Уравнение и его корни: теория и примеры с решением для 7 класса

Прежде чем решать, стоит договориться о словах — иначе легко перепутать, что именно от тебя требуется в задании.

Главные термины

Решить уравнение — значит отыскать все его корни либо показать, что подходящих чисел не существует.

Возьмём уравнение $x+3=8$. Его корень — число $5$: подставим и убедимся, что слева и справа получилось одно и то же.

Линейное уравнение

В седьмом классе почти все задания сводятся к линейным уравнениям с одной переменной.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — известные числа. Число $a$ стоит множителем при переменной и называется коэффициентом, число $b$ — свободный член, он не связан с $x$.

От значений $a$ и $b$ зависит, сколько у такого уравнения корней:

• $a\ne 0$ — ровно один корень. Переменная реально влияет на равенство, поэтому подходит единственное число: $x=-\frac{b}{a}$.
• $a=0$, но $b\ne 0$ — корней нет. Слагаемое с переменной исчезает, и остаётся утверждение $b=0$, которое неверно: какое число ни подставь вместо $x$, равенство не выполнится.
• $a=0$ и $b=0$ — корней бесконечно много. Остаётся $0=0$ — равенство, верное всегда. Значит, подходит любое число.

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если у них совпадают корни.

С уравнением можно делать не всё что угодно — только то, что не меняет его корней. Таких преобразований два:

1. Перенос слагаемого. Слагаемое разрешается перебросить через знак равенства в другую часть уравнения — при условии, что у него сменится знак: плюс станет минусом, минус станет плюсом. Было $x+7=10$ — стало $x=10-7$.
2. Умножение или деление обеих частей. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля. Именно так на последнем шаге избавляются от коэффициента при переменной.

После каждого такого преобразования получается новое уравнение, но корни у него те же самые. Шаг за шагом уравнение упрощается, пока не примет вид «$x$ равен числу».

Для базовых уравнений работает один и тот же порядок действий.

1. Раскрой скобки, если они есть.
2. Собери слагаемые с переменной в одной части уравнения, а числа — в другой.
3. У каждого слагаемого, которое перешло через знак равенства, поменяй знак.
4. Приведи подобные слагаемые.
5. Раздели обе части на коэффициент при переменной.
6. Подставь найденное число в исходное уравнение и убедись, что равенство верное.

Последний пункт пропускать не стоит: именно он ловит ошибку в знаке, которую глазами не заметить.

Ниже четыре примера. Первый показывает базовый порядок действий, второй добавляет скобки и дробный ответ, третий — случай, когда корней бесконечно много, четвертый, когда корней нет.

Классическое линейное уравнение

Условие

Найди корень уравнения: $4x+7=3x-5$.

Уравнение со скобками

Условие

Реши уравнение: $2(x-3)=5(x+2)$.

Уравнение с бесконечным множеством решений

Условие

Реши уравнение: $3(x-2)+2x=5x-6$.

Уравнение без корней

Условие

Реши уравнение: $2(x+4)=2x+5$.

Даже короткое уравнение легко решить неправильно, если торопиться со знаками.

Ошибка при переносе через знак равенства

Нельзя перенести слагаемое в другую часть и оставить ему прежний знак.

Возьмём уравнение $4x+7=3x-5$.

Переносим $3x$ влево — оно превращается в $-3x$: $4x-3x=-5-7$.

С числами так же: $+7$ при переходе вправо становится $-7$.

Ошибка при финальном делении

Допустим, получилось $5x=2$. Делить нужно правую часть на коэффициент, который стоит при $x$: $x=\frac{2}{5}$.

Ответ $x=\frac{5}{2}$ означает, что дробь перевернули, — это неверно.

Ошибка при раскрытии скобок с минусом

Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого внутри, а не только у первого.

Неверно: $-(2x-4)=-2x-4$.

Верно: $-(2x-4)=-2x+4$.

Отсутствие проверки

Подстановка отнимает меньше минуты, а находит почти любую ошибку. Достаточно подставить найденное число в исходное уравнение и посчитать левую и правую части по отдельности: если они совпали, решение верное.

Реши задания сам, а потом сверься с разбором.

Задание 1. Найди значение переменной: $7x-4=3x+12$.

Задание 2. Раскрой скобки и найди корень: $4(x+1)=2x-8$.

Задание 3. Реши уравнение: $2(3x-4)-5(x+1)=x-13$.

Теперь ты умеешь решать линейные уравнения: раскрывать скобки, переносить слагаемые из одной части в другую, приводить подобные и делить на коэффициент при переменной. А ещё различать четыре исхода: один корень, ни одного, бесконечно много или корней нет. Если после всех преобразований получилось $0=0$, подходит любое число; если получилось неверное числовое равенство, корней нет.

Главный источник ошибок в этой теме — знаки. Слагаемое, перешедшее через знак равенства, меняет знак на противоположный. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри. А при финальном делении на коэффициент легко перевернуть дробь: из $5x=2$ следует $x=\frac{2}{5}$, а не наоборот.

Проверка подстановкой занимает меньше минуты и ловит почти любую из этих ошибок — не пропускай её. Навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре в седьмом классе и станут основой для систем уравнений и текстовых задач.