Проценты: считаем как в жизни

Процент обозначают знаком $\%$. Само слово произошло от латинского выражения pro centum, то есть «на сотню».

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак $\%$ и разделить число на $100$:

$1\%=\frac{1}{100}=0,01$;

$50\%=\frac{50}{100}=0,5$.

Чтобы выполнить обратное действие и перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить дробь на $100$ и приписать знак $\%$.

Например: $0,29·100\%=29\%$.

Самая частая ситуация: дано целое число, а нужно найти его часть.

Если нужно найти $p\%$ от числа $a$, используем формулу: $b=a·\frac{p}{100}.$

На практике это означает: число нужно умножить на десятичную дробь.

Например, если на рюкзак ценой $2000$ рублей действует скидка $20\%$, размер скидки находят так: $2000·0,2=400$ рублей.

Иногда известна часть числа, а найти нужно всё число целиком.

Если $b$ — это $p\%$ от неизвестного числа $a$, используем формулу: $a=\frac{b}{\frac{p}{100}}$ или $a=\frac{b·100}{p}$.

То есть известную часть нужно разделить на десятичную дробь.

Такой способ часто встречается в задачах про скидки: известна сумма скидки в рублях и её процент, а начальная цена товара неизвестна.

Третий тип задач помогает узнать, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти, сколько процентов число $b$ составляет от числа $a$, нужно разделить $b$ на $a$ и умножить результат на $100\%$: $\frac{b}{a}·100\%.$

Этот приём используют, когда нужно посчитать выгоду, подорожание или изменение цены.

Чтобы не путаться в формулировках, действуй по одному шаблону.

1. Найди базу. Определи число, с которым идёт сравнение. Именно оно принимается за $100\%$.
2. Выбери действие. Если база известна, чаще всего нужно умножать. Если база неизвестна, нужно делить.
3. Подготовь числа. Переведи проценты в десятичные дроби.
4. Выполни вычисление. Запиши ответ с единицами измерения: рубли, килограммы, штуки.

Пример с числом учеников

Условие

В школьной параллели шестых классов учатся $80$ человек. Из них $15\%$ занимаются в шахматном кружке. Сколько шестиклассников ходит на шахматы?

Пример с начальной ценой

Условие

В спортивном магазине действует скидка $20\%$ на все кроссовки. Покупатель выбрал спортивную обувь и узнал на кассе, что скидка составила ровно $700$ рублей. Сколько стоили кроссовки до начала распродажи?

Пример с подорожанием

Условие

В прошлом году билет в кинотеатр стоил $250$ рублей. В новом году его стоимость выросла до $300$ рублей. На сколько процентов стал дороже билет?

Сложение числа и процентов напрямую

Ошибка: к цене $500$ рублей прибавляют доставку $10\%$ так: $500+10=510.$

Так делать нельзя: рубли и проценты нельзя складывать напрямую.

Правильно: сначала нужно найти размер доставки в рублях: $500·0,1=50.$

Затем прибавить доставку к цене: $500+50=550.$

Ответ: цена с доставкой равна $550$ рублей.

Путаница между умножением и делением

Ошибка: известно, что $30\%$ стоимости равны $150$ рублям. При этом автоматически умножают: $150·0,3.$

Так получится часть от части, а не целое число.

Правильно: если дана часть, целое восстанавливают делением: $150:0,3=500.$

Ответ: полная стоимость равна $500$ рублей.

Неправильная база

Ошибка: цена товара сначала выросла на $10\%$, а потом снизилась на $10\%$. Иногда кажется, что цена вернулась к прежнему значению.

Правильно: проценты каждый раз берутся от новой актуальной суммы.

Например, товар стоил $1000$ рублей.

После повышения на $10\%$: $1000+1000·0,1=1100.$

После снижения на $10\%$: $1100-1100·0,1=990.$

Ответ: итоговая цена равна $990$ рублей, а не $1000$ рублей.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Сколько составляет $5\%$ от числа $400$?

Задание 2. Торт стоит $800$ рублей. На него сделали скидку $30\%$. Какова новая цена торта?

Задание 3. Переведи $29\%$ в десятичную дробь.

Задание 4. Книга стоила $400$ рублей, а стала стоить $500$ рублей. На сколько процентов подорожала книга?

Теперь ты умеешь находить процент от числа, восстанавливать целое по известной части и определять, на сколько процентов одна величина отличается от другой. Перед вычислениями проценты всегда переводи в десятичную дробь: $15\%=0,15$, $7\%=0,07$, $120\%=1,2$. Самая важная привычка — каждый раз искать базу, то есть число, которое принимается за $100\%$. Если база известна, часть от неё находят умножением. Если база неизвестна, её восстанавливают делением. А когда в задаче есть повышение и снижение цены, помни: второй процент считается уже от новой суммы, а не от первоначальной.

Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе, а в будущем — на экзаменах по математике, где встречаются задачи на скидки, банковские вклады и концентрацию растворов.