Одно короткое правило лежит в основе трёх умений сразу: сокращать дроби, приводить их к нужному знаменателю и определять, равны ли две дроби между собой. Тему проходят в 5–6 классах, но без неё потом не обойтись нигде — ни в пропорциях, ни в действиях с рациональными числами, ни в буквенных выражениях. Разберём правило на понятных примерах и отдельно посмотрим, где школьники ошибаются чаще всего.
Основное свойство дроби
Дробь — это запись части целого. И у одной и той же части может быть много разных записей: половину пиццы можно назвать и $\frac{1}{2}$, и $\frac{2}{4}$, и $\frac{50}{100}$ — куска от этого больше или меньше не станет.
Записать свойство можно двумя формулами.
Через умножение: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$.
Через деление: $\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$.
Буквой $a$ обозначен числитель, буквой $b$ — знаменатель, буквой $c$ — то число, на которое умножают или делят обе части дроби. Знаменатель $b$ не может быть нулём, число $c$ — тоже. И ещё одно условие для деления: и числитель, и знаменатель должны делиться на $c$ нацело, иначе получится дробь внутри дроби.
Сокращение дроби
Возьмём дробь $\frac{16}{24}$. Оба числа делятся на $8$, поэтому разделим на восьмёрку и числитель, и знаменатель: $\frac{16}{24} = \frac{16 : 8}{24 : 8} = \frac{2}{3}$.
Смысл сокращения простой: чем меньше числа в дроби, тем удобнее с ней работать дальше. Если у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме единицы, дробь называют несократимой. Именно до такого вида и доводят ответ.
Приведение дроби к новому знаменателю
Например, дробь $\frac{3}{5}$ нужно записать со знаменателем $35$. Умножим обе части дроби на $7$: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$.
Число, на которое умножают числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Здесь он равен $7$, потому что $35 : 5 = 7$ — во столько раз новый знаменатель больше старого.
Универсальный алгоритм
Как сокращать дробь
- Найди число, на которое делятся и числитель, и знаменатель.
- Раздели на него обе части дроби.
- Посмотри на результат: если у новых чисел снова есть общий делитель, сократи ещё раз.
Удобнее сразу брать наибольший общий делитель — тогда дробь станет несократимой с первой попытки, без промежуточных шагов.
Как приводить дробь к заданному знаменателю
- Сравни знаменатели: тот, что есть сейчас, и тот, к которому нужно прийти.
- Раздели новый знаменатель на старый — получится дополнительный множитель.
- Умножь на этот множитель и числитель, и знаменатель исходной дроби.
Способ сработает только тогда, когда новый знаменатель делится на старый нацело.
Подробный разбор примеров
Сокращение дроби до несократимого вида
Условие
Сократи дробь $\frac{16}{24}$.
Шаг 1. Ищем наибольший общий делитель чисел $16$ и $24$. Оба делятся на $2$, на $4$ и на $8$; самый крупный из общих делителей — $8$.
Шаг 2. Делим на $8$ обе части дроби: $\frac{16}{24} = \frac{16 : 8}{24 : 8}$.
Шаг 3. Считаем:
$16 : 8 = 2$,
$24 : 8 = 3$.
Получаем: $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
Шаг 4. Проверяем, можно ли сократить ещё. У чисел $2$ и $3$ общих делителей, кроме единицы, нет — дробь несократима.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Приведение дроби к новому знаменателю
Условие
Приведи дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю $35$.
Шаг 1. Выясняем, во сколько раз новый знаменатель больше старого: $35 : 5 = 7$. Это и есть дополнительный множитель.
Шаг 2. Умножаем на семёрку обе части дроби: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7}$.
Шаг 3. Считаем:
$3 \cdot 7 = 21$,
$5 \cdot 7 = 35$.
Получаем: $\frac{3}{5} = \frac{21}{35}$.
Шаг 4. Проверяем себя: знаменатель стал таким, как требовалось, а если новую дробь сократить на $7$, вернётся исходная $\frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{21}{35}$.
Проверка равенства дробей
Условие
Проверь, равны ли дроби $\frac{15}{20}$ и $\frac{3}{4}$.
Шаг 1. Чтобы сравнить записи, приведём их к одному виду. Проще всего сократить первую дробь: числа $15$ и $20$ делятся на $5$.
