Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Решите неравенство
$\dfrac{x^2}{\log_{512}(x+7)}\leq\log_2(x^2+14x+49)$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2}{\log_{512}(4-x)}\geq\log_2(x^2-8x+16)$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2}{\log_{625}(-2-x)}\geq\log_5(x^2+4x+4)$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2}{\log_{625}(6-x)}\leq\log_5(x^2-12x+36)$.

Решите неравенство
$\dfrac{3\cdot27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4{,}5}\geq0$.

Решите неравенство
$\dfrac{8x^3-4x^2-2x+1}{16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4}\leq0$.

В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $177 120$ рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $25$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• -каждый январь долг увеличивается на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $48 250$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $25$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $104 800$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит $292 820$ рублей?

В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $77 200$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $900$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $30$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• платежи в $2027$ и $2028$ годах должны быть равными;

• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $1482{,}3$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж $2029$ года?

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK$, если $AM:MC=1:4$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=15$ и $BD=8{,}5$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$, проведённая к основанию $AD$, делит его на два отрезка, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.

Сумма оснований трапеции равна $10$, а её диагонали равны $6$ и $8$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt{7}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^\circ$, $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=30^\circ$, $B_1C_1=5$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=135^\circ$, $B_1C_1=10$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=30^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=4\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=15^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=4\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=6\sqrt{3}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$, пересекающиеся в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Известно, что $\angle BAC=120^\circ$.
а) Докажите, что точки $B_1$, $C_1$, $H$ и $O$ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь треугольника $B_1C_1O$, если $BC=3$ и $\angle ABC=15^\circ$.

Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.