Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $AA_1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причём $CM=1$.
а) Точки $O$ и $O_1$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.
б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=3:1$, а точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AA_1=5$, $AB=12$, $\cos\angle ABC=\dfrac{3}{5}$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1$, считая от точки $A_1$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $4$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $16$ и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K:KC_1=1:3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5$ и $BC=3$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=2:3$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC$, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=5\sqrt{2}$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=2:3$. Найдите площадь сечения $MNB$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $5$. Боковое ребро пирамиды равно $9$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $2BL=3LC$.
а) Докажите, что прямые $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AN:NS$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABD$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=2$, $SK=1$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.

Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ основания $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$.
а) Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN:NC=DL:LS$.
б) Плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN:NC=1:2$.

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=3:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:2$, а $AB=4$ и $SO=2\sqrt{23}$.
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=4$, $BC=4\sqrt{2}$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$ — середина отрезка $BQ$.
б) Найдите угол между плоскостями $SBA$ и $SBC$, если $SD=8$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=12$, $BC=10$, $SO=9$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=1$, $CC_1=2\sqrt{2}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=\sqrt{2}$, $CC_1=4$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если $AB=7$, $BB_1=24$, $B_1C_1=10$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=6$, $BB_1=15$, $B_1C_1=8$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=21$, $BB_1=12$, $B_1C_1=16$.

Решите неравенство
$\dfrac{2}{3^x+27}\geq\dfrac{1}{3^x-27}$.

Решите неравенство
$\dfrac{13}{3^x-81}\leq\dfrac{1}{3^x-9}$.