Сравнение дробей нужно для заданий по математике, где встречаются числовые выражения, текстовые задачи и вычисления с обыкновенными дробями. Частая ошибка в этой теме — смотреть только на знаменатель и считать, что дробь с большим нижним числом всегда больше. На самом деле значение дроби зависит от того, на сколько частей разделили целое и сколько таких частей взяли. Разберём правила, алгоритм сравнения и примеры с подробным решением.

Базовые правила сравнения дробей

Одинаковые знаменатели

Если у двух обыкновенных дробей одинаковые знаменатели, больше та дробь, у которой числитель больше.[i]

Представь пиццу, которую разрезали на восемь равных кусков. Три таких куска больше, чем два таких же куска: $\frac{3}{8} > \frac{2}{8}$ .

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Одинаковые числители

Если у двух обыкновенных дробей одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше.[i]

Например, если одну шоколадку разделить на трёх человек, а вторую такую же шоколадку — на пятерых, то в первом случае кусок будет больше. Поэтому: $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ .

При одинаковом числителе сравниваем размер одной части: чем меньше знаменатель, тем крупнее часть.

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь меньше единицы: её числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь больше или равна единице: её числитель больше знаменателя или равен ему.[i]

Например, дробь $\frac{7}{5}$ неправильная, потому что $7 > 5$ . Дробь $\frac{4}{9}$ правильная, потому что $4 \frac{4}{9}$ .

Если числитель и знаменатель равны, дробь равна единице: $\frac{5}{5} = 1$ .

Смешанные числа

Из двух смешанных чисел больше то число, у которого целая часть больше.[i]

Например: $3 \frac{1}{4} > 2 \frac{5}{6}$ .

Здесь не нужно приводить дробные части к общему знаменателю, потому что $3 > 2$ . Три целых всегда больше двух целых, независимо от дробной части.

Если целые части совпадают, сравниваем дробные части.

Разные числители и знаменатели

Если у дробей разные числители и знаменатели, их обычно приводят к общему знаменателю.

Для этого нужно:

Найти наименьшее общее кратное знаменателей.
Определить дополнительные множители.
Домножить числители и знаменатели.
Сравнить новые дроби с одинаковыми знаменателями.

Универсальный алгоритм решения

Этот план помогает быстро выбрать способ сравнения дробей.

Сначала посмотри на целые части. Если они разные, сравни только их.
Проверь, есть ли правильная и неправильная дробь. Неправильная дробь больше правильной.
Проверь, совпадают ли числители или знаменатели. Если да, примени базовое правило.
Если предыдущие шаги не помогли, приведи дроби к общему знаменателю и сравни числители.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Подробный разбор задач

Пример с одинаковыми знаменателями

Условие
Маша прочитала $\frac{2}{7}$ книги, а Петя прочитал $\frac{5}{7}$ такой же книги. Кто прочитал больше?

Шаг 1. Сравниваем дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{5}{7}$ .

Шаг 2. Знаменатели одинаковые: обе книги разделены на семь равных частей.

Шаг 3. При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше.

Шаг 4. Сравниваем числители: $5 > 2$ .

Шаг 5. Получаем: $\frac{5}{7} > \frac{2}{7}$ .

Проверка: пять частей из семи составляют больше половины книги, а две части из семи — меньше половины. Ответ согласуется со смыслом задачи.

Ответ: Петя прочитал больше.

Пример с разными знаменателями

Условие
Первый рабочий выполнил $\frac{5}{8}$ задания, а второй рабочий выполнил $\frac{7}{12}$ такого же задания. Кто выполнил бо́льшую часть?

Шаг 1. Нужно сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{12}$ .

Шаг 2. Целых частей нет, обе дроби правильные.

Шаг 3. Числители и знаменатели не совпадают, поэтому приводим дроби к общему знаменателю.

Шаг 4. Наименьшее общее кратное чисел $8$ и $12$ равно $24$.

Шаг 5. Для первой дроби дополнительный множитель равен $3$, потому что $24 : 8 = 3$ : $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$ .

Шаг 6. Для второй дроби дополнительный множитель равен $2$, потому что $24 : 12 = 2$ : $\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$ .

Шаг 7. Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{15}{24} > \frac{14}{24}$ .

Шаг 8. Значит: $\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$ .

Проверка: дроби приведены к одному знаменателю, поэтому достаточно сравнить числители: $15 > 14$ .

