Проценты встречаются в задачах по математике за 6 класс и в обычной жизни: на ценниках со скидками, в составе продуктов на упаковке, в оценке выполненной работы. Чтобы решать такие задания, нужно понять главное: процент — это не особая единица измерения, а сотая часть числа. Именно поэтому проценты нельзя складывать с рублями или килограммами напрямую — сначала их переводят в дробь. В статье разберём три типа задач: как найти процент от числа, как восстановить целое по известной части и как узнать, на сколько процентов одна величина отличается от другой. Посмотрим на частые ошибки и потренируемся на примерах с решением.
Основные понятия темы
Процент обозначают знаком $\%$. Само слово произошло от латинского выражения pro centum, то есть «на сотню».
Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак $\%$ и разделить число на $100$:
$1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$;
$50\% = \frac{50}{100} = 0{,}5$.
Чтобы выполнить обратное действие и перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить дробь на $100$ и приписать знак $\%$.
Например: $0{,}29 \cdot 100\% = 29\%$.
Как найти процент от числа
Самая частая ситуация: дано целое число, а нужно найти его часть.
Если нужно найти $p\%$ от числа $a$, используем формулу: $b = a \cdot \frac{p}{100}.$
На практике это означает: число нужно умножить на десятичную дробь.
Например, если на рюкзак ценой $2000$ рублей действует скидка $20\%$, размер скидки находят так: $2000 \cdot 0{,}2 = 400$ рублей.
Как найти целое по известной части
Иногда известна часть числа, а найти нужно всё число целиком.
Если $b$ — это $p\%$ от неизвестного числа $a$, используем формулу: $a = \frac{b}{\frac{p}{100}}$ или $a = \frac{b \cdot 100}{p}$.
То есть известную часть нужно разделить на десятичную дробь.
Такой способ часто встречается в задачах про скидки: известна сумма скидки в рублях и её процент, а начальная цена товара неизвестна.
Как найти процентное отношение
Третий тип задач помогает узнать, сколько процентов одно число составляет от другого.
Чтобы найти, сколько процентов число $b$ составляет от числа $a$, нужно разделить $b$ на $a$ и умножить результат на $100\%$: $\frac{b}{a} \cdot 100\%.$
Этот приём используют, когда нужно посчитать выгоду, подорожание или изменение цены.
Универсальный алгоритм решения
Чтобы не путаться в формулировках, действуй по одному шаблону.
- Найди базу. Определи число, с которым идёт сравнение. Именно оно принимается за $100\%$.
- Выбери действие. Если база известна, чаще всего нужно умножать. Если база неизвестна, нужно делить.
- Подготовь числа. Переведи проценты в десятичные дроби.
- Выполни вычисление. Запиши ответ с единицами измерения: рубли, килограммы, штуки.
Разбор трёх задач
Пример с числом учеников
Условие
В школьной параллели шестых классов учатся $80$ человек. Из них $15\%$ занимаются в шахматном кружке. Сколько шестиклассников ходит на шахматы?
Шаг 1. Определяем базу. За $100\%$ принимается общее число шестиклассников — это $80$ человек.
Шаг 2. Переводим проценты в дробь: $15\% = 0{,}15$.
Шаг 3. Выбираем действие. Нужно найти часть от целого, поэтому используем умножение: $80 \cdot 0{,}15$.
Шаг 4. Считаем: $80 \cdot 0{,}15 = 12$.
Ответ: шахматами занимаются $12$ шестиклассников.
Пример с начальной ценой
Условие
В спортивном магазине действует скидка $20\%$ на все кроссовки. Покупатель выбрал спортивную обувь и узнал на кассе, что скидка составила ровно $700$ рублей. Сколько стоили кроссовки до начала распродажи?
В классических задачах для 6 класса скидка берётся от первоначальной цены целиком. Это упрощает решение: базой всегда остаётся цена до скидки.
Шаг 1. Ищем базу. Первоначальная цена неизвестна. Известна только часть от неё — скидка.
