Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB=1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$?

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=2$, $SK=1$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ основания $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$.
а) Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN:NC=DL:LS$.
б) Плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN:NC=1:3$.

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=2:1$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны $6$.