Дроби, отношения и проценты нужны для текстовых задач по математике и для дальнейшей подготовки к экзаменам. В таких заданиях нужно перевести условие на язык чисел: найти целое, выделить доли, составить пропорцию или посчитать процент. Разберём базовые правила и покажем, как применять их в задачах шестого класса.
Основные понятия темы
Для уверенной работы с темой нужно разобраться с тремя понятиями: дробью, отношением и процентом. Они связаны между собой и часто встречаются в одной задаче.
Дроби
Обыкновенная дробь показывает одну или несколько равных частей целого.
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на дробь. Если число целое, его можно представить в виде дроби со знаменателем $1$, а затем выполнить умножение числителей и знаменателей.
Например, найти от $30$ означает вычислить: .
Отношения и пропорции
Равенство двух отношений называется пропорцией: или .
В такой записи числа и называют крайними членами пропорции, а числа и — средними членами пропорции.
Главное свойство пропорции: .
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Благодаря этому свойству можно найти неизвестный элемент, если известны три остальных.
Проценты
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно убрать знак процента и разделить число на $100$: .
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить её на $100$ и дописать знак процента: .
Универсальный алгоритм решения
Чтобы не путаться в действиях, действуй по шагам:
- Определи целое: общее количество, массу, первоначальную стоимость.
- Выясни, что требуется найти: значение доли, количество частей или итоговую цену.
- Составь математическую модель: пропорцию или действие умножения.
- Выполни расчёты.
- Проверь ответ по смыслу. Если стоимость товара снижается из-за акции, итоговая цена должна быть меньше исходной.
Разбор примеров из шестого класса
Посмотрим, как правила работают в задачах.
Пример с обыкновенными дробями
Условие
В классе $30$ учеников. Из них дополнительно занимаются в музыкальной школе. Сколько учеников посещают музыкальную школу?
Шаг 1. Целое число учеников равно $30$.
Шаг 2. Нужно найти известную дробь от этого числа.
Шаг 3. Используем правило: чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь: .
Шаг 4. Разделим $30$ на $5$: получаем $6$. Затем умножаем $6$ на $2$: .
Ответ: $12$ учеников.
Пример с распределением по частям
Условие
Бронза представляет собой сплав меди и олова. Для изготовления качественной бронзы берут $17$ частей меди и $3$ части олова. Сколько килограммов меди и олова нужно взять для получения $40$ килограммов бронзы?
Шаг 1. Найдём общее количество частей в сплаве: . Всего в сплаве $20$ частей.
Шаг 2. Общая масса равна $40$ килограммам. Найдём массу одной части: . Одна часть равна $2$ килограммам.
Шаг 3. Найдём массу меди. Меди нужно $17$ частей: . Значит, нужно взять $34$ килограмма меди.
Шаг 4. Найдём массу олова. Олова нужно $3$ части: . Значит, нужно взять $6$ килограммов олова.
Шаг 5. Проверим ответ по смыслу. Сложим обе массы: . Получилась исходная масса сплава, значит, расчёты верны.
Ответ: $34$ килограмма меди и $6$ килограммов олова.
Пример с пропорцией
Условие
За 6 одинаковых тетрадей в магазине заплатили 90 рублей. Сколько рублей нужно заплатить за 10 таких же тетрадей?
Шаг 1. Определим связь между величинами. Тетради одинаковые, поэтому чем больше тетрадей мы покупаем, тем больше платим. Значит, количество тетрадей и стоимость связаны пропорцией.
Шаг 2. Обозначим искомую стоимость буквой и запишем данные:
$6$ тетрадей — $90$ рублей,
$10$ тетрадей — рублей.
Шаг 3. Составим пропорцию: отношение количества тетрадей равно отношению их стоимости: .
Шаг 4. Применим главное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Крайние члены — $6$ и , средние — $10$ и $90$:
,
.
Шаг 5. Найдём неизвестный множитель — разделим произведение на известный множитель:
,
.
Шаг 6. Проверим ответ по смыслу. Тетрадей стало больше, значит, и заплатить нужно больше: . Ответ подходит.
Ответ: $150$ рублей.
Пример с расчётом скидки
Условие
В отделе канцтоваров проходит акция со скидкой на все товары. Школьный рюкзак без скидки стоит $1500$ рублей. Вычисли стоимость рюкзака с учётом скидки.
Шаг 1. Переведём проценты в десятичную дробь: .
Шаг 2. Найдём размер скидки в рублях: . Скидка составляет $300$ рублей.
Шаг 3. Найдём итоговую стоимость: .
Ответ: рюкзак со скидкой стоит $1200$ рублей.
Типичные ошибки
Проценты складывают с обычными числами напрямую
Как нельзя делать
Если к $50$ рублям нужно прибавить , нельзя писать: .
Как нужно делать
Сначала нужно найти от $50$ рублей: .
Затем прибавить результат к исходной сумме: .
Правильный ответ — $55$ рублей.
В задачах на части забывают найти общее количество долей
Как нельзя делать
В задачах на сплавы нельзя делить общую массу на одно из чисел отношения.
Как нужно делать
Сначала сложи все указанные части компонентов, чтобы получить общее число долей. Только после этого дели всю массу на найденное число.
В ответ записывают не то, что спрашивали
Как нельзя делать
В задаче на скидку можно найти размер скидки и ошибочно записать его в ответ.
Как нужно делать
Перечитай вопрос. Если спрашивают итоговую стоимость товара, после нахождения скидки нужно вычесть её из первоначальной цены.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. Вычисли от числа $40$.
Задание 2. За $4$ метра ленты заплатили $140$ рублей. Сколько стоят $7$ метров такой ленты?
Задание 3. Билет в кино стоил $300$ рублей. Его цена выросла на . Укажи новую цену.
Решение к заданию 1. .
Ответ: $30$.
Решение к заданию 2. Обозначим искомую стоимость буквой и составим пропорцию: .
По главному свойству пропорции: , значит .
Найдём неизвестный множитель: .
Ответ: $245$ рублей.
Решение к заданию 3. Найдём от $300$ рублей: .
Цена выросла на $30$ рублей, значит, новая цена равна: .
Ответ: $330$ рублей.
Заключение
Теперь ты умеешь находить дробь от числа, распределять величину по частям и считать проценты от заданного значения. В задачах на отношения сначала нужно определить общее количество долей, а в задачах на проценты — понять, что именно спрашивают: размер изменения или итоговое значение. Пропорции помогают переводить текстовые условия в понятные вычисления и находить неизвестные величины. Эти навыки пригодятся в задачах экзамена по математике и станут основой для более сложных заданий.