Шаг 2. Переводим проценты в дробь: $20\% = 0{,}2.$
Шаг 3. Применяем правило поиска целого по части. Известную часть нужно разделить на дробь: $700 : 0{,}2.$
Шаг 4. Выполняем деление. Чтобы разделить на десятичную дробь, можно перенести запятую вправо у обоих чисел: $700 : 0{,}2 = 7000 : 2 = 3500.$
Ответ: до распродажи кроссовки стоили $3500$ рублей.
Пример с подорожанием
Условие
В прошлом году билет в кинотеатр стоил $250$ рублей. В новом году его стоимость выросла до $300$ рублей. На сколько процентов стал дороже билет?
Шаг 1. Находим разницу в рублях: $300-250 = 50.$
Билет подорожал на $50$ рублей.
Шаг 2. Определяем базу. Сравнивать нужно с первоначальной ценой. База — $250$ рублей.
Шаг 3. Делим изменение на базу: $50 : 250 = 0{,}2.$
Шаг 4. Переводим дробь в проценты: $0{,}2 \cdot 100\% = 20\%.$
Ответ: билет подорожал на $20\%$.
Типичные ошибки
Сложение числа и процентов напрямую
Ошибка: к цене $500$ рублей прибавляют доставку $10\%$ так: $500 + 10 = 510.$
Так делать нельзя: рубли и проценты нельзя складывать напрямую.
Правильно: сначала нужно найти размер доставки в рублях: $500 \cdot 0{,}1 = 50.$
Затем прибавить доставку к цене: $500 + 50 = 550.$
Ответ: цена с доставкой равна $550$ рублей.
Путаница между умножением и делением
Ошибка: известно, что $30\%$ стоимости равны $150$ рублям. При этом автоматически умножают: $150 \cdot 0{,}3.$
Так получится часть от части, а не целое число.
Правильно: если дана часть, целое восстанавливают делением: $150 : 0{,}3 = 500.$
Ответ: полная стоимость равна $500$ рублей.
Неправильная база
Ошибка: цена товара сначала выросла на $10\%$, а потом снизилась на $10\%$. Иногда кажется, что цена вернулась к прежнему значению.
Правильно: проценты каждый раз берутся от новой актуальной суммы.
Например, товар стоил $1000$ рублей.
После повышения на $10\%$: $1000 + 1000 \cdot 0{,}1 = 1100.$
После снижения на $10\%$: $1100-1100 \cdot 0{,}1 = 990.$
Ответ: итоговая цена равна $990$ рублей, а не $1000$ рублей.
Проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Сколько составляет $5\%$ от числа $400$?
Задание 2. Торт стоит $800$ рублей. На него сделали скидку $30\%$. Какова новая цена торта?
Задание 3. Переведи $29\%$ в десятичную дробь.
Задание 4. Книга стоила $400$ рублей, а стала стоить $500$ рублей. На сколько процентов подорожала книга?
Решение к заданию 1. $400 \cdot 0{,}05 = 20.$
Ответ: $20$.
Решение к заданию 2. Сначала найдём сумму скидки: $800 \cdot 0{,}3 = 240.$
Теперь вычтем скидку из начальной цены: $800-240 = 560.$
Ответ: новая цена торта — $560$ рублей.
Решение к заданию 3. Убираем знак $\%$ и делим число на $100$: $29\% = 0{,}29.$
Ответ: $0{,}29$.
Решение к заданию 4. Находим разницу: $500-400 = 100$ рублей.
Делим изменение на первоначальную цену: $100 : 400 = 0{,}25$.
Переводим в проценты: $0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: $25\%$.
Заключение
Теперь ты умеешь находить процент от числа, восстанавливать целое по известной части и определять, на сколько процентов одна величина отличается от другой. Перед вычислениями проценты всегда переводи в десятичную дробь: $15\% = 0{,}15$, $7\% = 0{,}07$, $120\% = 1{,}2$. Самая важная привычка — каждый раз искать базу, то есть число, которое принимается за $100\%$. Если база известна, часть от неё находят умножением. Если база неизвестна, её восстанавливают делением. А когда в задаче есть повышение и снижение цены, помни: второй процент считается уже от новой суммы, а не от первоначальной.
Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе, а в будущем — на экзаменах по математике, где встречаются задачи на скидки, банковские вклады и концентрацию растворов.
