Главная
100балльный учебник
Математика
Теорема Виета: теория и практика для 8 класса

Теорема Виета: теория и практика для 8 класса

1.7К 158 ~11 мин

Обновлено 17.08.2026

Средняя школа
8 класс

Дарья Максимова

Методист «100балльного репетитора» по математике

Теорема Виета помогает быстро находить корни квадратных уравнений без длинного вычисления дискриминанта. Метод особенно полезен, когда уравнение приведённое и корни легко подобрать устно. Разберём правило, алгоритм решения, примеры и типичные ошибки.

Теория

Корень квадратного уравнения

Например, число $3$ является корнем уравнения $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ , потому что: $3^{2} - 8 \cdot 3 + 15 = 9 - 24 + 15 = 0$ .

Приведённое квадратное уравнение

Общий вид такого уравнения: $x^{2} + p x + q = 0$ .

Здесь:

$p$ — коэффициент перед $x$ ;
$q$ — свободный член.

Например, уравнение $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ приведённое, потому что перед $x^{2}$ стоит единица.

Уравнение $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ не приведённое. Перед применением теоремы Виета его нужно разделить на $3$.

Теорема Виета

Для приведённого квадратного уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ с корнями $x_{1}$ и $x_{2}$ выполняются равенства:

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q

То есть сумма корней равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$ .

Например, для уравнения $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ получаем:

x_{1} + x_{2} = 8, x_{1} \cdot x_{2} = 15

Нужно найти два числа, которые в сумме дают $8$, а при умножении дают $15$. Это числа $3$ и $5$.

Верно и обратное: если два числа в сумме дают $- p$ , а в произведении $q$ , то они являются корнями уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Как выбирать знаки корней

Подбор корней удобнее начинать с произведения.

Если $q > 0$ , произведение корней положительное. Значит, корни имеют одинаковые знаки:
если $p < 0$ , то $- p > 0$ , сумма корней положительная, поэтому оба корня положительные;
если $p > 0$ , то $- p < 0$ , сумма корней отрицательная, поэтому оба корня отрицательные.
Если $q < 0$ , произведение корней отрицательное. Значит, корни имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный.

Правило работает, если у уравнения есть действительные корни. Если дискриминант отрицательный, подбирать нечего.

В этом случае большее по модулю число получает знак суммы, то есть знак выражения $- p$ .

Пример: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ .

Здесь:

x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} \cdot x_{2} = - 10

Произведение отрицательное, значит, знаки разные. Подходят числа $5$ и $- 2$ , потому что:

5 + (- 2) = 3, 5 \cdot (- 2) = - 10

Когда метод не сработает

Теорема Виета применима, если у уравнения есть корни. В школьных задачах обычно подбирают целые корни, но иногда подбор не нужен, потому что действительных корней нет.

Быстрая проверка — дискриминант. Если $D < 0$ , действительных корней нет.

Например: $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ .

Дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = - 36$ .

Так как $D < 0$ , уравнение не имеет действительных корней. Подбирать числа бессмысленно.

Алгоритм решения по теореме Виета

Чтобы не ошибаться со знаками, действуй по шагам.

Проверь, что перед $x^{2}$ стоит единица.
Запиши сумму корней: $x_{1} + x_{2} = - p$ .
Запиши произведение корней: $x_{1} \cdot x_{2} = q$ .
Подбери пары чисел, произведение которых равно $q$ .
Выбери пару, сумма которой равна $- p$ .
Запиши ответ и проверь подстановкой, если есть сомнения.

Примеры решений

Базовый поиск корней

Условие

Реши уравнение $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ .

Шаг 1. Перед нами приведённое квадратное уравнение: коэффициент перед $x^{2}$ равен $1$.

По теореме Виета:

$x_{1} + x_{2} = 8$ ,
$x_{1} \cdot x_{2} = 15$ .

Произведение положительное, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма положительная, поэтому оба корня положительные.

Шаг 2. Подбираем множители числа $15$:

$1$ и $15$: сумма равна $16$, не подходит;
$3$ и $5$: сумма равна $8$, подходит.

Значит, корни уравнения — $3$ и $5$.

Шаг 3. Проверка. Подставим $x = 3$ : $9 - 24 + 15 = 0$ — верно. Подставим $x = 5$ : $25 - 40 + 15 = 0$ — верно.

