Неравенства устроены почти как уравнения: их так же упрощают, переносят слагаемые, делят на коэффициент. Но есть одно отличие, из-за которого теряется больше всего баллов, — при умножении или делении на отрицательное число знак приходится разворачивать. Разберём свойства неравенств, алгоритм решения и ловушки, в которые попадают чаще всего.

Как понять, какое число больше

Сравнение чисел строго определяют через вычитание. Чтобы понять, как соотносятся числа $a$ и $b$ , смотрят на их разность.

Этот приём пригодится дальше: именно так доказывают, что одно выражение всегда больше другого.

Сами неравенства делятся на два вида по знаку.

Строгие записывают знаками $>$ и $<$ . Они означают «строго больше» и «строго меньше», без варианта равенства: $7 > 3$ , $- 5 < 1$ .

Нестрогие записывают знаками $\geq$ и $\leq$ . Они читаются как «больше или равно» и «меньше или равно», то есть допускают и равенство: $x \geq 4$ , $a \leq b$ .

Различие важно не только для записи. От него зависит, войдёт ли граничное число в ответ и какая скобка окажется в промежутке.

Главные свойства числовых неравенств

Части можно поменять местами

Если $a > b$ , то $b < a$ . При перестановке частей знак разворачивается — сравнение остаётся тем же, просто прочитанным с другой стороны.

Например, из $9 > 4$ следует $4 < 9$ .

Цепочка сравнений

Если $a < b$ и $b < c$ , то $a < c$ . Это свойство называют транзитивностью, оно позволяет объединять сравнения.

Например: из $2 < 5$ и $5 < 8$ сразу следует, что $2 < 8$ .

Прибавление одного и того же числа

Прибавление числа к обеим частям неравенства без изменения знака.

Возьмём $3 < 7$ и прибавим к обеим частям $5$: получим $8 < 12$ — неравенство осталось верным.

Отсюда следует правило переноса. Слагаемое можно перенести из одной части в другую, поменяв его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом не трогают — это ровно то же правило, что и в уравнениях.

Умножение и деление

Здесь и прячется главное отличие неравенств от уравнений.

Проверим оба случая на неравенстве $2 < 6$ .

Умножим на $3$: получаем $6 < 18$ — знак прежний, всё верно.

Умножим на $- 3$ : получаем $- 6$ и $- 18$ . Но $- 6$ больше, чем $- 18$ , поэтому знак приходится развернуть: $- 6 > - 18$ .

Умножение и деление неравенства с разворотом знака при отрицательном числе.

Причина видна на координатной прямой: умножение на отрицательное число зеркально отражает числа относительно нуля, и тот, кто был левее, оказывается правее. Особенно внимательным нужно быть с неравенствами вида $- 3 x < 12$ или $- 2 x \geq 10$ : деление на отрицательный коэффициент — последний шаг, и знак там разворачивается.

Сложение неравенств одного смысла

Например, из $5 < 7$ и $2 < 4$ получаем $7 < 11$ .

Одного смысла — значит с одинаково направленными знаками: оба «меньше» либо оба «больше». Разнонаправленные складывать нельзя.

Умножать неравенства тоже можно, но только когда все четыре части положительны: если $0 < a < b$ и $0 < c < d$ , то $a c < b d$ . Из $2 < 3$ и $4 < 5$ получаем $8 < 15$ . Без условия положительности правило ломается: из $- 5 < 1$ и $- 4 < 1$ следовало бы $20 < 1$ , что неверно.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Как решать неравенства пошагово

Раскрой скобки, если они есть.
Перенеси слагаемые: с переменной — в одну часть, числа — в другую, меняя знаки при переносе.
Приведи подобные слагаемые в каждой части.
Раздели обе части на коэффициент при переменной. Коэффициент положительный — знак сохраняется, отрицательный — разворачивается.
Запиши ответ неравенством и, если требуется, промежутком.
Проверь себя. Возьми любое число из ответа и подставь в исходное неравенство — должно получиться верное утверждение.

Подробный разбор задач

Классическое линейное неравенство

Условие
Реши неравенство $3 (2 x - 1) > 4 x + 5$ .

