Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} 2x+2ay+a-3=0,\\ x|y|+2x-3=0 \end{cases}$
имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} 4x-y+a=0,\\ |y|-x^2+2x=0 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} 4x-y+a=0,\\ 2|y|-x^2+4x=0 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} ax^2+ay^2+2ax+(a+2)y+1=0,\\ xy+1=x+y \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} x\leq2a+6,\\ 6x\geq x^2+a^2,\\ x+a>0 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} ax\geq2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\leq2a+11 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $300$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $151$?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от $100$ до $600$ включительно?

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $300$ см на куски длиной $1$ см?

Есть три коробки: в первой коробке $64$ камня, во второй — $77$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $64$ камня, во второй — $59$, а в третьей — $18$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $141$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке? $325$

Есть четыре коробки: в первой коробке $101$ камень, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой — $4$?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться $306$ камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру $7$. Сумма написанных чисел равна $810$.

а) Может ли на доске быть ровно $24$ чётных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на $7$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $7$, может быть на доске?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $3$, к каждому числу из второй группы — цифру $7$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $8$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $17$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $6$, к каждому числу из второй группы — цифру $9$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $9$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $19$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 100$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 400$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $260$ является суммой $S$ для некоторых четырехзначных чисел $A$ и $B$?

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A> 140$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $440 \leqslant A< 500$?

в) Найдите наибольшее число $A$, меньшее $900$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры $1$ и $6$(возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $173$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $109$?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $1021$?

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся, а суммарно тест писали $9$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе $№\,1$ уменьшиться в $10$ раз?

б) Средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№\,2$ равняться $7$?

в) Средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№\,2$.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,1$ средний балл равнялся $18$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?
б) В школе $№\,1$ все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе $№\,2$ писали тест более $10$ учащихся и после перехода одного учащегося в эту школу и пересчета баллов средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $75 \%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $80 \%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $40 \%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $46\%$.
а) Может ли в этом классе быть $9$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $55\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $11$?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $6$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $12$.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться $14$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $8{,}4$?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $8$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $16$.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться $18$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $11{,}2$?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $305$ и $1511$?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число $305$?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^{2}$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.