Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $AA_1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причём $CM=1$.
а) Точки $O$ и $O_1$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.
б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=3:1$, а точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AA_1=5$, $AB=12$, $\cos\angle ABC=\dfrac{3}{5}$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1$, считая от точки $A_1$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.