Числовые промежутки: теория и разбор трёх примеров

Подходящих чисел обычно бесконечно много, поэтому выписать их невозможно. Вместо этого закрашивают нужный участок прямой, а концы участка помечают точками — закрашенными или выколотыми, смотря входит край в множество или нет.

Всё многообразие промежутков сводится к нескольким видам. Разница между ними только в одном: какие края входят в множество.

Интервал

Интервал получается из строгих неравенств — со знаками $<$ и $>$. Знак строгий, значит, край до множества «не дотягивает»: на чертеже его помечают пустым кружком. Такую точку называют выколотой.

Запись $(a; b)$ читается так: подходит любое число между $a$ и $b$, но ни $a$, ни $b$ не подходят.

Отрезок

Отрезок получается из нестрогих неравенств — со знаками $\le$ и $\ge$. Знак равенства означает, что край входит в множество, поэтому точку закрашивают.

Полуинтервал

Например, в записи $[a; b)$ число $a$ входит в множество, а $b$ — нет. На чертеже точка $a$ будет закрашенной, а точка $b$ — выколотой. Такое получается, когда в двойном неравенстве знаки разной строгости: $a\le x<b$.

Лучи

Прямая не заканчивается, поэтому промежуток может уходить в бесконечность. Тогда у него остаётся только один край, а вместо второго ставят знак $\infty$.

Знак перед бесконечностью показывает направление: плюс — вправо, минус — влево. И одно правило без исключений: бесконечность никогда не входит в промежуток, потому что это не число, а обозначение бесконечного продолжения прямой. Поэтому рядом с ней всегда стоит круглая скобка.

Чтобы не путаться, действуй по шагам.

1. Посмотри на знак неравенства и определи, строгий он или нет.
2. Начерти координатную прямую и отметь нужные числа по возрастанию слева направо.
3. Поставь точки: пустой кружок при строгом знаке, закрашенную точку при нестрогом.
4. Закрась участок прямой в ту сторону, куда указывает неравенство.
5. Запиши ответ слева направо и подбери скобки под тип каждой точки.

Три связки, которые стоит выучить наизусть:

• строгий знак — выколотая точка — круглая скобка;
• нестрогий знак — закрашенная точка — квадратная скобка;
• бесконечность — всегда круглая скобка.

Посмотрим, как алгоритм работает в типовых заданиях.

Переход от промежутка к неравенству

Условие
Изобрази на координатной прямой промежуток $[-2; 5)$ и запиши его двойным неравенством.

Работа с бесконечностью

Условие
Изобрази множество чисел, для которых верно неравенство $x>3$, и запиши его промежутком.

Поиск конкретных значений

Условие
Найди все целые числа, которые принадлежат промежутку $[-3; 2)$.

Квадратная скобка возле бесконечности

Как ошибаются: записывают промежуток как $[5;+\infty ]$.

Как правильно: $[5;+\infty )$. Квадратная скобка означает «край входит в множество», но бесконечность — не число, войти в множество она не может. Рядом с $-\infty$ и $+\infty$ ставят только круглую скобку.

Точка и скобка не совпадают

Как ошибаются: на чертеже точка закрашена, а в ответе круглая скобка. Или наоборот: кружок пустой, а скобка квадратная.

Как правильно: сверять каждый край по связке. Строгий знак даёт выколотую точку и круглую скобку, нестрогий — закрашенную точку и квадратную. Проверить себя можно подстановкой: подставь граничное число в неравенство и посмотри, выполняется ли оно.

Забывают про пустое множество

Как ошибаются: пишут «нет ответа» или оставляют место пустым, если подходящих чисел не нашлось.

Как правильно: для этого есть свой знак. Например, чисел, которые одновременно меньше $0$ и больше $5$, не существует — ответ записывают так: $\varnothing$.

Меняют порядок чисел в записи

Как ошибаются: записывают промежуток как $(5; 2)$, если в условии числа шли именно в таком порядке.

Как правильно: в записи промежутка меньшее число всегда стоит слева, как и на координатной прямой: $(2; 5)$.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Запиши промежутком неравенство $-1\le x\le 4$.

Задание 2. Запиши промежутком неравенство $x\le -6$.

Задание 3. Выпиши все натуральные числа, которые принадлежат промежутку $(-2; 1]$.

Задание 4. Запиши двойным неравенством промежуток $(0; 8]$.

Теперь ты умеешь различать интервал, отрезок, полуинтервал и луч, изображать промежутки на координатной прямой и переводить их в неравенства и обратно. Всё держится на одном соответствии: строгий знак даёт выколотую точку и круглую скобку, нестрогий — закрашенную точку и квадратную.

Отдельно запомни два правила, на которых спотыкаются чаще всего. Рядом с бесконечностью всегда стоит круглая скобка, потому что бесконечность не число и войти в множество не может. А если подходящих чисел нет вовсе, ответ записывают знаком пустого множества $\varnothing$.

Проверить себя можно подстановкой: подставь граничное число в исходное неравенство. Выполняется — край входит в множество, не выполняется — не входит. Эти навыки нужны при решении любых неравенств и дальше пригодятся при работе с областью определения функций.