Шаг 2. Делим обе части на $5$: $\frac{15}{20} = \frac{15 : 5}{20 : 5}$.
Шаг 3. Считаем:
$15 : 5 = 3$,
$20 : 5 = 4$.
Получаем: $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
Шаг 4. Сравниваем результат со второй дробью. Записи совпали полностью, значит, перед нами одно и то же число, записанное двумя способами.
Ответ: дроби $\frac{15}{20}$ и $\frac{3}{4}$ равны.
Типичные ошибки и ловушки
Прибавление вместо умножения
Основное свойство работает только с умножением и делением. Прибавить одно и то же число к числителю и знаменателю нельзя — дробь изменится.
Так делать нельзя: $\frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.
Здесь получились два разных числа: $\frac{1}{2}$ — это половина, а $\frac{3}{4}$ — три четверти.
А вот умножение обеих частей на $2$ даёт равную дробь: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$.
Изменение только одной части дроби
Умножать и делить нужно и числитель, и знаменатель. Если тронуть только одно из чисел, значение дроби изменится.
Например, при приведении $\frac{3}{5}$ к знаменателю $35$ нельзя умножить один знаменатель: $\frac{3}{5} \ne \frac{3}{35}$.
Умножаем обе части: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$.
Остановка на полпути при сокращении
Сокращать нужно до конца, пока у чисел не останется общих делителей.
Допустим, дробь $\frac{12}{24}$ сократили на $2$: $\frac{12}{24} = \frac{6}{12}$.
Это ещё не ответ — числа $6$ и $12$ делятся на $6$. Сокращаем дальше: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Можно было прийти к тому же результату за один шаг, если сразу разделить на наибольший общий делитель $12$: $\frac{12}{24} = \frac{12 : 12}{24 : 12} = \frac{1}{2}$.
Правильный ответ: $\frac{1}{2}$.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Сократи дробь $\frac{14}{21}$.
Задание 2. Приведи дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателю $28$.
Задание 3. Доведи дробь $\frac{50}{100}$ до несократимого вида.
Задание 4. Сумма числителя и знаменателя дроби равна $25$. После сокращения получилась дробь $\frac{2}{3}$. Найди исходную дробь.
Решение к заданию 1. Наибольший общий делитель чисел $14$ и $21$ равен $7$: $\frac{14}{21} = \frac{14 : 7}{21 : 7} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Решение к заданию 2. Дополнительный множитель равен $4$, потому что $28 : 7 = 4$. Умножаем обе части дроби: $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{8}{28}$.
Ответ: $\frac{8}{28}$.
Решение к заданию 3. Числа $50$ и $100$ делятся на $50$: $\frac{50}{100} = \frac{50 : 50}{100 : 50} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
Решение к заданию 4. Раз после сокращения вышло $\frac{2}{3}$, значит, исходную дробь получили из неё умножением обеих частей на какое-то число. Обозначим это число буквой $c$, тогда исходная дробь выглядела так: $\frac{2 \cdot c}{3 \cdot c}$.
По условию числитель и знаменатель в сумме дают $25$: $2 \cdot c + 3 \cdot c = 25$.
Складываем подобные слагаемые и находим $c$:
$5 \cdot c = 25$,
$c = 25 : 5 = 5$.
Умножаем обе части дроби $\frac{2}{3}$ на $5$: $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$.
Проверяем: $10 + 15 = 25$, а при сокращении на $5$ снова получается $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{15}$.
Заключение
Теперь ты умеешь сокращать дроби до несократимого вида, приводить их к заданному знаменателю и проверять, равны ли две дроби. В основе всех трёх умений лежит одно правило: если числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, дробь останется прежней по значению, хотя её запись изменится.
Сокращение делает числа меньше, поэтому дальнейшие вычисления идут проще. Приведение к новому знаменателю, наоборот, укрупняет запись — оно нужно, когда дроби предстоит сравнить, сложить или вычесть. Главное помнить: менять можно только обе части дроби сразу, и только умножением или делением. Прибавление к числителю и знаменателю одного и того же числа даёт совсем другую дробь.
Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе, а позже станут основой для действий с рациональными числами и буквенными выражениями. Перед тем как записать ответ, всегда проверяй, нельзя ли сократить дробь ещё раз.
