Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB$ равна $5$, а боковое ребро $SA$ равно $9$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$, $AM=1$, а точка $K$ лежит на ребре $SC$. Известно, что $MK=KD$.
а) Докажите, что плоскость $DKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите площадь треугольника $DKM$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=\sqrt{2}$, $CC_1=2$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$.
б) Найдите объём цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=20$, $BB_1=15$, $B_1C_1=21$.

Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.
а) Докажите, что $\cos\angle ASC+\cos\angle BSC=1{,}5$.
б) Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC=1$, $\cos\angle ASC=\dfrac{2}{3}$.

Решите неравенство

$\dfrac{4}{3^x-27}\geq\dfrac{1}{3^x-9}$.