Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40^\circ$, $\angle ACB=85^\circ$.
а) Докажите, что $BM=CN$.
б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $7$.

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM=45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB=2\sqrt{7}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны.
б) Найдите длину стороны $AB$, если $AC=2$, $BC=\sqrt{10}$.

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=17$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $AE$ и $BD$ параллельны.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(2x+\ln(x+2a))^2=(2x-\ln(x+2a))^2$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{7x-4}\cdot\ln(x^2-8x+17-a^2)=0$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;4]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$
имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\dfrac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$25^x-(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x-(a+6)(3|a|+5)$
имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$x^2+a^2+x-7a=|7x+a|$
имеет более двух различных корней.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$|x^2+a^2-6x-4a|=2x+2a$
имеет ровно четыре различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$a^2-ax-2x^2-6a+3x+9|x|=0$
имеет ровно четыре различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(2x+a+1+\tg x)^2=(2x+a-1-\tg x)^2$
имеет ровно один корень на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}(xy^2 - 3xy - 3y + 9)\sqrt{x - 3} = 0, \\y = ax\end{cases}$
имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (xy-2x+16)\sqrt{y-2x+16}=0,\\ y=ax-14 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=3x+a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=ax+a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=x+a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2},\\ x^2+y^2=2x+4y \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \log_7(36-y^2)=\log_7(36-a^2x^2),\\ x^2+y^2=2x+6y \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \log_3(16-y^2)=\log_3(16-a^2x^2),\\ x^2+y^2=8x+4y \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.