Основное свойство дроби: сокращение и приведение пошагово

Дробь — это запись части целого. И у одной и той же части может быть много разных записей: половину пиццы можно назвать и $\frac{1}{2}$, и $\frac{2}{4}$, и $\frac{50}{100}$ — куска от этого больше или меньше не станет.

Записать свойство можно двумя формулами.

Через умножение: $\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}$.

Через деление: $\frac{a}{b}=\frac{a:c}{b:c}$.

Буквой $a$ обозначен числитель, буквой $b$ — знаменатель, буквой $c$ — то число, на которое умножают или делят обе части дроби. Знаменатель $b$ не может быть нулём, число $c$ — тоже. И ещё одно условие для деления: и числитель, и знаменатель должны делиться на $c$ нацело, иначе получится дробь внутри дроби.

Возьмём дробь $\frac{16}{24}$. Оба числа делятся на $8$, поэтому разделим на восьмёрку и числитель, и знаменатель: $\frac{16}{24}=\frac{16:8}{24:8}=\frac{2}{3}$.

Смысл сокращения простой: чем меньше числа в дроби, тем удобнее с ней работать дальше. Если у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме единицы, дробь называют несократимой. Именно до такого вида и доводят ответ.

Например, дробь $\frac{3}{5}$ нужно записать со знаменателем $35$. Умножим обе части дроби на $7$: $\frac{3}{5}=\frac{3·7}{5·7}=\frac{21}{35}$.

Число, на которое умножают числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Здесь он равен $7$, потому что $35:5=7$ — во столько раз новый знаменатель больше старого.

Как сокращать дробь

1. Найди число, на которое делятся и числитель, и знаменатель.
2. Раздели на него обе части дроби.
3. Посмотри на результат: если у новых чисел снова есть общий делитель, сократи ещё раз.

Удобнее сразу брать наибольший общий делитель — тогда дробь станет несократимой с первой попытки, без промежуточных шагов.

Как приводить дробь к заданному знаменателю

1. Сравни знаменатели: тот, что есть сейчас, и тот, к которому нужно прийти.
2. Раздели новый знаменатель на старый — получится дополнительный множитель.
3. Умножь на этот множитель и числитель, и знаменатель исходной дроби.

Способ сработает только тогда, когда новый знаменатель делится на старый нацело.

Сокращение дроби до несократимого вида

Условие

Сократи дробь $\frac{16}{24}$.

Приведение дроби к новому знаменателю

Условие

Приведи дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю $35$.

Проверка равенства дробей

Условие

Проверь, равны ли дроби $\frac{15}{20}$ и $\frac{3}{4}$.

Прибавление вместо умножения

Основное свойство работает только с умножением и делением. Прибавить одно и то же число к числителю и знаменателю нельзя — дробь изменится.

Так делать нельзя: $\frac{1}{2}=\frac{1+2}{2+2}=\frac{3}{4}$.

Здесь получились два разных числа: $\frac{1}{2}$ — это половина, а $\frac{3}{4}$ — три четверти.

А вот умножение обеих частей на $2$ даёт равную дробь: $\frac{1}{2}=\frac{1·2}{2·2}=\frac{2}{4}$.

Изменение только одной части дроби

Умножать и делить нужно и числитель, и знаменатель. Если тронуть только одно из чисел, значение дроби изменится.

Например, при приведении $\frac{3}{5}$ к знаменателю $35$ нельзя умножить один знаменатель: $\frac{3}{5}\ne \frac{3}{35}$.

Умножаем обе части: $\frac{3}{5}=\frac{3·7}{5·7}=\frac{21}{35}$.

Остановка на полпути при сокращении

Сокращать нужно до конца, пока у чисел не останется общих делителей.

Допустим, дробь $\frac{12}{24}$ сократили на $2$: $\frac{12}{24}=\frac{6}{12}$.

Это ещё не ответ — числа $6$ и $12$ делятся на $6$. Сокращаем дальше: $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Можно было прийти к тому же результату за один шаг, если сразу разделить на наибольший общий делитель $12$: $\frac{12}{24}=\frac{12:12}{24:12}=\frac{1}{2}$.

Правильный ответ: $\frac{1}{2}$.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Сократи дробь $\frac{14}{21}$.

Задание 2. Приведи дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателю $28$.

Задание 3. Доведи дробь $\frac{50}{100}$ до несократимого вида.

Задание 4. Сумма числителя и знаменателя дроби равна $25$. После сокращения получилась дробь $\frac{2}{3}$. Найди исходную дробь.

Теперь ты умеешь сокращать дроби до несократимого вида, приводить их к заданному знаменателю и проверять, равны ли две дроби. В основе всех трёх умений лежит одно правило: если числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, дробь останется прежней по значению, хотя её запись изменится.

Сокращение делает числа меньше, поэтому дальнейшие вычисления идут проще. Приведение к новому знаменателю, наоборот, укрупняет запись — оно нужно, когда дроби предстоит сравнить, сложить или вычесть. Главное помнить: менять можно только обе части дроби сразу, и только умножением или делением. Прибавление к числителю и знаменателю одного и того же числа даёт совсем другую дробь.

Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе, а позже станут основой для действий с рациональными числами и буквенными выражениями. Перед тем как записать ответ, всегда проверяй, нельзя ли сократить дробь ещё раз.