Ответ: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 5$ .

Поиск коэффициента

Условие

Один из корней уравнения $x^{2} - 13 x + q = 0$ равен $5$. Найди второй корень и свободный член $q$ .

Шаг 1. По теореме Виета сумма корней равна $13$: $x_{1} + x_{2} = 13$ .

Один корень известен: $x_{1} = 5$ .

Подставим его в формулу суммы: $5 + x_{2} = 13$ .

Шаг 2. Найдём второй корень: $x_{2} = 13 - 5 = 8$ .

Шаг 3. Теперь найдём свободный член. По теореме Виета произведение корней равно $q$ : $q = x_{1} \cdot x_{2}$ .

Подставим значения: $q = 5 \cdot 8 = 40$ .

Ответ: второй корень равен $8$, $q = 40$ .

Задача с прикладной формулой

Условие

Температура прибора вычисляется по формуле $T = - t^{2} + 13 t + 25$ , где $t$ — время в минутах. Нужно найти, в какие моменты времени температура $T$ равна $65$ °C.

Шаг 1. Подставим значение температуры в формулу: $65 = - t^{2} + 13 t + 25$ .

Перенесём все слагаемые в одну сторону: $t^{2} - 13 t + 40 = 0$ .

Получили приведённое квадратное уравнение.

Шаг 2. По теореме Виета:

$t_{1} + t_{2} = 13$ ,
$t_{1} \cdot t_{2} = 40$ .

Произведение положительное, сумма положительная, значит, оба корня положительные.

Шаг 3. Подбираем множители числа $40$:

$4$ и $10$: сумма равна $14$, не подходит;
$5$ и $8$: сумма равна $13$, подходит.

Значит, температура равна $65$ °C через $5$ минут и через $8$ минут. Оба корня подходят по смыслу задачи: сначала прибор нагревается и проходит отметку $65$ °C на пятой минуте, затем остывает и опускается до неё же на восьмой.

Ответ: $t_{1} = 5$ , $t_{2} = 8$ .

Типичные ошибки

Игнорировать старший коэффициент

Нельзя сразу применять правило к уравнению $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ , потому что оно не приведённое.

Сначала нужно разделить все слагаемые на $3$: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .

Теперь можно применять теорему Виета:

x_{1} + x_{2} = 4, x_{1} \cdot x_{2} = 3

Подходят корни $1$ и $3$.

Забывать минус в сумме корней

Для уравнения $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ нельзя записывать сумму корней как $5$.

По теореме Виета:

x_{1} + x_{2} = - 5, x_{1} \cdot x_{2} = 6

Подходят корни $- 2$ и $- 3$ .

Подбирать корни, когда их нет

Уравнение $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ не имеет действительных корней, потому что: $D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = - 36$ .

Если дискриминант отрицательный, подбор не даст ответа.

Проверь себя

Реши два уравнения.

Задание 1. $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ .

Задание 2. $x^{2} - x - 12 = 0$ .

Решение к заданию 1. Для первого уравнения нужно найти числа, произведение которых равно $8$, а сумма равна $- 6$ . Произведение положительное, сумма отрицательная, значит, оба числа отрицательные. Подходит пара $- 2$ и $- 4$ .

Ответ: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 4$ .

Решение к заданию 2. Для второго уравнения нужно найти числа, произведение которых равно $- 12$ , а сумма равна $1$. Произведение отрицательное, значит, знаки разные. Подходит пара $4$ и $- 3$ .

Ответ: $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 3$ .

Заключение

Теперь ты умеешь находить корни приведённого квадратного уравнения по сумме и произведению, определять их знаки до подбора и восстанавливать неизвестный коэффициент по известному корню. Перед применением метода всегда проверяй, что коэффициент перед $x^{2}$ равен единице: если нет, раздели на него все слагаемые.

Запомни два равенства: сумма корней равна $- p$ , а произведение равно $q$ . Подбор начинай с множителей свободного члена и только потом проверяй сумму — так вариантов перебирать меньше. Если произведение отрицательное, знаки корней разные; если положительное, знаки одинаковые и совпадают со знаком суммы.

Эти навыки пригодятся на контрольных и самостоятельных работах по алгебре, где нужно быстро решать квадратные уравнения без вычисления дискриминанта.

Понравилась статья?