определение сравнения через разность: левая часть меньше правой тогда и только тогда, когда их разность отрицательна. Значит, нужно найти эту разность.
Шаг 2. Составляем разность левой и правой частей: $\left(2(x-3)-1\right)-2x$.
Шаг 3. Раскрываем скобки: $2x-6-1-2x$.
Шаг 4. Приводим подобные слагаемые. Слагаемые с переменной взаимно уничтожаются: $2x-2x-6-1 = -7$.
Шаг 5. Разность оказалась постоянным числом $-7$, оно отрицательно при любом $x$. Значит, левая часть всегда меньше правой.
Ответ: неравенство верно при любом значении $x$.
Умножение на отрицательное число
Условие
Известно, что $a < b$. Сравни значения выражений $-5a$ и $-5b$.
Шаг 1. Отталкиваемся от известного неравенства: $a < b$.
Шаг 2. Чтобы получить нужные выражения, умножим обе части на $-5$.
Шаг 3. Множитель отрицательный, поэтому знак неравенства разворачивается: $-5a > -5b$.
Проверка. Подставим конкретные числа, удовлетворяющие условию, например $a = 1$ и $b = 4$. Тогда $-5a = -5$, а $-5b = -20$. Действительно, $-5 > -20$.
Ответ: $-5a > -5b$.
Типичные ошибки
Забывают развернуть знак при делении на отрицательное число
Как ошибаются: из $-3x < 12$ получают $x < -4$.
Как правильно: делим на $-3$ и разворачиваем знак: $x > -4$.
Проверить себя легко подстановкой. Возьмём $x = 0$: неравенство $0 -4$ он входит, а в $x < -4$ — нет. Ошибка обнаружена.
Путают скобки при записи промежутка
Как ошибаются: записывают $x > 4$ как $[4; +\infty)$.
Как правильно: сверять скобку со строгостью знака. Строгий знак — граница не входит в ответ, скобка круглая, точка на прямой выколота: $x > 4$ даёт $(4; +\infty)$. Нестрогий знак — граница входит, скобка квадратная, точка закрашена: $x \le -5$ даёт $(-\infty; -5]$.
Рядом с бесконечностью скобка всегда круглая.
Вычитают неравенства почленно
Как ошибаются: из $a < b$ и $c < d$ делают вывод, что $a-c < b-d$.
Как правильно: складывать неравенства одного смысла можно, а вычитать — нет. Убедиться в этом проще всего на числах. Возьмём $1 < 10$ и $1 < 100$. Сложение работает: $2 < 110$. А вычитание даёт $1-1 = 0$ слева и $10-100 = -90$ справа, то есть утверждение $0 < -90$ — заведомо ложное.
Теряют знак при раскрытии скобок с минусом
Как ошибаются: из $5-2(x + 1)$ получают $5-2x + 2$.
Как правильно: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри: $5-2x-2$. Ошибка в одном знаке уводит весь дальнейший расчёт.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Известно, что $m > n$. Какой знак нужно поставить между выражениями $m + 8$ и $n + 8$?
Задание 2. Реши неравенство $-2x \ge 10$ и запиши ответ промежутком.
Задание 3. Сложи почленно неравенства $5 < 7$ и $x < y$.
Задание 4. Реши неравенство $4(x-2) \le 7x + 1$.
Задание 5. Известно, что $a > b$. Сравни выражения $\dfrac{a}{-2}$ и $\dfrac{b}{-2}$.
Решение к заданию 1. К обеим частям прибавили одно и то же число $8$, а такое действие знак не меняет.
Ответ: $m + 8 > n + 8$.
Решение к заданию 2. Делим обе части на $-2$. Число отрицательное, поэтому знак разворачивается: $x \le -5$.
Знак нестрогий, значит, число $-5$ входит в ответ и скобка при нём квадратная.
Рисунок к заданию 3
Ответ: $x \le -5$, или $x \in (-\infty; -5]$.
Решение к заданию 3. Оба неравенства одного смысла, поэтому складываем левые части с левыми, а правые с правыми.
Ответ: $5 + x < 7 + y$.
Решение к заданию 4. Раскрываем скобки: $4x-8 \le 7x + 1$.
Переносим переменные влево, числа вправо: $4x-7x \le 1 + 8$.
Приводим подобные: $-3x \le 9$.
Делим на $-3$ и разворачиваем знак: $x \ge -3$.
Рисунок к заданию 4
Проверка: подставим $x = 0$. Слева $4 \cdot (-2) = -8$, справа $1$. Неравенство $-8 \le 1$ верное.
Ответ: $x \ge -3$, или $x \in [-3; +\infty)$.
Решение к заданию 5. Деление на $-2$ — это то же самое, что умножение на отрицательное число, поэтому знак разворачивается.
Ответ: $\dfrac{a}{-2} < \dfrac{b}{-2}$.
Заключение
Теперь ты умеешь пользоваться свойствами числовых неравенств, решать линейные неравенства и записывать ответ промежутком. Большинство действий здесь такие же, как в уравнениях: раскрыть скобки, перенести слагаемые со сменой знака, привести подобные, разделить на коэффициент.
Отличие всего одно, но забывать о нём нельзя. Прибавление любого числа и умножение на положительное знак сохраняют. А вот умножение или деление на отрицательное число знак разворачивает — и это касается последнего шага решения, где делят на коэффициент при переменной.
Про запись ответа помни соответствие: строгий знак даёт круглую скобку и выколотую точку, нестрогий — квадратную скобку и закрашенную. И самый быстрый способ себя проверить: взять любое число из полученного ответа и подставить в исходное неравенство. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре и станут основой для решения систем неравенств и квадратных неравенств.
