Если бы каждый из двух множителей увеличили на $2$, то их произведение увеличилось бы на $12$. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на $3$?

Пусть множители равны $a$ и $b$. По условию: $(a + 2)(b + 2) - ab = 12$. Раскроем скобки: $ab + 2a + 2b + 4 - ab = 2(a + b) + 4 = 12$, $2(a + b) = 8$, $a + b = 4$. Теперь найдём увеличение произведения при увеличении каждого множителя на $3$: $(a + 3)(b + 3) - ab = ab + 3a + 3b + 9 - ab = 3(a + b) + 9$. Подставим $a + b = 4$: $3 \cdot 4 + 9 = 12 + 9 = 21$. Ответ: $21$.

Маша и Медведь съели $51$ печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Пусть скорость Маши в поедании варенья равна $x$ (банок в минуту), тогда скорость Медведя — $4x$. Так как варенья они съели поровну, то каждый съел по половине банки. Время, которое Маша ела варенье: $\dfrac{0{,}5}{x} = \dfrac{1}{2x}$. Время, которое Медведь ел варенье: $\dfrac{0{,}5}{4x} = \dfrac{1}{8x}$. Так как они менялись, то общее время процесса равно: $t = \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{8x} = \dfrac{4}{8x} + \dfrac{1}{8x} = \dfrac{5}{8x}.$ Теперь рассмотрим печенье. Пусть скорость Маши в поедании печенья равна $y$ (печений в минуту), тогда скорость Медведя — $4y$. Маша ела печенье только после того, как перестала есть варенье, то есть в течение времени, которое Медведь ел варенье: $\dfrac{1}{8x}$. Медведь ел печенье в течение времени, которое Маша ела варенье: $\dfrac{1}{2x}$. Количество печений, съеденных Машей: $y \cdot \dfrac{1}{8x} = \dfrac{y}{8x}.$ Количество печений, съеденных Медведем: $4y \cdot \dfrac{1}{2x} = \dfrac{4y}{2x} = \dfrac{2y}{x}.$ Всего печений: $\dfrac{y}{8x} + \dfrac{2y}{x} = \dfrac{y}{8x} + \dfrac{16y}{8x} = \dfrac{17y}{8x} = 51.$ Отсюда $\dfrac{y}{x} = 51 \cdot \dfrac{8}{17} = 3 \cdot 8 = 24$. Тогда Медведь съел: $\dfrac{2y}{x} = 2 \cdot 24 = 48.$ Ответ: $48$ печений.

В корзине лежат $32$ гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых $23$ грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых $11$ грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

Пусть $r$ — число рыжиков, $g$ — число груздей. Тогда $r + g = 32$. Условие "среди любых $23$ грибов есть хотя бы один рыжик" означает, что груздей не может быть $23$ или больше, то есть $g \le 22$. Условие "среди любых $11$ грибов есть хотя бы один груздь" означает, что рыжиков не может быть $11$ или больше, то есть $r \le 10$. Так как $r + g = 32$ и $r \le 10$, то $g = 32 - r \ge 22$. Но из первого условия $g \le 22$, значит $g = 22$. Ответ: $22$ груздя.

Пловец преодолел $100$ метров за $20$ секунд. Найдите среднюю скорость пловца. Ответ дайте в километрах в час.

Найдём среднюю скорость по формуле $v=\dfrac{s}{t}$: $v=\dfrac{100}{20}=5$ м/с. Переведём в километры в час. Для этого умножим полученное число на $3{,}6$: $5\cdot3{,}6=18$ км/ч. Ответ: $18$.

Конькобежец преодолел $126$ метров за $21$ секунду. Найдите среднюю скорость конькобежца. Ответ дайте в километрах в час.

Найдём среднюю скорость по формуле $v=\dfrac{s}{t}$: $v=\dfrac{126}{21}=6$ м/с. Переведём в километры в час. Для этого умножим полученное число на $3{,}6$: $6\cdot3{,}6=21{,}6$ км/ч. Ответ: $21{,}6$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по базовой математике, стр. 502 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, базовой математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 621031 балл
Задачи на составление уравнения
Если бы каждый из двух множителей увеличили на $2$ , то их произведение увеличилось бы на $12$ . На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на $3$ ?
id 621041 балл
Задачи на составление уравнения
Маша и Медведь съели $51$ печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
id 621421 балл
Различные типы задач
В корзине лежат $32$ гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых $23$ грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых $11$ грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
id 735511 балл
Перевод из одних единиц измерения в другие
Пловец преодолел $100$ метров за $20$ секунд. Найдите среднюю скорость пловца. Ответ дайте в километрах в час.
id 735521 балл
Перевод из одних единиц измерения в другие
Конькобежец преодолел $126$ метров за $21$ секунду. Найдите среднюю скорость конькобежца. Ответ дайте в километрах в час.