Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает \(3\) большие фишки, отдав \(10\) маленьких. До обменов у Пети было \(100\) фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало \(65\). Сколько обменов он совершил?

За один обмен количество фишек уменьшается на: \(10 - 3 = 7\) фишек. Пусть Петя совершил \(x\) обменов. Тогда общее уменьшение числа фишек: \(7x\). Изначально было \(100\) фишек, стало \(65\): \(100 - 7x = 65\). Решим: \(7x = 100 - 65\), \(7x = 35\), \(x = 5\). Ответ: \(5\) обменов.

Список заданий викторины состоял из \(25\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(5\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(7\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(60\) очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 25\), \(5x - 7y = 60\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(5x = 60 + 7y\), \(x = \dfrac{60 + 7y}{5}\). Так как \(x\) — целое число, \(60 + 7y\) должно делиться на \(5\). \(60\) делится на \(5\), значит \(7y\) должно делиться на \(5\). Так как \(7\) не кратно \(5\), то \(y\) должно быть кратно \(5\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 25\), проверим возможные \(y\): - \(y = 5\): \(x = \dfrac{60 + 35}{5} = \dfrac{95}{5} = 19\). Тогда \(z = 25 - 19 - 5 = 1\). Всё подходит. - \(y = 10\): \(x = \dfrac{60 + 70}{5} = \dfrac{130}{5} = 26\), но \(x = 26 > 25\) — не подходит. Значит, \(x = 19\). Ответ: \(19\) верных ответов.

Список заданий викторины состоял из \(25\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(7\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(10\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(42\) очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 25\), \(7x - 10y = 42\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(7x = 42 + 10y\), \(x = \dfrac{42 + 10y}{7}\). Так как \(x\) — целое число, \(42 + 10y\) должно делиться на \(7\). \(42\) делится на \(7\), значит \(10y\) должно делиться на \(7\). Так как \(10\) не кратно \(7\), то \(y\) должно быть кратно \(7\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 25\), проверим возможные \(y\): - \(y = 7\): \(x = \dfrac{42 + 70}{7} = \dfrac{112}{7} = 16\). Тогда \(z = 25 - 16 - 7 = 2\). Всё подходит. - \(y = 14\): \(x = \dfrac{42 + 140}{7} = \dfrac{182}{7} = 26\), но \(x = 26 > 25\) — не подходит. Значит, \(x = 16\). Ответ: \(16\) верных ответов.

Список заданий викторины состоял из \(25\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(7\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(9\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(56\) очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 25\), \(7x - 9y = 56\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(7x = 56 + 9y\), \(x = \dfrac{56 + 9y}{7}\). Так как \(x\) — целое число, \(56 + 9y\) должно делиться на \(7\). \(56\) делится на \(7\), значит \(9y\) должно делиться на \(7\). Так как \(9\) не кратно \(7\), то \(y\) должно быть кратно \(7\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 25\), проверим возможные \(y\): - \(y = 7\): \(x = \dfrac{56 + 63}{7} = \dfrac{119}{7} = 17\). Тогда \(z = 25 - 17 - 7 = 1\). Всё подходит. - \(y = 14\): \(x = \dfrac{56 + 126}{7} = \dfrac{182}{7} = 26\), но \(x = 26 > 25\) — не подходит. Значит, \(x = 17\). Ответ: \(17\) верных ответов.

Список заданий викторины состоял из \(40\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(11\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(171\) очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 40\), \(9x - 11y = 171\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 171 + 11y\), \(x = \dfrac{171 + 11y}{9}\). Так как \(x\) — целое число, \(171 + 11y\) должно делиться на \(9\). \(171\) делится на \(9\) (\(171 = 9 \cdot 19\)), значит \(11y\) должно делиться на \(9\). Так как \(11\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 40\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{171 + 99}{9} = \dfrac{270}{9} = 30\). Тогда \(z = 40 - 30 - 9 = 1\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{171 + 198}{9} = \dfrac{369}{9} = 41\), но \(x = 41 > 40\) — не подходит. Значит, \(x = 30\). Ответ: \(30\) верных ответов.