Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $30 033$.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число $303$?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $31$?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $30 021$.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число $351$? б

) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $11$?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $40$ и меньше $100$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $25$ и меньше $85$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $45$ и меньше $120$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $113$, если $n = 50$?

б) Можно ли получить сумму $114$, если $n = 50$?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n = 50$?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $340$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $3$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на $3$.

а) Может ли $N$ быть равным $240$?

б) Может ли $N$ быть равным $129$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $400$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $3$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на $3$.

а) Может ли $N$ быть равным $360$?

б) Может ли $N$ быть равным $149$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1615$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение пяти дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение шести дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $30$ фотографий?

Найдите корень уравнения $\log_{2}(x+7)=\log_{2}19$.

Найдите корень уравнения $\log_{3}(14-x)=\log_{3}5$.

Найдите корень уравнения $\log_{5}(2x+1)=\log_{5}16$.

Найдите корень уравнения $\log_{7}(3x-4)=\log_{7}8$.

Найдите корень уравнения $\log_{4}(11-2x)=\log_{4}3$.

Найдите корень уравнения $\log_{6}(5x+2)=\log_{6}27$.

Найдите корень уравнения $\log_{8}(4x-5)=\log_{8}7$.

Найдите корень уравнения $\log_{9}(18-3x)=\log_{9}6$.

Найдите корень уравнения $\log_{10}(2x+3)=\log_{10}9$.

Найдите корень уравнения $\log_{2}(7x-1)=\log_{2}20$.

Найдите корень уравнения $\log_{3}(x+6)=\log_{3}2$.

Найдите корень уравнения $\log_{4}(0{,}5x+1)=\log_{4}4$.

Найдите корень уравнения $\log_{5}(3x+8)=\log_{5}2$.

Найдите корень уравнения $\log_{6}(2{,}5x-1)=\log_{6}9$.

Найдите корень уравнения $\log_{7}(12-0{,}5x)=\log_{7}10$.

Найдите корень уравнения $\log_{8}(1{,}2x+2)=\log_{8}5{,}6$.