Ответ: первый рабочий выполнил бо́льшую часть задания.

Пример со смешанными числами

Условие
В первый день туристы прошли $4 \frac{1}{3}$ километра, а во второй день — $4 \frac{2}{5}$ километра. В какой день туристы прошли большее расстояние?

Шаг 1. Сначала сравниваем целые части. В обоих числах целая часть равна $4$.

Шаг 2. Значит, нужно сравнить дробные части: $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$ .

Шаг 3. Знаменатели разные, поэтому находим общий знаменатель. Наименьшее общее кратное чисел $3$ и $5$ равно $15$.

Шаг 4. Приводим первую дробь: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ .

Шаг 5. Приводим вторую дробь: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ .

Шаг 6. Сравниваем: $\frac{6}{15} > \frac{5}{15}$ .

Шаг 7. Значит: $4 \frac{2}{5} > 4 \frac{1}{3}$ .

Ответ: во второй день туристы прошли большее расстояние.

Типичные ошибки и ловушки

Считать, что большее число в знаменателе даёт большую дробь

Как нельзя: считать, что $\frac{1}{10}$ больше $\frac{1}{2}$ , потому что $10 > 2$ .

Как нужно: смотреть на смысл дроби. Если целое разделили на десять частей, одна часть будет меньше, чем половина. Поэтому: $\frac{1}{2} > \frac{1}{10}$ .

Игнорировать целую часть смешанного числа

Как нельзя: при сравнении $3 \frac{1}{2}$ и $2 \frac{9}{10}$ сразу приводить дробные части к общему знаменателю.

Как нужно: сначала сравнить целые части. Так как $3 > 2$ , сразу получаем: $3 \frac{1}{2} > 2 \frac{9}{10}$ .

Тратить время на очевидное сравнение правильной и неправильной дроби

Как нельзя: долго искать общий знаменатель для дробей $\frac{8}{7}$ и $\frac{99}{100}$ .

Как нужно: заметить, что $\frac{8}{7}$ — неправильная дробь, она больше единицы. Дробь $\frac{99}{100}$ правильная, она меньше единицы. Значит: $\frac{8}{7} > \frac{99}{100}$ .

Выбирать слишком большой общий знаменатель

Как нельзя: для знаменателей $4$ и $6$ автоматически перемножать их и получать $24$.

Ошибки в результате не будет, но вычисления станут длиннее.

Как нужно: найти наименьшее общее кратное. Для чисел $4$ и $6$ это $12$. С меньшими числами считать проще.

Тренировка и самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Сравни дроби: $\frac{3}{9}$ и $\frac{8}{9}$ .

Задание 2. Определи, что больше: $\frac{4}{11}$ или $\frac{4}{7}$ .

Задание 3. Какой знак нужно поставить между дробями? $\frac{9}{8}$ и $\frac{5}{6}$ .

Ответ к заданию 1. $\frac{8}{9} > \frac{3}{9}$ , так как знаменатели равны, а числитель $8$ больше числителя $3$.

Ответ к заданию 2. $\frac{4}{7} > \frac{4}{11}$ , потому что при равных числителях больше дробь с меньшим знаменателем.

Ответ к заданию 3. $\frac{9}{8} > \frac{5}{6}$ , потому что первая дробь неправильная, а вторая меньше единицы.

Задача со звёздочкой

Условие
Сравни дроби: $\frac{99}{100}$ и $\frac{100}{101}$ .

Шаг 1. Общий знаменатель здесь получится огромным, поэтому поищем другой способ.

Шаг 2. Посмотрим, сколько каждой дроби не хватает до единицы: $1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$ и $1 - \frac{100}{101} = \frac{1}{101}$ .

Шаг 3. Сравниваем нехватку: числители равны, а $\frac{1}{100} > \frac{1}{101}$ , потому что меньший знаменатель даёт бо́льшую часть.

Шаг 4. Первой дроби не хватает до единицы больше, значит, сама она меньше.

Ответ: $\frac{100}{101} > \frac{99}{100}$ .

Заключение

Теперь ты умеешь выбирать способ сравнения дробей по ситуации: сначала проверять целые части, затем смотреть на числители, знаменатели и тип дроби. Если быстрые правила не подходят, нужно привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители. Эти навыки пригодятся в заданиях экзамена по математике, где нужно работать с числовыми выражениями и текстовыми условиями. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».