Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $2BL=3LC$.
а) Докажите, что прямые $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AN:NS$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABD$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=2$, $SK=1$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.

Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ основания $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$.
а) Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN:NC=DL:LS$.
б) Плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN:NC=1:2$.

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=3:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:2$, а $AB=4$ и $SO=2\sqrt{23}$.
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.