В большом вертикальном цилиндре кипятят воду, и он заполнен насыщенными водяными парами при температуре \(T_1=100^\circ\text{C}.\) В эти пары внутри цилиндра внесли тонкостенный медный стакан массой \(M=100\ \text{г}\) и объемом \(V=100\ \text{мл},\) давно заполненный льдом с температурой \(T_2=0^\circ\text{C}.\) Плотность льда равна \(\rho=900\ \text{кг/м}^3.\) Какая масса \(m\) паров воды сконденсируется при установлении теплового равновесия в системе?

Переведем величины в \(СИ\) и выпишем данные: \(M=0.1\ \text{кг},\) \(V=100\ \text{мл}=1\cdot 10^{-4}\ \text{м}^3,\) \(T_1=373\ \text{К},\) \(T_2=273\ \text{К},\) \(\rho=900\ \text{кг/м}^3.\) Удельные величины: для меди \(c=380\ Дж/(кг·К) ,\) удельная теплота плавления льда \(\lambda=3.3\cdot 10^{5}\ \text{Дж/кг},\) удельная теплоемкость воды \(c_{\text{в}}=4.2\cdot 10^{3}\ Дж/(кг·К) ,\) теплота парообразования \(L=2.3\cdot 10^{6}\ \text{Дж/кг}\) \(1)\) Масса льда в стакане: \(m_{\ell}=\rho V=900\cdot 1\cdot 10^{-4}=0.09\ \text{кг}\) \(2)\) Теплота на нагрев меди от \(T_2\) до \(T_1{:}\) \(Q_1=c M (T_1-T_2)\) \(3)\) Теплота, необходимая для плавления льда: \(Q_2=\lambda m_{\ell}\) \(4)\) Теплота на нагрев образовавшейся воды от \(T_2\) до \(T_1{:}\) \(Q_3=c_{\text{в}} m_{\ell} (T_1-T_2)\) \(5)\) Суммарная теплота, которую должен отдать конденсирующийся пар: \(Q_{\text{н}}=Q_1+Q_2+Q_3\) \(6)\) При конденсации массы \(m\) паров выделяется энергия \(mL,\) поэтому \(m=\dfrac{Q_{\text{н}}}{L}\) \(7)\) Подставим числовые значения: \(Q_1=380\cdot 0.1\cdot(373-273)=380\cdot 0.1\cdot 100=3\ 800\ \text{Дж}\) \(Q_2=3.3\cdot 10^{5}\cdot 0.09=29\ 700\ \text{Дж}\) \(Q_3=4.2\cdot 10^{3}\cdot 0.09\cdot 100=37\ 800\ \text{Дж}\) \(Q_{\text{н}}=3\ 800+29\ 700+37\ 800=71\ 300\ \text{Дж}\) \(m=\dfrac{71\ 300}{2.3\cdot 10^{6}}\approx 0.031\ \text{кг}=31\ \text{г}\) Итог: масса сконденсировавшихся паров примерно \(31\ \text{г}\)

К изолированному заряженному конденсатору, имеющему электроемкость \(C = 1 \space \text{нФ}\) и заряд \(q = 12 \space \text{нКл},\) подключили параллельно незаряженный конденсатор электроемкостью \(2C.\) Найдите установившееся напряжение на первом конденсаторе.

\(1)\) При присоединении незаряженного конденсатора к заряженному будет происходить перетекание заряда до тех пор, пока напряжения на каждом из них не установится напряжение \(U_1 = U_2 = U.\) \(2)\) По закону сохранения заряда \(q = q_1 + q_2,\) где заряд первого конденсатора станет равным \(q_1 = CU,\) а второго конденсатора — \(q_2 = 2CU.\) \(3)\) Таким образом, получаем: \(q = CU + 2CU = 3CU\) \(4)\) Откуда установившееся напряжение: \(U = \dfrac{q}{3C}\) \(5)\) Подставляем числовые значения: \(U = \dfrac{12 \cdot 10^{-9}}{3 \cdot 10^{-9}} = 4 \space \text{В}\) Ответ: \(4 \space \text{В}\) напряжение на первом конденсаторе.

Небольшое тело начинает скользить без начальной скорости с высоты \(H = 2.16 \space \text{м}\) по жёсткому наклонному жёлобу, имеющему горизонтальный участок, который затем переходит в полуокружность радиусом \(\dfrac{H}{2}\) (см. рисунок). Жёлоб закреплён в вертикальной плоскости, все его участки плавно состыкованы. Через какое время после отрыва от жёлоба модуль скорости тела будет минимальным? Трение отсутствует. Обоснуйте применимость законов, использованных для решения задачи.

