Иррациональные числа: теория и разбор трёх задач для 8 класса

Если перевести такую дробь в десятичный вид, получится один из двух вариантов:

• конечная десятичная дробь, например $0,5$ или $0,25$;
• бесконечная периодическая дробь, например $\frac{1}{3}=0,33333\dots =0,(3)$.

В десятичной записи иррациональное число выглядит как бесконечная непериодическая дробь. Это значит, что после запятой цифры продолжаются бесконечно, но повторяющегося периода нет.

Один из самых известных примеров даёт геометрия. Если построить квадрат со стороной $1$ и найти его диагональ по теореме Пифагора, получится $\sqrt{2}$. Его приближённое значение: $\sqrt{2}\approx 1,41421356\dots$

Цифры после запятой продолжаются бесконечно и не образуют периода. Поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Ещё один известный пример — число $\pi$, которое выражает отношение длины окружности к её диаметру: $\pi \approx 3,14159265\dots$

В школьных заданиях часто нужно понять, где находится число с корнем на числовой прямой или какое из двух чисел больше. Для этого удобно использовать квадраты.

Если сравниваются неотрицательные числа, можно возвести их в квадрат: больше будет то, чей квадрат больше.

Алгоритм такой:

1. Представь обычное неотрицательное число в виде квадратного корня или возведи оба сравниваемых числа в квадрат.
2. Сравни подкоренные выражения или полученные квадраты.
3. Вернись к исходным числам и запиши ответ с правильным знаком.

Например, $4$ можно записать как $\sqrt{16}$, потому что $4^2=16$ и $4=\sqrt{16}$.

Алгоритм для поиска границ корня:

1. Найди два ближайших квадрата целых чисел: один меньше подкоренного числа, другой больше.
2. Запиши двойное неравенство.
3. Извлеки корень из каждой части.
4. Запиши ответ.

Сравнение чисел

Условие

Выясни, какое из чисел больше: $\sqrt{15}$ или $4$.

Поиск границ числа с корнем

Условие

Между какими последовательными целыми числами заключено $\sqrt{30}$?

Приближённые вычисления

Условие

Вычисли приближённое значение выражения $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ с двумя знаками после запятой.

Складывать числа под корнями напрямую

Неверно: $\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{8}$.

Так делать нельзя. Сумма корней обычно не равна корню из суммы.

Верно: $\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx 1,732+2,236=3,968$.

Если нужно приближённое значение, вычисляй каждый корень отдельно, а затем складывай результаты.

Считать любой корень иррациональным

Неверно: $\sqrt{25}$ иррациональное, потому что записано со знаком корня.

Верно: $\sqrt{25}=5$.

$5$ — целое, а значит, рациональное. Знак корня сам по себе не делает число иррациональным. Сначала нужно проверить, извлекается ли корень нацело.

Путать бесконечные периодические и непериодические дроби

Неверно: $0,111111\dots$ иррациональное, потому что оно бесконечное.

Верно: $0,111111\dots =0,(1)=\frac{1}{9}$.

У этой дроби есть период, поэтому число рациональное. Для иррационального числа важна не просто бесконечность десятичной записи, а отсутствие периода.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Какое из чисел больше: $\sqrt{20}$ или $4,5$?

Задание 2. Является ли $\sqrt{100}$ иррациональным?

Задание 3. Между какими целыми числами находится значение $\sqrt{55}$?

Теперь ты умеешь отличать иррациональные числа от рациональных, сравнивать числа с корнями и находить границы, между которыми лежит значение корня. Помни главное правило: бесконечная десятичная дробь не обязательно иррациональна — важно, есть ли у неё период.

При работе с корнями сначала проверяй, извлекается ли корень нацело: например, $\sqrt{100}$ — рациональное число, потому что равно $10$. Для сравнения неотрицательных чисел удобно возводить их в квадрат или представлять обычное число в виде корня. А складывать корни как обычные числа нельзя: сумма корней не равна корню из суммы.

Эти приёмы пригодятся на контрольных и самостоятельных работах по алгебре, где нужно сравнивать значения, находить границы корня и выполнять приближённые вычисления.