Список заданий викторины состоял из \(50\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(14\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(207\) очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 50\), \(9x - 14y = 207\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 207 + 14y\), \(x = \dfrac{207 + 14y}{9}\). Так как \(x\) — целое число, \(207 + 14y\) должно делиться на \(9\). \(207\) делится на \(9\) (\(207 = 9 \cdot 23\)), значит \(14y\) должно делиться на \(9\). Так как \(14\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 50\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{207 + 126}{9} = \dfrac{333}{9} = 37\). Тогда \(z = 50 - 37 - 9 = 4\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{207 + 252}{9} = \dfrac{459}{9} = 51\), но \(x = 51 > 50\) — не подходит. Значит, \(x = 37\). Ответ: \(37\) верных ответов.

Список заданий викторины состоял из \(50\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(16\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(171\) очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 50\), \(9x - 16y = 171\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 171 + 16y\), \(x = \dfrac{171 + 16y}{9}\). Так как \(x\) — целое число, \(171 + 16y\) должно делиться на \(9\). \(171\) делится на \(9\) (\(171 = 9 \cdot 19\)), значит \(16y\) должно делиться на \(9\). Так как \(16\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\) и \(x + y \le 50\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{171 + 144}{9} = \dfrac{315}{9} = 35\). Тогда \(z = 50 - 35 - 9 = 6\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{171 + 288}{9} = \dfrac{459}{9} = 51\), но \(x = 51 > 50\) — не подходит. Значит, \(x = 35\). Ответ: \(35\) верных ответов.

Список заданий викторины состоял из \(70\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(17\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(153\) очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся и по крайней мере на \(1\) вопрос не дал ответа?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов, \(z\) — число пропущенных вопросов. Тогда: \(x + y + z = 70\), \(9x - 17y = 153\). Из второго уравнения выразим \(x\): \(9x = 153 + 17y\), \(x = \dfrac{153 + 17y}{9}\). Так как \(x\) — целое число, \(153 + 17y\) должно делиться на \(9\). \(153\) делится на \(9\) (\(153 = 9 \cdot 17\)), значит \(17y\) должно делиться на \(9\). Так как \(17\) не кратно \(9\), то \(y\) должно быть кратно \(9\). Так как \(y \ge 1\), \(z \ge 1\), и \(x + y \le 70\), проверим возможные \(y\): - \(y = 9\): \(x = \dfrac{153 + 153}{9} = \dfrac{306}{9} = 34\). Тогда \(z = 70 - 34 - 9 = 27\). Всё подходит. - \(y = 18\): \(x = \dfrac{153 + 306}{9} = \dfrac{459}{9} = 51\). Тогда \(z = 70 - 51 - 18 = 1\). Всё подходит. - \(y = 27\): \(x = \dfrac{153 + 459}{9} = \dfrac{612}{9} = 68\). Тогда \(z = 70 - 68 - 27 = -25\) — не подходит. - \(y = 36\): \(x = \dfrac{153 + 612}{9} = \dfrac{765}{9} = 85 > 70\) — не подходит. Значит, возможны два варианта: \(x = 34\) (при \(y = 9\)) и \(x = 51\) (при \(y = 18\)). Ответ: \(34\) верных ответа (или \(51\) — в зависимости от трактовки).

Список заданий викторины состоял из \(75\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(17\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько неверных ответов дал ученик, набравший \(153\) очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся и не дал ответа на \(6\) вопросов?

Пусть \(x\) — число верных ответов, \(y\) — число неверных ответов. Известно, что пропущенных вопросов \(z = 6\). Тогда: \(x + y + 6 = 75\), \(9x - 17y = 153\). Из первого уравнения: \(x = 75 - 6 - y = 69 - y\). Подставим во второе: \(9(69 - y) - 17y = 153\), \(621 - 9y - 17y = 153\), \(621 - 26y = 153\), \(-26y = 153 - 621\), \(-26y = -468\), \(y = \dfrac{468}{26} = 18\). Проверим: \(x = 69 - 18 = 51\). Тогда \(9 \cdot 51 - 17 \cdot 18 = 459 - 306 = 153\). Всё верно. Ответ: \(18\) неверных ответов.

На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на \(5\) см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на \(15\) см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Пусть длина всей ленты равна \(L\) см, а расстояние от левого края до красной полоски — \(x\) см, до синей — \(y\) см (пусть \(y > x\), так как полоски по разные стороны от середины). Если разрезать по красной полоске, то части имеют длины \(x\) и \(L - x\). Разность длин: \(|L - 2x| = 5\). Так как красная полоска ближе к одному из краёв, то \(L - 2x = \pm 5\). Если разрезать по синей полоске, то части имеют длины \(y\) и \(L - y\). Разность: \(|L - 2y| = 15\). Так как полоски по разные стороны от середины, то \(x \dfrac{L}{2}\). Тогда: \(L - 2x = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x = L - 5\), \(2y - L = 15 \quad \Rightarrow \quad 2y = L + 15\). Расстояние между полосками: \(y - x = \dfrac{L + 15}{2} - \dfrac{L - 5}{2} = \dfrac{15 + 5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\). Ответ: \(10\) см.