Теорема Виета помогает быстро находить корни квадратных уравнений без длинного вычисления дискриминанта. Метод особенно полезен, когда уравнение приведённое и корни легко подобрать устно. Разберём правило, алгоритм решения, примеры и типичные ошибки.
Теория
Корень квадратного уравнения
Например, число $3$ является корнем уравнения $x^2-8x + 15 = 0$, потому что: $3^2-8 \cdot 3 + 15 = 9-24 + 15 = 0$.
Приведённое квадратное уравнение
Общий вид такого уравнения: $x^2 + px + q = 0$.
Здесь:
- $p$ — коэффициент перед $x$;
- $q$ — свободный член.
Например, уравнение $x^2-8x + 15 = 0$ приведённое, потому что перед $x^2$ стоит единица.
Уравнение $3x^2-12x + 9 = 0$ не приведённое. Перед применением теоремы Виета его нужно разделить на $3$.
Теорема Виета
Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства:
То есть сумма корней равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.
Например, для уравнения $x^2-8x + 15 = 0$ получаем:
Нужно найти два числа, которые в сумме дают $8$, а при умножении дают $15$. Это числа $3$ и $5$.
Верно и обратное: если два числа в сумме дают $-p$, а в произведении $q$, то они являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Как выбирать знаки корней
Подбор корней удобнее начинать с произведения.
Если $q > 0$, произведение корней положительное. Значит, корни имеют одинаковые знаки:
- если $p < 0$, то $-p > 0$, сумма корней положительная, поэтому оба корня положительные;
- если $p > 0$, то $-p < 0$, сумма корней отрицательная, поэтому оба корня отрицательные.
Если $q < 0$, произведение корней отрицательное. Значит, корни имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный.
Правило работает, если у уравнения есть действительные корни. Если дискриминант отрицательный, подбирать нечего.
В этом случае большее по модулю число получает знак суммы, то есть знак выражения $-p$.
Пример: $x^2-3x-10 = 0$.
Здесь:
Произведение отрицательное, значит, знаки разные. Подходят числа $5$ и $-2$, потому что:
Когда метод не сработает
Теорема Виета применима, если у уравнения есть корни. В школьных задачах обычно подбирают целые корни, но иногда подбор не нужен, потому что действительных корней нет.
Быстрая проверка — дискриминант. Если $D < 0$, действительных корней нет.
Например: $x^2 + 2x + 10 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot 1 \cdot 10 = 4-40 = -36$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Подбирать числа бессмысленно.
Алгоритм решения по теореме Виета
Чтобы не ошибаться со знаками, действуй по шагам.
- Проверь, что перед $x^2$ стоит единица.
- Запиши сумму корней: $x_1 + x_2 = -p$.
- Запиши произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.
- Подбери пары чисел, произведение которых равно $q$.
- Выбери пару, сумма которой равна $-p$.
- Запиши ответ и проверь подстановкой, если есть сомнения.
Примеры решений
Базовый поиск корней
Условие
Реши уравнение $x^2-8x + 15 = 0$.
Шаг 1. Перед нами приведённое квадратное уравнение: коэффициент перед $x^2$ равен $1$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 8$,
$x_1 \cdot x_2 = 15$.
Произведение положительное, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма положительная, поэтому оба корня положительные.
Шаг 2. Подбираем множители числа $15$:
- $1$ и $15$: сумма равна $16$, не подходит;
- $3$ и $5$: сумма равна $8$, подходит.
Значит, корни уравнения — $3$ и $5$.
Шаг 3. Проверка. Подставим $x = 3$: $9-24 + 15 = 0$ — верно. Подставим $x = 5$: $25-40 + 15 = 0$ — верно.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Поиск коэффициента
Условие
Один из корней уравнения $x^2-13x + q = 0$ равен $5$. Найди второй корень и свободный член $q$.
Шаг 1. По теореме Виета сумма корней равна $13$: $x_1 + x_2 = 13$.
Один корень известен: $x_1 = 5$.
Подставим его в формулу суммы: $5 + x_2 = 13$.
Шаг 2. Найдём второй корень: $x_2 = 13-5 = 8$.
Шаг 3. Теперь найдём свободный член. По теореме Виета произведение корней равно $q$: $q = x_1 \cdot x_2$.
Подставим значения: $q = 5 \cdot 8 = 40$.
Ответ: второй корень равен $8$, $q = 40$.
Задача с прикладной формулой
Условие
Температура прибора вычисляется по формуле $T = -t^2 + 13t + 25$, где $t$ — время в минутах. Нужно найти, в какие моменты времени температура $T$ равна $65$ °C.
Шаг 1. Подставим значение температуры в формулу: $65 = -t^2 + 13t + 25$.
Перенесём все слагаемые в одну сторону: $t^2-13t + 40 = 0$.
Получили приведённое квадратное уравнение.
Шаг 2. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 13$,
$t_1 \cdot t_2 = 40$.
Произведение положительное, сумма положительная, значит, оба корня положительные.
Шаг 3. Подбираем множители числа $40$:
- $4$ и $10$: сумма равна $14$, не подходит;
- $5$ и $8$: сумма равна $13$, подходит.
Значит, температура равна $65$ °C через $5$ минут и через $8$ минут. Оба корня подходят по смыслу задачи: сначала прибор нагревается и проходит отметку $65$ °C на пятой минуте, затем остывает и опускается до неё же на восьмой.
Ответ: $t_1 = 5$, $t_2 = 8$.
Типичные ошибки
Игнорировать старший коэффициент
Нельзя сразу применять правило к уравнению $3x^2-12x + 9 = 0$, потому что оно не приведённое.
Сначала нужно разделить все слагаемые на $3$: $x^2-4x + 3 = 0$.
Теперь можно применять теорему Виета:
Подходят корни $1$ и $3$.
Забывать минус в сумме корней
Для уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$ нельзя записывать сумму корней как $5$.
По теореме Виета:
Подходят корни $-2$ и $-3$.
Подбирать корни, когда их нет
Уравнение $x^2 + 2x + 10 = 0$ не имеет действительных корней, потому что: $D = 2^2-4 \cdot 1 \cdot 10 = 4-40 = -36$.
Если дискриминант отрицательный, подбор не даст ответа.
Проверь себя
Реши два уравнения.
Задание 1. $x^2 + 6x + 8 = 0$.
Задание 2. $x^2-x-12 = 0$.
Решение к заданию 1. Для первого уравнения нужно найти числа, произведение которых равно $8$, а сумма равна $-6$. Произведение положительное, сумма отрицательная, значит, оба числа отрицательные. Подходит пара $-2$ и $-4$.
Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -4$.
Решение к заданию 2. Для второго уравнения нужно найти числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $1$. Произведение отрицательное, значит, знаки разные. Подходит пара $4$ и $-3$.
Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Заключение
Теперь ты умеешь находить корни приведённого квадратного уравнения по сумме и произведению, определять их знаки до подбора и восстанавливать неизвестный коэффициент по известному корню. Перед применением метода всегда проверяй, что коэффициент перед $x^2$ равен единице: если нет, раздели на него все слагаемые.
Запомни два равенства: сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. Подбор начинай с множителей свободного члена и только потом проверяй сумму — так вариантов перебирать меньше. Если произведение отрицательное, знаки корней разные; если положительное, знаки одинаковые и совпадают со знаком суммы.
Эти навыки пригодятся на контрольных и самостоятельных работах по алгебре, где нужно быстро решать квадратные уравнения без вычисления дискриминанта.