Шаг 1. Раскрываем скобки, умножая тройку на каждое слагаемое внутри: $6 x - 3 > 4 x + 5$ .

Шаг 2. Переносим $4 x$ влево, а $- 3$ вправо, меняя знаки: $6 x - 4 x > 5 + 3$ .

Шаг 3. Приводим подобные слагаемые: $2 x > 8$ .

Шаг 4. Делим обе части на $2$. Число положительное, поэтому знак остаётся прежним: $x > 4$ .

Решение линейного неравенства с раскрытием скобок и ответом x больше 4. — Рисунок к заданию 1

Проверка. Возьмём из ответа любое число, например $5$, и подставим в исходное неравенство: слева $3 (10 - 1) = 27$ , справа $20 + 5 = 25$ . Неравенство $27 > 25$ верное.

Ответ: $x > 4$ , или $x \in (4; + \infty)$ .

Неравенство с отрицательным коэффициентом

Условие
Реши неравенство $5 - 2 (x + 1) < 4 x - 9$ .

Шаг 1. Раскрываем скобки. Перед скобкой стоит минус, поэтому знак меняется у каждого слагаемого внутри: $5 - 2 x - 2 < 4 x - 9$ .

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые в левой части: $3 - 2 x < 4 x - 9$ .

Шаг 3. Переносим переменные влево, числа вправо: $- 2 x - 4 x < - 9 - 3$ .

Шаг 4. Приводим подобные: $- 6 x < - 12$ .

Шаг 5. Делим обе части на $- 6$ . Число отрицательное, поэтому знак разворачивается: $x > 2$ .

Неравенство с отрицательным коэффициентом и разворотом знака при делении на минус. — Рисунок к заданию 2

Проверка. Подставим $x = 3$ : слева $5 - 2 \cdot 4 = - 3$ , справа $12 - 9 = 3$ . Неравенство $- 3 < 3$ верное. А число $2$ подходить не должно: при нём обе части равны $- 1$ , и строгое неравенство не выполняется.

Ответ: $x > 2$ , или $x \in (2; + \infty)$ .

Доказательство неравенства

Условие
Докажи, что неравенство $2 (x - 3) - 1 < 2 x$ верно при любом значении $x$ .

Шаг 1. Вспомним определение сравнения через разность: левая часть меньше правой тогда и только тогда, когда их разность отрицательна. Значит, нужно найти эту разность.

Шаг 2. Составляем разность левой и правой частей: $(2 (x - 3) - 1) - 2 x$ .

Шаг 3. Раскрываем скобки: $2 x - 6 - 1 - 2 x$ .

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые. Слагаемые с переменной взаимно уничтожаются: $2 x - 2 x - 6 - 1 = - 7$ .

Шаг 5. Разность оказалась постоянным числом $- 7$ , оно отрицательно при любом $x$ . Значит, левая часть всегда меньше правой.

Ответ: неравенство верно при любом значении $x$ .

Умножение на отрицательное число

Условие
Известно, что $a < b$ . Сравни значения выражений $- 5 a$ и $- 5 b$ .

Шаг 1. Отталкиваемся от известного неравенства: $a < b$ .

Шаг 2. Чтобы получить нужные выражения, умножим обе части на $- 5$ .

Шаг 3. Множитель отрицательный, поэтому знак неравенства разворачивается: $- 5 a > - 5 b$ .

Проверка. Подставим конкретные числа, удовлетворяющие условию, например $a = 1$ и $b = 4$ . Тогда $- 5 a = - 5$ , а $- 5 b = - 20$ . Действительно, $- 5 > - 20$ .

Ответ: $- 5 a > - 5 b$ .

Типичные ошибки

Забывают развернуть знак при делении на отрицательное число

Как ошибаются: из $- 3 x < 12$ получают $x < - 4$ .

Как правильно: делим на $- 3$ и разворачиваем знак: $x > - 4$ .

Проверить себя легко подстановкой. Возьмём $x = 0$ : неравенство $0 -4$ он входит, а в $x < - 4$ — нет. Ошибка обнаружена.

Путают скобки при записи промежутка

Как ошибаются: записывают $x > 4$ как $[4; + \infty)$ .

