Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=2\sqrt{2}$, $BC=4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$ — середина отрезка $BQ$.
б) Найдите угол между плоскостями $SBA$ и $SBC$, если $SD=4$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, равными $8$ и $3$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:2$, $BN:NC=1:2$. Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $SK:KC=6:1$.
б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD$, причём $\angle BAD+\angle ADC=90^\circ$. Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.
а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды $KBCP$, если $AB=BC=CD=4$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $9$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=10$, $BC=8$, $SO=8$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB$ равна $2$, а боковое ребро $SA$ равно $8$. Точка $M$ — середина ребра $AB$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $D$. Прямая $SC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$.
а) Докажите, что $KM=KD$.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.