Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=10$, $AB=12$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $4$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=BN=3$.
а) Точки $O$ и $O_1$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $CMN$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $CMN$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$.
а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M=2MA$, $A_1K=KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.