Как правильно: сверять скобку со строгостью знака. Строгий знак — граница не входит в ответ, скобка круглая, точка на прямой выколота: $x > 4$ даёт $(4; + \infty)$ . Нестрогий знак — граница входит, скобка квадратная, точка закрашена: $x \leq - 5$ даёт $(- \infty; - 5]$ .

Рядом с бесконечностью скобка всегда круглая.

Вычитают неравенства почленно

Как ошибаются: из $a < b$ и $c < d$ делают вывод, что $a - c < b - d$ .

Как правильно: складывать неравенства одного смысла можно, а вычитать — нет. Убедиться в этом проще всего на числах. Возьмём $1 < 10$ и $1 < 100$ . Сложение работает: $2 < 110$ . А вычитание даёт $1 - 1 = 0$ слева и $10 - 100 = - 90$ справа, то есть утверждение $0 < - 90$ — заведомо ложное.

Теряют знак при раскрытии скобок с минусом

Как ошибаются: из $5 - 2 (x + 1)$ получают $5 - 2 x + 2$ .

Как правильно: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри: $5 - 2 x - 2$ . Ошибка в одном знаке уводит весь дальнейший расчёт.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Известно, что $m > n$ . Какой знак нужно поставить между выражениями $m + 8$ и $n + 8$ ?

Задание 2. Реши неравенство $- 2 x \geq 10$ и запиши ответ промежутком.

Задание 3. Сложи почленно неравенства $5 < 7$ и $x < y$ .

Задание 4. Реши неравенство $4 (x - 2) \leq 7 x + 1$ .

Задание 5. Известно, что $a > b$ . Сравни выражения $\frac{a}{- 2}$ и $\frac{b}{- 2}$ .

Решение к заданию 1. К обеим частям прибавили одно и то же число $8$, а такое действие знак не меняет.

Ответ: $m + 8 > n + 8$ .

Решение к заданию 2. Делим обе части на $- 2$ . Число отрицательное, поэтому знак разворачивается: $x \leq - 5$ .

Знак нестрогий, значит, число $- 5$ входит в ответ и скобка при нём квадратная.

Решение неравенства минус 2x больше или равно 10 с ответом x меньше или равно минус 5. — Рисунок к заданию 3

Ответ: $x \leq - 5$ , или $x \in (- \infty; - 5]$ .

Решение к заданию 3. Оба неравенства одного смысла, поэтому складываем левые части с левыми, а правые с правыми.

Ответ: $5 + x < 7 + y$ .

Решение к заданию 4. Раскрываем скобки: $4 x - 8 \leq 7 x + 1$ .

Переносим переменные влево, числа вправо: $4 x - 7 x \leq 1 + 8$ .

Приводим подобные: $- 3 x \leq 9$ .

Делим на $- 3$ и разворачиваем знак: $x \geq - 3$ .

Решение линейного неравенства с делением на минус 3 и ответом x больше или равно минус 3. — Рисунок к заданию 4

Проверка: подставим $x = 0$ . Слева $4 \cdot (- 2) = - 8$ , справа $1$. Неравенство $- 8 \leq 1$ верное.

Ответ: $x \geq - 3$ , или $x \in [- 3; + \infty)$ .

Решение к заданию 5. Деление на $- 2$ — это то же самое, что умножение на отрицательное число, поэтому знак разворачивается.

Ответ: $\frac{a}{- 2} < \frac{b}{- 2}$ .

Заключение

Теперь ты умеешь пользоваться свойствами числовых неравенств, решать линейные неравенства и записывать ответ промежутком. Большинство действий здесь такие же, как в уравнениях: раскрыть скобки, перенести слагаемые со сменой знака, привести подобные, разделить на коэффициент.

Отличие всего одно, но забывать о нём нельзя. Прибавление любого числа и умножение на положительное знак сохраняют. А вот умножение или деление на отрицательное число знак разворачивает — и это касается последнего шага решения, где делят на коэффициент при переменной.

Про запись ответа помни соответствие: строгий знак даёт круглую скобку и выколотую точку, нестрогий — квадратную скобку и закрашенную. И самый быстрый способ себя проверить: взять любое число из полученного ответа и подставить в исходное неравенство. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре и станут основой для решения систем неравенств и квадратных неравенств.