Обоснование: \(1)\) Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с желобом. \(2)\) Тело считаем материальной точкой, так как его размерами можно пренебречь. \(3)\) Для определения точки отрыва применяем второй закон Ньютона, справедливый в выбранной инерциальной системе отсчета. \(4)\) Поскольку трение между телом и желобом отсутствует, выполняется закон сохранения механической энергии. \(5)\) После отрыва тело движется по параболе, применяем кинематические уравнения для тела, брошенного под углом к горизонту. Решение: \(1)\) Тело не может дойти до наивысшей точки \(A\) полуокружности, так как в этой точке на высоте \(H\) скорость была бы нулевой, что противоречит второму закону Ньютона. Следовательно, тело отрывается раньше, в точке \(B.\) \(2)\) Обозначим: \(O\) — центр полуокружности, \(\alpha\) — угол между отрезком \(OB\) и горизонталью, \(V\) — скорость тела в точке отрыва. По закону сохранения энергии: \(mgH = mg\left( \dfrac{H}{2} + \dfrac{H}{2} \sin \alpha \right) + \dfrac{mV^2}{2}\) \(3)\) В точке отрыва сила нормальной реакции равна нулю. Второй закон Ньютона в точке \(B{:}\) \(\dfrac{mV^2}{\dfrac{H}{2}} = mg \sin \alpha\) \(4)\) Из уравнений находим: \(\sin \alpha = \dfrac{2}{3}, \quad V = \sqrt{\dfrac{gH}{3}}\) \(5)\) После отрыва тело движется по параболе. Направим ось \(Y\) вертикально вверх, ось \(X\) горизонтально. В момент отрыва вектор скорости составляет с осью \(Y\) угол \(\alpha.\) \(6)\) Проекция скорости на ось \(Y\) изменяется по закону: \(V_y = V \cos \alpha- gt\) \(7)\) Модуль скорости минимален в момент достижения максимальной высоты, когда \(V_y = 0{:}\) \(V \cos \alpha- gt_0 = 0\) \(8)\) С учетом \(\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}{:}\) \(t_0 = \dfrac{V \cos \alpha}{g} = \dfrac{1}{g} \sqrt{\dfrac{gH}{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} = \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{5H}{3g}}\) \(9)\) Подставим числовые значения: \(t_0 = \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{5 \cdot 2.16}{3 \cdot 10}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{10.8}{30}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{0.36} = \dfrac{1}{3} \cdot 0.6 = 0.2 \space \text{с}\) Ответ: \(t_0 = 0.2 \space \text{с}\) время после отрыва от желоба, когда модуль скорости тела будет минимальным.

Зависимость координаты \(x\) тела от времени \(t\) имеет вид: \(x = 1 + 2t + 3t^2\) Чему равна проекция скорости тела на ось \(Ox\) в момент времени \(t = 3\space с\) при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду).

\(1.\) Находим производную координаты по времени: \(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 2t + 3t^2) = 2 + 6t\) \(2.\) Вычисляем скорость при \(t = 3\space с{:}\) \(v_x(3) = 2 + 6 \cdot3 = 20 \text{ м/с}\)

На брусок массой \(5\space кг,\) движущийся по горизонтальной поверхности, действует сила трения скольжения \(20\space Н.\) Чему будет равна сила трения скольжения, если, не изменяя коэффициент трения, уменьшить в \(4\) раза массу бруска? Ответ дайте в ньютонах.

Сила трения скольжения определяется как:\(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g\) где: \(\mu\) — коэффициент трения (по условию постоянный); \(N = mg\) — сила нормальной реакции опоры; \(m\) — масса тела; \(g\) — ускорение свободного падения \((9.8\space м/с^2).\) \(1.\) Для исходного состояния \((\) \(m_1 = 5\space кг){:}\) \(F_{\text{тр1}} = \mu m_1 g = 20\,\text{Н}\) \(2.\) После уменьшения массы: \(m_2 = \frac{m_1}{4} = 1.25\,\text{кг}\) \(3.\) Вычисляем новую силу трения \((\)при постоянном \(\mu){:}\) \(F_{\text{тр2}} = \mu m_2 g = \mu \left(\frac{m_1}{4}\right) g = \frac{F_{\text{тр1}}}{4} = \frac{20}{4} = 5\,\text{Н}\)